2018年青岛市高三统一质量检测
数学（理科）
本试题卷共6页，23题(含选考题)。全卷满分150分。考试用时120分钟。
☆祝考试顺利☆
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5．考试结束后，请将答题卡上交。
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则
A． B． C． D．
2.设复数（是虚数单位），的共轭复数为，则
A． B． C． D．
3.若，则的值为
A． B． C． D．
4.已知双曲线的一个焦点为，一条渐近线的斜率为，则该双曲线的方程为
A． B． C. D．
5.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A．
B．
C.
D．
6.中国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果
A．2
B．3
C.4
D．5
7.已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，则三棱柱外接球的表面积为
A． B． C. D．
8.函数的大致图像为
9.已知，其中为自然对数的底数，则在的展开式中的系数是
A．240 B．80 C.-80 D．-240
10.已知函数的最小周期为，且其图像向右平移个单位后得到的图像关于轴对称，则
A． B． C. D．
11.已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，若的面积为4，则的值为
A． B．1 C. D．2
12.若函数在的定义域上单调递增，则称函数具有性质.给出下列函数：①；②；③；④.以上函数中具有性质的个数为
A．1 B．2 C.3 D．4
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.
13.已知向量，向量，若，则的值为_____．
14.已知实数满足，则的最小值为____________．
15.已知定义在上的偶函数在上单调递减，在上随机地取一个数，则事件“不等式”发生的概率是______．
16.如图所示，在四边形中，，则的取值范围为__．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题~21题为必考题，每个考题都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求解答.
（一）必考题：共60分
17.(12分)已知等差数列的公差为2，等比数列的公比为2，且.
（1）求数列和的通项公式；
（2）令，记数列的前项和为，试比较与的大小.
18.（12分）如图，圆柱横放在底面边长为1的正六棱锥的顶点上，和分别是圆柱左和右两个底面的圆心，正六棱锥底面中心为分别是圆柱的底面的最高点和最低点，是圆柱的底面的最低点，为中点，点共面，点共线，四边形为矩形.
（1）证明：平面；
（2）求二面角大小.
注：正棱锥就是底面是一个正多边形，
顶点在底面上的正投影为底面的中心的棱锥.
19.（12分）某校高三年级的500名学生参加了一次数学测试，已知这500名学生的成绩全部介于60分到140分之间（满分150分），为统计学生的这次考试情况，从这500名学生中随机抽取50名学生的考试成绩作为样本进行统计.将这50名学生的测试成绩的统计结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，第三组，……，第八组.如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.
（1）求第七组的频率，并完成频率分布直方图；
（2）估计该校高三年级的这500名学生的这次考试成绩的中位数；
（3）若从样本成绩属于第一组和第六组的所有学生中随机抽取2名，记这2名学生中属于第一组的人数为，令，求的分布列及.
20.（12分）已知为坐标原点，点在椭圆上，点在圆上，在中点为，满足三点共线.
（1）求直线的斜率；
（2）若直线与圆相交于两点，记的面积为的面积为，求
的最大值.
21（12分）.已知函数
若对于恒成立.
（1）求实数的值；
（2）证明：存在唯一极大值点，且.
(二)选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程(10分)
已知曲线（为参数），（为参数），在以原点为极点，轴非负半轴为极轴的极坐标系中，直线.
（1）求曲线的普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若上的点对应的参数为上的点，求的中点到直线距离的最小值.
23.选修4-5：不等式选讲（10分）
设函数.
（1）解不等式；
（2）若对一切实数都成立，求的取值范围.
微信/支付宝扫码支付