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2018届高三数学3月检测试题(理科有答案安徽江南十校)

时间:2018-03-12 17:02:21作者:佚名试题来源:网络
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2018年安徽省“江南十校”综合素质检测
理科数学
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.为虚数单位,则 (   )
A.            B.         C.        D.
2.已知集合 , ,则(   )
A.                     B.
C.                 D.
3. 是 上奇函数,对任意实数都有 ,当 时, ,则 (   )
A.                  B.             C.            D.
4.在区间 上随机取两个数,,则函数 有零点的概率是(   )
A.                  B.             C.             D.
5.下列说法中正确的是(   )
①“ ,都有 ”的否定是“ ,使 ”.
②已知 是等比数列, 是其前项和,则 , , 也成等比数列.
③“事件 与事件 对立”是“事件 与事件 互斥”的充分不必要条件.
④已知变量, 的回归方程是 ,则变量, 具有负线性相关关系.
A.①④                B.②③           C.②④          D.③④
6.执行如图所示的程序框图,输出的 和的值分别是(   )
 
A. ,            B. ,         C. ,         D. ,
7.古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有蒲生一日,长三尺;莞生一日,长一尺。蒲生日自半,莞生日自倍.问几何日而长等?”.意思是:“今有蒲草第一天,长为尺;莞生长第一天,长为尺.以后蒲的生长长度逐天减半,莞的生长长度逐天加倍.问几天后蒲的长度与莞的长度相等?”以下给出了问题的个解,其精确度最高的是(结果保留一位小数,参考数据: , )(   )
A. 日              B. 日           C. 日          D. 日
8.在 中,角 , , 所对的边分别为,,,且 , ,则 的值为(   )
A.                  B.              C.             D.
9.某几何体的三视图如图所示,其中正视图由矩形和等腰直角三角形组成,侧视图由半圆和等腰直角三角形组成,俯视图的实线部分为正方形,则该几何体的表面积为(   )
 
A.         B.        C.        D.
10. 的展开式中各项系数之和为,则该展开式中常数项为(   )
A.            B.            C.               D.
11.若函数 的导函数  , 的部分图象如图所示, ,当 时,则 的最大值为(   )
 
A.           B.           C.                 D.
12.已知函数  ,若对任意实数 ,都有 ,则实数的取值范围是(   )
A.             B.            C.        D.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知 , ,实数 满足 ,则           .
14.实数、 满足 ,则 的取值范围是          .
15.正四棱柱 底面边长为,侧棱长为, 、 分别为棱 、 的中点,则四面体 的外接球的表面积为          .
16.已知双曲线 , 的焦点分别在轴, 轴上,渐近线方程为 ,离心率分别为 , .则 的最小值为          .
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共60分
17.等差数列 的首项 ,公差 ,前项和 满足 .
(1)求数列 的通项公式;
(2)若 ,数列 的前项和为 ,求证 .
18.习近平总书记在党的十九大工作报告中提出,永远把人民对美好生活的向往作为奋斗目标.在这一号召的引领下,全国人民积极工作,健康生活.当前,“日行万步”正成为健康生活的代名词.某学校工会积极组织该校教职工参与“日行万步”活动.界定日行步数不足千步的人为“不健康生活方式者”,不少于 千步的人为“超健康生活方式者”,其他为“一般生活方式者”.某日,学校工会随机抽取了该校 名教职工,统计他们的日行步数,按步数分组,得到频率分布直方图如图所示:
 
(1)求 名教职工日行步数(千步)的样本平均数(结果四舍五入保留整数);
(2)由直方图可以认为该校教职工的日行步数(千步)服从正态分布 ,其中 为样本平均数,标准差 的近似值为 ,求该校被抽取的 名教职工中日行步数(千步) 的人数(结果四舍五入保留整数);
(3)用样本估计总体,将频率视为概率.若工会从该校教职工中随机抽取人作为“日行万步”活动的慰问奖励对象,规定:“不健康生活方式者”给予精神鼓励,奖励金额每人元;“一般生活方式者”奖励金额每人 元;“超健康生活方式者”奖励金额每人 元.求工会慰问奖励金额 的分布列和数学期望.
附:若随机变量服从正态分布 ,
则 , .
19.如图,在以 、 、 、 、 、 为顶点的五面体中,平面 平面 , ,四边形 为平行四边形,且 .
 
