19.2.2 一次函数
第1课时 一次函数的定义
01 基础题
知识点 认识一次函数
1.下列函数关系式:①y=-2x;②y=-;③y=-2x2;④y=;⑤y=2x-1.其中是一次函数的有(B)
A.①⑤ B.①④⑤
C.②⑤ D.②④⑤
2.下列函数中,是一次函数但不是正比例函数的是(C)
A.y=2x B.y=+2
C.y=x- D.y=2x2-1
3.下列问题中,变量y与x成一次函数关系的是(B)
A.路程一定时,时间y和速度x的关系
B.10米长的铁丝折成长为y,宽为x的长方形
C.圆的面积y与它的半径x
D.斜边长为5的直角三角形的直角边y和x
4.据调查,某地铁自行车存放处在某星期天的存车量为4 000辆次,其中变速车存车费是每辆一次0.30元,普通自行车存车费是每辆一次0.20元,若普通自行车存车数为x辆,存车费总收入为y元,则y关于x的函数解析式为(D)
A.y=0.10x+800(0≤x≤4 000)
B.y=0.10x+1 200(0≤x≤4 000)
C.y=-0.10x+800(0≤x≤4 000)
D.y=-0.10x+1 200(0≤x≤4 000)
5.函数、一次函数和正比例函数之间的包含关系是(A)
26
6.若函数y=2kx+k+3是正比例函数,则k的值是-3.
7.函数s=15t-5和s=15-5t都是形如y=kx+b的一次函数,其中第一个式子中k= 15,b=-5;第二个式子中k=-5,b=15.
8.已知一次函数y=kx+b,当x=-2时,y=7;当x=1时,y=-11,求k,b的值.
解:将x=-2,y=7和x=1,y=-11分别代入y=kx+b,得
解得
9.已知y=(m+1)x2-|m|+n+4.
(1)当m,n取何值时,y是x的一次函数?
(2)当m,n取何值时,y是x的正比例函数?
解:(1)根据一次函数的定义,有
m+1≠0且2-|m|=1,解得m=1.
∴m=1,n为任意实数时,这个函数是一次函数.
(2)根据正比例函数的定义,有
m+1≠0且2-|m|=1,n+4=0,
解得m=1,n=-4.
∴当m=1,n=-4时,这个函数是正比例函数.
10.写出下列各题中x与y的关系式,并判断y是否是x的正比例函数?y是否是x的一次函数?
(1)某小区的物业费是按房屋面积每平方米0.5元/月来收取的,
26
该小区业主每个月应缴的物业费y(元)与房屋面积x(平方米)之间的函数关系;
(2)地面气温是28 ℃,如果高度每升高1 km,则气温会下降5 ℃,则气温y(℃)与高度x(km)的关系;
(3)圆面积S(cm2)与半径r(cm)的关系.
解:(1)y=0.5x,y是x的正比例函数,y是x的一次函数.
(2)y=28-5x,y是x的一次函数,但y不是x的正比例函数.
(3)S=πr2,S不是r的一次函数,S也不是r的正比例函数.
02 中档题
11.函数y=(m-2)xn-1+n是一次函数,则m,n应满足的条件是(C)
A.m≠2且n=0 B.m=2且n=2
C.m≠2且n=2 D.m=2且n=0
12.关于函数y=kx+b(k,b是常数,k≠0),下列说法正确的有 (B)
①y是x的一次函数; ②y是x的正比例函数;③当b=0时,y=kx是正比例函数;④只有当b≠0时,y才是x的一次函数.
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
13.已知关于x 的一次函数y=kx+4k-2(k≠0),若x=1,y=8,则k=2.
14.在一次函数y=-2(x+1)+x中,比例系数k为-1,常数项b为-2.
15.把一个长10 cm,宽5 cm的长方形的宽增加x cm,长不变,长方形的面积y(cm2)随x的变化而变化.
(1)求y与x的函数解析式;
(2)要使长方形的面积增加30 cm2,则x应取什么值?
解:(1)y=10(x+5),即y=10x+50.
(2)根据题意,得10x+50=10×5+30,解得x=3.
