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新化一中2017-2018学年度第二学期入学考试
高二数学（理科）试题
时 间：120分钟 满 分：150分
命题人：胡胜虎 审题人：吴文凯
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）．1、已知集合，则（ ）
2、 （ ）
A． B． C． D．
3、命题“任意一个无理数，它的平方不是有理数”的否定是（ ）
A、存在一个有理数，它的平方是无理数。
B、任意一个无理数，它的平方是有理数。
C、任意一个有理数，它的平方是有理数。
D、存在一个无理数，它的平方是有理数。
否
是
第6题
4、“”是“方程表示图形为双曲线”的（ ）
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
5、在正方体中，分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
6、如果执行右面的程序框图，那么输出的（ ）
A、22 B、46 C、 D、190
7、已知双曲线的一个焦点为，且渐近线与圆 相切，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
8、在△中，已知，则=（ ）
9、将正三棱柱截去三个角（如图1所示A，B，C分别是△GHI三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）
A．B．C． D．
10、甲、乙、丙三个人在一起做作业，有一道数学题比较难，当他们三个人都把自己的解法说出来以后，甲说：“我做错了。”乙说：“甲做对了。”丙说：“我做错了。”在一旁的丁看到他们的答案并听了她们的意见后说：“你们三个人中有一个人做对了，有一个人说对了。”请问，他们三人中到底谁做对了？( )
A、甲 B、乙 C、丙 D、无法判断
11、设是椭圆的左、右焦点，为直线 上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
12、已知函数对任意的满足 （其中是函数 的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、等差数列中, ，，
则的通项公式为 ．
14、若正数满足，则的最小值为
15、已知，式中变量，满足下列条件： ，若的最大值为，则的值为 ．
16、已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点A、B,则|AB|等于
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）．
17、（10分）已知函数．若函数的图象在点处的切线与直平行，函数f(x)在处取得极值，
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）求函数在的最值．
18. (12分) 已知等差数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
19、(12分) 在中，的对边分别是，已知.
（1）求的值；
(2)若，求边的值．
20、(12分) 如图，四棱锥中，底面为矩形，平面平面，
P
A
B
C
D
，.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
21、（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，一个顶点为C（2，0），离心率为，，。
（1）求椭圆E的方程，并求其焦点坐标；
（2）设直线R交椭圆于、两点，试探究：点与以线段为直径的圆的位置关系，并证明你的结论．
M
22．(12分) 若函数.
（1）求函数的单调区间
（2）若若对所有的都有成立，求实数a的取值范围.
新化一中2018年上学期入学考试高二数学（理）试卷
时 间：120分钟 满 分：150分
命题人：胡胜虎 审题人：吴文凯
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）．1、已知集合，则（ C ）
2、 （ C ）
A． B． C． D．
3、命题“任意一个无理数，它的平方不是有理数”的否定是（ D ）
A、存在一个有理数，它的平方是无理数。
B、任意一个无理数，它的平方是有理数。
C、任意一个有理数，它的平方是有理数。
D、存在一个无理数，它的平方是有理数。
否
是
第6题
4、“”是“方程表示图形为双曲线”的（ A ）
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
5、在正方体中，分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ C ）
A. B. C. D.
6、如果执行右面的程序框图，那么输出的（ B ）
A、22 B、46 C、 D、190
7、已知双曲线的一个焦点为，且渐近线与圆 相切，则双曲线的方程为（ A ）
A． B． C． D．
8、在△中，已知，则=（ B ）
9、将正三棱柱截去三个角（如图1所示A，B，C分别是△GHI三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ A ）
A．B．C． D．
10、甲、乙、丙三个人在一起做作业，有一道数学题比较难，当他们三个人都把自己的解法说出来以后，甲说：“我做错了。”乙说：“甲做对了。”丙说：“我做错了。”在一旁的丁看到他们的答案并听了她们的意见后说：“你们三个人中有一个人做对了，有一个人说对了。”请问，他们三人中到底谁做对了？( C )
A、甲 B、乙 C、丙 D、无法判断
11 设是椭圆的左、右焦点，为直线 上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为（ C ）
A. B. C. D.
12已知函数对任意的满足 （其中是函数 的导函数），则下列不等式成立的是（ A ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、等差数列中, ，，
则的通项公式为 ．
14、若正数满足，则的最小值为 8
15、已知，式中变量，满足下列条件： ，若的最大值为，则的值为 ．
16、已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点A、B,则|AB|等于
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）．
17、（10分）已知函数．若函数的图象在点处的切线与直平行，函数f(x)在处取得极值，
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）求函数在的最值．
解：（Ⅰ）∵，∴．…………1分
由题意得， 即，解得．经检验符合题意，
∴；…………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令得，…………7分
列表如下：
↗
极大值
↘
极小值
↗
…………9分
由表中可知时，，．…………10分
18. (12分) 已知等差数列的前项和为，且，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和．
解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，则由条件得
，…………………………………2分
解得， ……………………………………4分
所以通项公式，即……………………6分
（Ⅱ）令，解得，
∴ 当时，；当时， ………………8分
………10分
……………12分
19、(12分) 在中，的对边分别是，已知.
（1）求的值；
(2)若，求边的值．
解：（1）由 正弦定理得：
所以，又，所以。
（2）由（1）得，
又由，
得
展开得：，
所以，又且，解得，
而，所以。
20、(12分) 如图，四棱锥中，底面为矩形，平面平面，
P
A
B
C
D
，.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.
P
A
B
C
D
H
M
解：（Ⅰ）证明：取的中点M，连结. …1分
由，得，
由，得， …………………2分
且.
平面.………………………………3分
平面，
. …………………………………………………………………………………4分
（Ⅱ）在平面中，过点作于点， 连结，交于.
…………………………………………………………………………………………………5分
P
A
B
C
D
H
O
x
y
z
∵平面平面，平面平面，
∴平面.
. ………………………6分
由（1）及，
平面，
，…………………………………7分
在中，，即.
，.
在中，，.
.………………………………8分
以D为坐标原点，DA，DC所在的直线为x ，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，..
，.…………………………………………9分
设平面的法向量是，则
，，
即，得其中一个法向量为. …………………………10分
设直线与平面所成角为，又，则.
直线与平面所成角的正弦值为.……………………………………………………12分
21、（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，一个顶点为C（2，0），离心率为，，。
（Ⅰ）求椭圆E的方程，并求其焦点坐标；
（Ⅱ）设直线R交椭圆于、两点，试探究：点与以线段为直径的圆的位置关系，并证明你的结论．
M
22．（Ⅰ）解：由题意可得：a=2，，a2=b2+c2，联立解得a=2，c=b=．
∴椭圆C的标准方程为： =1，其焦点坐标为：．…………………………4分
（Ⅱ）设点，
由，∴，，
……………………………6分
∵，，∴
， ……………10分
∴，又不共线，∴为锐角，………………11分
因此，点在以为直径的圆外． ……………………………………12分
22．(12分) 若函数.
（I）求函数的单调区间
（II）若若对所有的都有成立，求实数a的取值范围.
解:（1）的定义域为,.
.
①当.
②时, …………………2分
.…3分
.
.………………………………5分
综上, ;
单调递减区间为.
的单调递增区间（0，+）. …………………6分
（2）.
,则.
∵当时，，∴函数在区间上是增函数。
∴
.
.
. …………………12分
另解：,
,
,
.
单增.
①当,
.
.
②当.
不成立.
综上所述. ……………………12分
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