成都外国语学校高二下期入学考试数学试题（理）
1．设集合，则（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】B
2．已知命题p: ；命题q：若a＞b，则a2>b2，下列命题为真命题的是
A. B. C. D.
【解析】由时有意义，知p是真命题，由可知q是假命题，即均是真命题，故选B.
3．若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
4．阅读如图所示的程序框图，若运行相应的程序输出的结果为0，则判断框中的条件不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】前6步的执行结果如下：；；；；；；观察可知，的值以3为周期循环出现，
所以判断条件为？时，符合题意．
5．函数（为自然对数的底数）的图像可能是（ ）
【解析】由解析式知函数为偶函数，故排除B、D，又，故选A．
6.若直线ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x﹣4y+1=0截得的弦长为4，则的最小值为（ ）
A． B． C．+ D．+2
试题分析：圆即（x+1）2+（y﹣2）2=4，表示以M（﹣1，2）为圆心，以2为半径的圆，由题意可得 圆心在直线ax﹣by+2=0上，得到a+2b=2，故 =+++1，利用基本不等式求得式子的最小值．
解：圆x2+y2+2x﹣4y+1=0 即 （x+1）2+（y﹣2）2=4，表示以M（﹣1，2）为圆心，以2为半径的圆，
由题意可得 圆心在直线ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）上，故﹣1a﹣2b+2=0，
即 a+2b=2，∴=+=+++1≥+2=，
当且仅当 时，等号成立，故选 C．
7．在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）表示的区域面积等于1，则抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】作可行域：
由题知：，，，，，，抛物线，即：，准线方程为：．
8．高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则截面所在平面与底面所在平面所成的锐二面角的正切值为（ ）
A．2 B．
C． D．
【答案】B
【解析】如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，．设平面的法向量为，则，即：
，，又为平面的法向量，设所求二面角为，则，从而．
9．如图，正方形的边长为6，点，分别在边，上，且，．若有，则在正方形的四条边上，使得成立的点有（ ）个
A．2 B．4 C．6 D．0
【答案】B
【解析】若在上，；
若在上，；
若在上，；
同理，在上时也有；
若在上，；
同理，在上时也有；
所以，综上可知当时，有且只有4个不同的点使得成立．
10．已知双曲线的左、右顶点分别为、，动直线与圆相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为，，则的最小值为（ ）
A． B．2 C．4 D．
【答案】A 与圆相切，，．
由，得，
，
，，故的取值范围为．
由于，，
，当时，取最小值．
11已知两定点和，动点在直线上移动，椭圆以为焦点且经过点，则椭圆的离心率的最大值为（ ）
A. B. C. D.
12．已知函数的定义域为，当时，，且对任意的实数，等式成立，若数列满足，且，则下列结论成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【解析】
当 时 与时，矛盾，因此
当时，，
设 ，则,因此为单调减函数，从而 ,,,,,选D.
13．设是数列的前项和，，且，则数列的通项公式为________．
【答案】
【解析】当时，，解得；
当时，，
整理得．
因为，所以，即，
所以是以3为首项，3为公差的等差数列，所以，即．
14．从某大学随机抽取的5名女大学生的身高（厘米）和体重（公斤）数据如下表；
x
165
160
175
155
170
y
58
52
62
43
根据上表可得回归直线方程为，则表格中空白处的值为________．
【答案】60
【解析】根据回归直线经过样本中心可得，表格中空白处的值为60．
15．已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为该抛物线的焦点，点在抛物线上且满足，则的最小值为________．
【答案】
【解析】如图所示，，，过作准线的垂线，垂足是，由对称性，不妨令在第一象限，，
问题等价于求的最小值，
而，当且仅当时等号成立，
所以，即：．
16 过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线，交双曲线于两点，则的值为＿＿＿
解 因为，离心率，点准距，因倾斜角为，所以。注意到分别在双曲线的两支上，由焦半径公式得， 。
17．已知函数.
(1)求的单调递增区间；
(2)设的内角的对边分别为，且，若，求 的值．
试题解析：
(1) .
由，得
∴函数的单调递增区间为.
(2)由，得， ，
.
又,由正弦定理得①;
由余弦定理得，即，②由①②解得.
18．为了展示中华汉字的无穷魅力，传递传统文化，提高学习热情，某校开展《中国汉字听写大会》的活动．为响应学校号召，2（9）班组建了兴趣班，根据甲、乙两人近期8次成绩画出茎叶图，如图所示，甲的成绩中有一个数的个位数字模糊，在茎叶图中用表示．（把频率当作概率）．
（1）假设，现要从甲、乙两人中选派一人参加比赛，从统计学的角度，你认为派哪位学生参加比较合适？
（2）假设数字的取值是随机的，求乙的平均分高于甲的平均分的概率．
试题解析：
（1）由茎叶图可知甲、乙两人成绩的平均数为
，
，
∴
∵， ，
∴两人的平均成绩相等，但甲的成绩比较稳定，派甲参加比较合适．
（2）由，得，∴，
又为整数，∴，
又的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，∴乙的平均分高于甲的平均分的概率为．
19．正项数列满足， ，数列为等差数列， ， .
（1）求证： 是等比数列，并求的通项公式；
（2）令，求数列的前项和
试题解析：
（1）由题可得，
∵，∴，∴，
又，∴ 数列是首项为，公比为3的等比数列．
∴，∴ ．∴ ，
由题意得，解得∴．
（2）由（1）得， ，∴，
∴
，
令 ①，
则②，
①②得
．
所以．∴
20．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PPD//平面MAC，PA=PD=，AB=4．
（I）求证：M为PB的中点；
（II）求二面角B-PD-A的大小；
（III）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．
试题解析：解：（I）设交点为，连接.
因为平面，平面平面，所以.
因为是正方形，所以为的中点，所以为的中点.
（II）取的中点，连接， .
因为，所以.
又因为平面平面，且平面，所以平面.
因为平面，所以.
因为是正方形，所以.
如图建立空间直角坐标系，则， ， ，
， .
设平面的法向量为，则，即.
令，则， .于是.
平面的法向量为，所以.
由题知二面角为锐角，所以它的大小为.
（III）由题意知， ， .
设直线与平面所成角为，则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
21．已知函数为奇函数, 为常数.
（1）确定的值；
（2）求证： 是上的增函数；
（3）若对于区间上的每一个值，不等式恒成立，求实数的取值范围.
试题解析：
（1）∵函数是奇函数， ，
即 ∴，整理得， ∴，解得，
当时， ，不合题意舍去，
∴。
（2）由（1）可得，设，
则，
∵,∴∴,∴,
∴，即.∴是上的增函数.
（3）依题意得在上恒成立，
设， ，
由（2）知函数在上单调递增，
∴当，所以.
故实数的取值范围为.
22．如图, 为坐标原点,椭圆 的左右焦点分别为,离心率为;双曲线 的左右焦点分别为,离心率为,已知,且.
(1)求的方程;
(2)过点作的不垂直于轴的弦, 为的中点,当直线与交于两点时,求四边形面积的最小值.
(1)由题可得,且,因为,且,所以且
且,所以椭圆方程为,双曲线的方程为.
(2)由(1)可得,因为直线不垂直于轴,所以设直线的方程为,联立直线与椭圆方程可得,则,,则,因为在直线上,所以,则直线的方程为,联立直线与双曲线可得 ,则,则,设点到直线的距离为,则到直线的距离也为,则,因为在直线的两端,所以,
则 ,又因为在直线上,所以 ,
则四边形面积,因为,所以当时,四边形面积的最小值为.
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