16.已知y-m与3x+n成正比例函数(m,n为常数),当x=2时,y=4;当x=3时,y=7,
26
求y与x之间的函数关系式.
解:∵y-m与3x+n成正比例,
∴设y-m=k(3x+n)(k,m,n均为常数,k≠0).
∵当 x=2时,y=4;当x=3时,y=7,
∴
∴k=1,,m+n=-2.
∴y与x之间的函数关系式为y=3x-2.
17.学校图书室有360本图书借给八(2)班的同学阅读,每人借6本.
(1)求余下的图书数量y(本)和学生数x(人)之间的函数关系式,并求自变量的取值范围;
(2)当班里有50个学生时,剩余多少本?
(3)当图书室剩余72本书时,这个班有多少名学生?
解:(1)y=360-6x(0≤x≤60).
(2)当x=50时,y=360-6×50=60.
(3)当y=72时,360-6x=72,解得x=48.
03 综合题
18.已知y=y1+y2,y1与x成正比例,y2与x-2成正比例,当x=1时,y=0;当x=-3时,y=4.
(1)求y与x的函数解析式,并说明此函数是什么函数;
(2)当x=3时,求y的值.
解:(1)设y1=k1x,y2=k2(x-2),则y=k1x+k2(x-2),依题意,得
26
解得
∴y=-x-(x-2),即y=-x+1.
∴y是x的一次函数.
(2)把x=3代入y=-x+1,得y=-2.
∴当x=3时,y的值为-2.
26
微课堂
第2课时 一次函数的图象与性质
01 基础题
知识点1 画一次函数图象
1.已知函数y=-2x+3.
(1)画出这个函数的图象;
(2)写出这个函数的图象与x轴,y轴的交点的坐标.
解:(1)如图.
(2)函数y=-2x+3与x轴,y轴的交点的坐标分别是(,0),(0,3).
知识点2 一次函数图象的平移
2.(2017·赤峰)将一次函数y=2x-3的图象沿y轴向上平移8个单位长度,所得直线的解析式为(B)
A.y=2x-5 B.y=2x+5
C.y=2x+8 D.y=2x-8
3.(2016·娄底)将直线y=2x+1向下平移3个单位长度后所得直线的解析式是y=2x-2.
4.(2016·益阳)将正比例函数y=2x的图象向上平移3个单位,所得的直线不经过第四象限.
知识点3 一次函数的图象与性质
5.(2017·沈阳)在平面直角坐标系中,一次函数y=x-1的图象是(B)
A B C D
26
6.(2016·邵阳)一次函数y=-x+2的图象不经过的象限是(C)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
7.(2017·抚顺)若一次函数y=kx+b的图象如图所示,则(B)
A.k<0,b<0
B.k>0,b>0
C.k<0,b>0
D.k>0,b<0
8.若一次函数y=(2-m)x-2的函数值y随x的增大而减小,则m的取值范围是(D)
A.m0
C.m2
9.请你写出y随着x的增大而减小的一次函数解析式(写出一个即可)y=-2x+1(答案不唯一,只要k是负数即可).
10.已知函数y=(2m+1)x+m-3.
(1)若函数图象经过原点,求m的值;
(2)若函数的图象平行于直线y=3x-3,求m的值;
(3)若这个函数是一次函数,且y随着x的增大而减小,求m的取值范围.
解:(1)把(0,0)代入y=(2m+1)x+m-3,得m=3.
(2)由题意,得2m+1=3,解得m=1.
(3)由题意,得2m+1<0,解得m<-.
02 中档题
11.(2016·玉林)关于直线l:y=kx+k(k≠0),下列说法不正确的是(D)
26
习题解析
A.点(0,k)在l上
B.l经过定点(-1,0)
C.当k>0时,y随x的增大而增大
D.l经过第一、二、三象限
12.(2017·滨州)若点M(-7,m),N(-8,n)都在函数y=-(k2+2k+4)x+1(k为常数)的图象上,则m和n的大小关系是(B)
A.m>n B.m<n
C.m=n D.不能确定
13.(2016·永州)已知一次函数y=kx+2k+3的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上,且函数值y随x的增大而减小,则k所有可能取得的整数值为-1.