(1)求证: ;
(2)若 , ,直线 与平面 所成角为 ,求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
20.线段 为圆 : 的一条直径,其端点 , 在抛物线 : 上,且 , 两点到抛物线 焦点的距离之和为 .
(1)求直径 所在的直线方程;
(2)过 点的直线交抛物线 于 , 两点,抛物线 在 , 处的切线相交于 点,求 面积的最小值.
21.已知函数  .
(1)求函数 的单调递增区间;
(2)讨论函数 零点的个数.
(二)选考题:共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
22.选修4-4:坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系 中,曲线 的参数方程是 ( 为参数, ),在以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 的极坐标方程是 ,等边 的顶点都在 上,且点 , , 依逆时针次序排列,点 的极坐标为 .
(1)求点 , , 的直角坐标;
(2)设 为 上任意一点,求点 到直线 距离的取值范围.
23.选修4-5:不等式选讲]
已知函数 , .
(1)当 ,解不等式 ;
(2)求证: .

 

 


2018年安徽省“江南十校”综合素质检测
数学(理科)解析及评分标准
一、选择题
1-5: CBADD      6-10: ACDAD     11、12:CD
二、填空题
13.  或          14.          15.         16. 
三、解答题
17.解:(1)∵ ,∴ ,得 ,
∵ ,∴ ,
又∵ ,∴ , ,
∴ .
(2)∵ ,∴ ,∴  ,
 
 
 .
18.解:(1)   .
(2)∵ ,∴ , ,
∴   .
走路步数 的总人数为 人.
(3)由题意知 的可能取值为 , , , ,,
  ,  ,
   ,
  ,  .
则 的分布列为:
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 

   .
19.解:(1)过 作 交 于 ,连接 ,由平面 平面 ,得 平面 ,因此 .
∴ , , ,
∴ ,∴ ,
由已知 得 为等腰直角三角形,因此 ,又 ,
∴ 平面 ,∴ .
 
(2)∵ , 平面 , 平面 ,∴ 平面 ,
∵平面 平面 ,∴ ,
由(1)可得 , , 两两垂直,以 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 ,由题设可得 ,进而可得 , , , , , ,
设平面 的法向量为 ,则 ,即 ,
可取 ,
设平面 的法向量为 ,则 ,即 ,
可取 ,
则  ,
∴二面角的余弦值为 .
20.解:(1)设 , ,抛物线 的焦点为 ,则 ,
又 ,故 ,∴ ,
于是 的方程为 .
 ,则  ,
∴ 的直线方程为 .
(2)不妨记 , , ,直线的方程为 ,
联立 得 ,
则 ,  ,
又因为 ,则 ,
同理可得: ,
故 , 为一元二次方程 的两根,
∴ ,
点 到直线 的距离  ,
   ,
∴ 时, 的面积 取得最值 .
21.解:(1)当 时, 的定义域为 ,
  ,令 得:
 , ,
∴ 的单调递增区间为 .
当 时, 的定义域为 ,  ,
当 即 时, 的单调增区间为 ,
当 ,即 时,  .
 的单调递增区间为 和 .
(2)由(1)知当 时, 在 内单调递增, ,
故 只有一个零点 ,
当 时, 在 处取极大值, 处取极小值.
由 知 ,而 ,则 ,
  ,
∵ ,∴ ,∴ ,
∴当 时,函数 只有一个零点 ,
当 时,
令 ,
 , 在 单调递减,在 单调递增,
 ,∴ (当且仅当 时,等号成立),
i) 时,
 , , ,
由(1)函数单调性知, ,所以函数在 存在零点,
∴ 在 有两个零点.
ii) 时,
 , , ,
同理可得函数在 存在零点,
∴ 在 有两个零点.
iii) 时,
 ,函数在 有一个零点.
综上所述:
当 或 时,函数有一个零点,
当 且 时,函数有两个零点.
22.解:(1)由 , 可得点 的直角坐标 ,
由已知, 点的极坐标为 ,可得 两点的直角坐标为 ,
 点的极坐标为 ,同理可得 两点的直角坐标为 .
(2) 直线的方程为 ,
设点  ,则点 到直线 距离
  (其中 , ),
因为 ,所以 ,所以 ,
所以 .
23.解:(1)当 ,
 或 或
 或 或
 或 ,
所以不等式的解集为 .
(2)       .

 
 
 

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