专题09等差数列与等比数列（易错起源）-2018年高考数学（理）备考黄金易错点Word版含解析.doc

‎1.【2017课标1，理4】记为等差数列的前项和．若，，则的公差为 A．1 B．2 C．4 D．8‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，即，则，即，解得，故选C.‎ ‎2.【2017课标II，理3】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）‎ A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 ‎【答案】B ‎3.【2017课标1，理12】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A．440 B．330 C．220 D．110‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得，数列如下：‎ 则该数列的前项和为 ‎，‎ 要使，有，此时，所以是第组等比数列的部分和，设，‎ 所以，则，此时，‎ 所以对应满足条件的最小整数，故选A.‎ ‎4. 【2016高考新课标1卷】已知等差数列前9项的和为27,,则 （ ）‎ ‎（A）100 （B）99 （C）98 （D）97‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知,所以故选C.‎ ‎5.【2016高考浙江理数】如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且，，‎ ‎（）.若（ ）‎ A．是等差数列 B．是等差数列 C．是等差数列 D．是等差数列 ‎【答案】A ‎6.【2016年高考北京理数】已知为等差数列，为其前项和，若，，则_______..‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】∵是等差数列，∴，，，，‎ ‎∴，故填：6．‎ ‎7.【2016高考江苏卷】已知是等差数列，是其前项和.若，则的值是 ▲ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由得，因此 ‎5、【2016高考新课标1卷】设等比数列满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a‎1a2 …an的最大值为 ．‎ ‎【答案】64‎ ‎【解析】设等比数列的公比为，由得，解得.所以，于是当或时，‎ 取得最大值.‎ ‎8.【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）‎ 记.对数列和的子集T，若,定义;若，定义.例如：时，.现设是公比为3的等比数列，且当时，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）对任意正整数，若，求证：；‎ ‎（3）设,求证：.‎ ‎【答案】（1）（2）详见解析（3）详见解析 ‎（2）因为，，‎ 所以.‎ 因此，.‎ ‎（3）下面分三种情况证明.‎ ‎①若是的子集，则.‎ ‎②若是的子集，则.‎ ‎③若不是的子集，且不是的子集.‎ 令，则，，.‎ 于是，，进而由，得.‎ 设是中的最大数，为中的最大数，则.‎ 由（2）知，，于是，所以，即.‎ 又，故，‎ 从而，‎ 故，所以，‎ 即.‎ 综合①②③得，. ‎ 易错起源1、等差数列、等比数列的运算 例1、(1)已知数列{an}中，a3＝，a7＝，且是等差数列，则a5等于(　　)‎ A.B.C.D. ‎(2)已知等比数列{an}的各项都为正数，其前n项和为Sn，且a1＋a7＝9， a4＝2，则S8等于(　　)‎ A．15(1＋) B．15 C．15 D．15(1＋)或15(1＋)‎ 答案　(1)B　(2)D 解析　(1)设等差数列的公差为d，则＝＋4d，∴＝＋4d，解得d＝2.‎ ‎∴＝＋2d＝10，解得a5＝.‎ ‎(2)由a4＝2，得a1a7＝a＝8，故a1，a7是方程x2－9x＋8＝0的两根，所以或因为等比数列{an ‎}的各项都为正数，所以公比q>0.当时q＝＝，所以S8＝＝15(1＋)；‎ 当时，q＝＝，所以S8＝＝15.故选D.‎ ‎【变式探究】(1)已知{an}是等差数列，公差d不为零．若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，则a1＝________，d＝________.‎ ‎(2)已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，a1＋a2＝1，a3＋a4＝2，则log2＝________.‎ 答案　(1)　－1　(2)1006‎ ‎ ‎ ‎(2)在等比数列中，(a1＋a2)q2＝a3＋a4，‎ 即q2＝2，所以a2013＋a2014＋a2015＋a2016‎ ‎＝(a1＋a2＋a3＋a4)q2012＝3×21006，‎ 所以log2＝1006.‎ ‎【名师点睛】‎ 在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a1和d(q)的方程组求解，但要注意消元法及整体计算，以减少计算量．‎ ‎【锦囊妙计，战胜自我】‎ ‎1．通项公式 等差数列：an＝a1＋(n－1)d；‎ 等比数列：an＝a1·qn－1.‎ ‎2．求和公式 等差数列：Sn＝＝na1＋d；‎ 等比数列：Sn＝＝(q≠1)．‎ ‎3．性质 若m＋n＝p＋q，‎ 在等差数列中am＋an＝ap＋aq；‎ 在等比数列中am·an＝ap·aq.‎ 易错起源2、等差数列、等比数列的判定与证明 例2、已知数列{an}的前n项和为Sn (n∈N*)，且满足an＋Sn＝2n＋1.‎ ‎(1)求证：数列{an－2}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)求证：＋＋…＋