14.(2016·荆州)若点M(k-1,k+1)关于y轴的对称点在第四象限内,则一次函数y=(k-1)x+k的图象不经过第一象限.
15.在同一直角坐标系中画出下列函数的图象,说出四条直线围成图形的形状.
y=x+3,y=x-2,y=-x+3,y=-x-2.
解:列表:
x
0
4
y=x+3
3
5
y=x-2
-2
0
y=-x+3
3
1
y=-x-2
-2
-4
描点、连线,如图.
26
由于y=x+3,y=x-2中比例系数相同,故两直线平行;由于y=-x+3,y=-x-2中比例系数相同,故两直线平行.∴所得图形为平行四边形.
16.已知关于x的一次函数y=(2m-4)x+3n.
(1)当m,n取何值时,y随x的增大而增大?
(2)当m,n取何值时,函数图象不经过第一象限?
(3)当m,n取何值时,函数图象与y轴交点在x轴上方?
(4)若图象经过第一、三、四象限,求m,n的取值范围.
解:(1)∵y随x的增大而增大,
∴2m-4>0.∴m>2,n为全体实数.
(2)∵函数图象不经过第一象限,
∴2m-4<0,3n<0.∴m<2,n≤0.
(3)∵函数图象与y轴交点在x轴上方,
∴2m-4≠0,3n>0,∴n>0,m≠2.
(4)∵图象经过第一、三、四象限,
∴2m-4>0,3n≤0.∴m>2,n<0.
17.(1)在同一平面直角坐标系内画出一次函数y=x+2,y=x+2和y=-x+2的图象.
(2)指出这三个函数图象的共同之处;
(3)若函数y=x+a,y=x+和y=-x-的图象相交于y轴上同一点,请写出a,b,c之间的关系.
解:(1)列表:
x
0
2
3
26
y=x+2
2
3
y=x+2
2
4
y=-x+2
2
0
描点、连线,如图.
(2)这三个函数图象相交于(0,2).
(3)a==-.
03 综合题
18.(2016·怀化)已知一次函数y=2x+4.
(1)在如图所示的平面直角坐标系中,画出函数的图象;
(2)求图象与x轴的交点A的坐标,与y轴的交点B的坐标;
(3)在(2)的条件下,求出△AOB的面积;
(4)利用图象直接写出:当y<0时,x的取值范围.
解:(1)图象如图所示.
(2)当x=0时,y=4,当y=0时,x=-2,
∴A(-2,0),B(0,4).
(3)S△AOB=×2×4
=4.
(4)x<-2.
26
第3课时 用待定系数法求一次函数的解析式
01 基础题
知识点 待定系数法求一次函数解析式
1.若一次函数y=kx+17的图象经过点(-3,2),则k的值为(D)
A.-6 B.6
C.-5 D.5
2.直线y=kx+b在坐标系中的图象如图,则(B)
A.k=-2,b=-1
B.k=-,b=-1
C.k=-1,b=-2
D.k=-1,b=-
3.已知函数y=kx+b(k≠0)的图象与y轴交点的纵坐标为-2,且当x=2时,y=1.那么此函数的解析式为y=x-2.
4.一条直线经过点(2,-1),且与直线y=-3x+1平行,则这条直线的解析式为y=-3x+5.
5.已知直线y=kx+b经过点(-5,1)和(3,-3),求k,b的值.
解:将(-5,1)和(3,-3)代入y=kx+b中,得
解得
6.已知y是x的一次函数,当x=0时,y=3;当x=2时,y=7.
(1)写出y与x之间的函数关系式;
(2)当x=4时,求y的值.
解:(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b,将(0,3)、(2,7)代入y=kx+b,得
26
解得
∴y与x之间的函数关系式为y=2x+3.
(2)当x=4时,y=2x+3=2×4+3=11.
7.已知y是x的一次函数,下表列出了部分y与x的对应值,求m的值.
x
1
0
2
y
1
m
3
解:设一次函数的解析式为y=kx+b.
由题意,得解得
∴一次函数的解析式为y=2x-1.
把(0,m)代入y=2x-1,解得m=-1.
8.如图,已知直线l经过点A(-2,0)和点B(0,2),求直线l的解析式.
解:设直线l的解析式为y=kx+b(k≠0),
将点A(-2,0)和点B(0,2)的坐标代入y=kx+b中,得
解得
∴直线l的解析式为y=x+2.
02 中档题
26
9.已知直线y=kx+b经过点(k,3)和(1,k),则k的值为(B)
A. B.±
C. D.±
10.如图,若点P(-2,4)关于y轴的对称点在一次函数y=x+b的图象上,则b的值为(B)
A.-2
B.2
C.-6
D.6
11.已知一次函数的图象过点(3,5)与(-4,-9),则该函数的图象与y轴交点的坐标为(0,-1).
12.如图,在平面直角坐标系内,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与正比例函数y=-2x的图象相交于点A,且与x轴交于点B,求这个一次函数的解析式.
解:在函数y=-2x中,令y=2,得-2x=2,
解得x=-1.
∴点A的坐标为(-1,2).
将A(-1,2),B(1,0)代入y=kx+b,得
解得
∴一次函数的解析式为y=-x+1.
26
13.已知一次函数y=kx+b的自变量的取值范围是-3≤x≤6,相应的函数值的取值范围是-5≤y≤-2,求这个一次函数的解析式.
解:分两种情况:
①当k>0时,把x=-3,y=-5;x=6,y=-2代入y=kx+b,得
解得
∴这个函数的解析式是y=x-4(-3≤x≤6);
②当k<0时,把x=-3,y=-2;x=6,y=-5代入y=kx+b,得解得
∴这个函数的解析式是y=-x-3(-3≤x≤6).
综上:这个函数的解析式是y=x-4(-3≤x≤6)或者y=-x-3(-3≤x≤6).
14.已知一次函数的图象经过点(3,-3),并且与直线y=4x-3相交于x轴上的一点,求此函数的解析式.
解:令y=0,则x=.
∴直线y=4x-3与x轴的交点坐标是(,0).
设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0),
将(3,-3)和(,0)分别代入y=kx+b,得
解得
∴此函数的解析式为y=-x+1.
26
03 综合题
15.一次函数的图象y=kx+b与两坐标轴围成的三角形的面积是8,且过点(0,2),求此一次函数的解析式.
解:设一次函数图象与x轴交于点B.
∵一次函数的图象y=kx+b与两坐标轴围成的三角形的面积是8,
∴OB×2=8,解得OB=8.
∴B(8,0)或B(-8,0).
①当y=kx+b的图象过点(0,2),(8,0)时,则
解得
∴此一次函数的解析式为y=-x+2;
②当y=kx+b的图象过点(0,2),(-8,0)时,则
解得
∴此一次函数的解析式为y=x+2.
综上所述,此一次函数的解析式为y=x+2或y=-x+2.
26
第4课时 一次函数的应用
01 基础题
知识点1 一次函数的简单应用
1.某水库的水位在5小时内持续上涨,初始的水位高度为6米,水位以每小时0.3米的速度匀速上升,则水库的水位高度y米与时间x小时(0≤x≤5)的函数关系式为y=6+0.3x.
2.已知水银体温计的读数y(℃)与水银柱的长度x(cm)之间是一次函数关系.现有一支水银体温计,其部分刻度线不清晰(如图),表中记录的是该体温计部分清晰刻度线及其对应水银柱的长度.
水银柱的长度x(cm)
4.2
…
8.2
9.8
体温计的读数y(℃)
35.0
…
40.0
42.0
(1)求y关于x的函数关系式;
(2)用该体温计测体温时,水银柱的长度为6.2 cm,求此时体温计的读数.
解:(1)设y关于x的函数关系式为y=kx+b,由题意,得
解得
∴y=1.25x+29.75.
(2)当x=6.2时,y=1.25×6.2+29.75=37.5.
答:此时体温计的读数为37.5 ℃.
3.两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上,如图,请根据图中给出的数据信息,解答问题:
(1)求整齐叠放在桌面上饭碗的高度y(cm)与饭碗数x(个)之间的一次函数解析式(不要求写出自变量x的取值范围);
(2)若桌面上有12个饭碗,整齐叠放成一摞,求出它的高度.
解:(1)设函数解析式为y=kx+b,根据题意,得 解得
∴y与x之间的函数解析式为y=1.5x+4.5.
26
(2)当x=12时,y=1.5×12+4.5=22.5.
答:它的高度是22.5 cm.
知识点2 分段函数的应用
4.“五一节”期间,王老师一家自驾游去了离家170千米的某地,如图是他们离家的距离y(千米)与汽车行驶时间x(小时)之间的函数图象.当他们离目的地还有20千米时,汽车一共行驶的时间是(C)
A.2小时
B.2.2小时
C.2.25小时
D.2.4小时
5.为更新果树品种,某果园计划购进A,B两个品种的果树苗栽植培育.若计划购进这两种果树苗共45棵,其中A种树苗的单价为7元/棵,购买B种树苗所需费用y(元)与购买数量x(棵)之间存在如图所示的函数关系.求y与x的函数解析式.
解:∵当0≤x<20时,图象经过(0,0)和(20,160),∴设y=k1x.
把(20,160)代入,得160=20k1,解得k1=8.∴y=8x.
当x≥20时,设y=k2x+b,
把(20,160)和(40,288)代入,得
解得∴y=6.4x+32.
∴y=(其中x为整数)
6.某城市居民用水实行阶梯收费,每户每月用水量如果未超过20吨,
26
按每吨2.5元收费.如果超过20吨,未超过的部分按每吨2.5元收费,超过的部分按每吨3.3元收费.设某户每月用水量为x吨,应缴水费为y元.
(1)分别写出每月用水量未超过20吨和超过20吨时,y与x间的函数解析式;
(2)若该城市某户4月份水费平均为每吨2.8元,求该户4月份用水多少吨?
解:(1)当x≤20时,y=2.5x;
当x>20时,
y=3.3(x-20)+2.5×20=3.3x-16.
(2)∵该户4月份水费平均每吨2.8元,
∴该户4月份用水超过20吨.
设该户4月份用水a吨,则
2.8a=3.3a-16,解得a=32.
答:该户4月份用水32吨.
02 中档题
7.(2017·聊城)端午节前夕,在东昌湖举行的第七届全民健身运动会龙舟比赛中,甲、乙两队在500 m的赛道上,所划行的路程y(m)与时间x(min)之间的函数关系如图所示,下列说法错误的是(D)
A.乙队比甲队提前0.25 min到达终点
B.当乙队划行110 m时,此时落后甲队15 m
C.0.5 min后,乙队比甲队每分钟快40 m
D.自1.5 min开始,甲队若要与乙队同时到达终点,甲队的速度需提高到255 m/min
第7题图 第8题图
8.(2017·南充)小明从家到图书馆看报然后返回,他离家的距离y与离家的时间x之间的对应关系如图所示,如果小明在图书馆看报30分钟,那么他离家50分钟时离家的距离为0.3km.
9.为了学生的身体健康,学校课桌、凳的高度都是按照一定的关系科学设计的.小明对学校所添置的一批课桌、凳进行观察研究,发现它们可以根据人的身长调节高度.于是,
26
他测量了一套课桌、凳上对应四档的高度,得到数据见下表:
档次
高度
第一档
第二档
第三档
第四档
凳高x(厘米)
37.0
40.0
42.0
45.0
桌高y(厘米)
70.0
74.8
78.0
82.8
(1)小明经过对数据的探究,发现桌高y是凳高x的一次函数,请你写出这个一次函数的解析式;(不要求写出x的取值范围)
(2)小明回家后测量了家里的写字台和凳子,写字台的高度为77厘米,凳子的高度为43.5厘米,请你判断它们是否配套,并说明理由.
解: (1)设函数的解析式为y=kx+b,则
解得
∴一次函数的解析式为y=1.6x+10.8.
(2)不配套.理由:
当x=43.5时,y=1.6×43.5+10.8=80.4≠77,
∴这个写字台和凳子不配套.
10.小李从西安通过某快递公司给在南昌的外婆寄一盒樱桃,寄快递时,他了解到这个公司除了收取每次6元包装费外,樱桃不超过1 kg收费22元,超过1 kg,则超出部分每千克加收10元费用,设该公司从西安到南昌快寄樱桃的费用为y(元),所寄樱桃为x(kg).
(1)求y与x之间的函数解析式;
(2)已知小李给外婆快寄了2.5 kg樱桃,请你求出这次快寄的费用是多少元?
解:(1)当01时,y=28+10(x-1)=10x+18.
∴y=
(2)当x=2.5时,y=10×2.5+18=43.
∴这次快寄的费用是43元.
26
03 综合题
11.从A地向B地打长途电话,通话时间不超过3 min收费2.4元,超过3 min后每分钟加收1元.
(1)根据题意,填写下表:
通话时间/min
2
3
6
…
通话费用/元
2.4
2.4
5.4
…
(2)设通话时间为x min,通话费用为y元,求y与x的函数解析式;
(3)若小红有10元钱,求她打一次电话最多可以通话的时间(本题中通话时间取整数,不足1 min的通话时间按1 min计费).
解:(2)当x≤3时,y=2.4;
当x>3时,y=2.4+(x-3)×1=x-0.6.
∴y=
(3)根据题意,得x-0.6≤10,解得x≤10.6.
∵通话时间取整数,不足1 min的通话时间按1 min计费,
∴她打一次电话最多可以通话10 min.
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19.2.3 一次函数与方程、不等式
01 基础题
知识点1 一次函数与一元一次方程
1.若直线y=kx+b的图象经过点(1,3),则方程kx+b=3的解是x=(A)
A.1 B.2
C.3 D.4
2.一次函数y=kx+b的图象如图所示,则方程kx+b=0的解为(C)
A.x=2
B.y=2
C.x=-1
D.y=-1
3.已知方程3x+9=0的解是x=-3,则函数y=3x+9与x轴的交点坐标是(-3,0).
知识点2 一次函数与一元一次不等式(组)
4.(2017·乌鲁木齐)如图是一次函数y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的图象,则不等式kx+b>0的解集是(A)
A.x<2 B.x<0
C.x>0 D.x>2
第4题图 第5题图
5.如图是一次函数y=kx+b的图象,当y<2时,x的取值范围是(C)
A.x<1 B.x>1
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C.x<3 D.x>3
6.将一次函数y=x的图象向上平移2个单位,平移后,若y>0,则x的取值范围是(B)
A.x>4 B.x>-4
C.x>2 D.x>-2
7.已知函数y=kx+b的图象如图所示,利用函数图象回答:
(1)当x取何值时,kx+b=0;
(2)当x取何值时,kx+b=1.5;
(3)当x取何值时,kx+b<0;
(4) 当x取何值时,0.5<kx+b<2.5.
解:(1)x=-0.5.
(2)x=1.
(3)x<-0.5.
(4)0< x<2.
知识点3 一次函数与二元一次方程组
8.如图,一次函数y=k1x+b1的图象l1与y=k2x+b2的图象l2相交于点P,则方程组的解是(A)
A. B.
C. D.
9.如图,直线l1:y=x+1与直线l2:y=mx+n相交于点P(1,b).
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(1)求b的值;
(2)不解关于x,y的方程组请你直接写出它的解.
解:(1)∵P(1,b)在直线l1上,
∴b=1+1,即b=2.
(2)
02 中档题
10.如图是直线y=x-5的图象,点P(2,m)在该直线的下方,则m的取值范围是(D)
A.m>-3
B.m>-1
C.m>0
D.m<-3
11.(2017·菏泽)如图,函数y1=-2x与y2=ax+3的图象相交于点A(m,2),则关于x的不等式-2x>ax+3的解集是(D)
A.x>2 B.x<2
C.x>-1 D.x<-1
第11题图 第12题图
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12.已知一次函数y=kx+b的图象如图所示,当x<1时,y的取值范围是y