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太原市2018年高三模拟试题（一）
数学试卷（理工类）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2. 若复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3. 已知命题；命题若，则，则下列为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
4. 执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）
A． B． C. 3 D．2
5. 已知等比数列中，，则（ ）
A． B． C. D．
6. 函数的图像大致为（ ）
A． B．
C. D．
7. 已知不等式在平面区域上恒成立，若的最大值和最小值分别为和，则的值为（ ）
A． 4 B． 2 C. -4 D．-2
8.已知抛物线的焦点为，准线为是抛物线上的两个动点，且满足．设线段的中点在上的投影为，则 （ ）
A． B． C. D．
9. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A． B． C. 2 D．4
10.已知函数，若，在上具有单调性，那么的取值共有 （ ）
A． 6个 B． 7个 C. 8个 D．9个
11.三棱锥中，底面为正三角形，若，则三棱锥与三棱锥的公共部分构成的几何体的外接球的体积为（ ）
A． B． C. D．
12.设函数，若存在区间，使在上的值域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
二、填空题：本大题共4道，每小题5分，共20分．
13.在多项式的展开式中，的系数为___________．
14.已知双曲线的右焦点为，过点向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于，若，则双曲线的离心率___________．
15.某人在微信群中发了一个7元“拼手气”红包，被甲、乙、丙三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则甲领取的钱数不少于其他任何人的概率是___________．
16.数列中，，若数列满足，则数列的最大项为第__________项．
三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 的内角为的对边分别为，已知．
（1）求的最大值；
（2）若，当的面积最大时，的周长；
18.某校倡导为特困学生募捐，要求在自动购水机处每购买一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱．现统计了连续5天的售出矿泉水箱数和收入情况，列表如下：
售出水量（单位：箱）
7
6
6
5
6
收入（单位：元）
165
142
148
125
150
学校计划将捐款以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生综合考核前20名，获一等奖学金500元；综合考核21-50名，获二等奖学金300元；综合考核50名以后的不获得奖学金．
（1）若与成线性相关，则某天售出9箱水时，预计收入为多少元？
（2）甲乙两名学生获一等奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为，已知甲乙两名学生获得哪个等级的奖学金相互独立，求甲乙两名学生所获得奖学金之和的分布列及数学期望；
附：回归方程，其中．
19. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，．
（1）求证：；
（2）若分别为的中点，平面，求直线与平面所成角的大小．
20.已知椭圆的左、右顶点分别为，右焦点为，点在椭圆上．
（1）求椭圆方程；
（2）若直线与椭圆交于两点，已知直线与相交于点，证明：点在定直线上，并求出定直线的方程．
21. ．
（1）证明：存在唯一实数，使得直线和曲线相切；
（2）若不等式有且只有两个整数解，求的范围．
22.在平面直角坐标系中，曲线过点，其参数方程为（为参数，），以为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）求已知曲线和曲线交于两点，且，求实数的值．
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若的解集包含，求的取值范围．
试卷答案
一、选择题
1-5: AABDB 6-10: CCDAD 11、12：BC
二、填空题
13. 120 14. 15. 16. 6
三、解答题
17.解：（1）由得：，
，即，，；
由，
令，原式，
当且仅当时，上式的最大值为．
（2），即，当且仅当等号成立；，
周长．
18.解：（1），经计算，所以线性回归方程为，
当时，的估计值为206元；
（2）的可能取值为0，300，500，600，800，1000；
；；；
；；；
0
300
500
600
800
1000
所以的数学期望．
19．解：（1）
连接交于点，连接，∵底面是正方形，∴，
又平面平面，
∴平面，∵平面，∴，
又，∴；
（2）
设的中点为，连接，则，
又，∴，
∴四边形为平行四边形，∴，
∵平面，∴平面，
∴，∵是的中点，∴，
∵平面，∴，又，
∴平面，∴，
又，∴平面，
以为坐标原点，以为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
∴，∵平面，∴为平面的一个法向量．
∴，
设直线与平面所成角为，则，
∴直线与平面所成角为．
20.解：（1），∴，由题目已知条件知，∴，所以；
（2）由椭圆对称性知在上，假设直线过椭圆上顶点，则，
∴，，∴，所以在定直线上．
当不在椭圆顶点时，设，得，
所以，
，当时，得，
所以显然成立，所以在定直线上．
21.解：（1）设切点为，则 ①，
和相切，则 ②，
所以，
即．令，所以单增．又因为，所以，存在唯一实数，使得，且．所以只存在唯一实数，使①②成立，即存在唯一实数使得和相切．
（2）令，即，所以，
令，则，由（1）可知，在上单减，在单增，且，故当时，，当时，，
当时，因为要求整数解，所以在时，，所以有无穷多整数解，舍去；
当时，，又，所以两个整数解为0，1，即，
所以，即，
当时，，因为在内大于或等于1，
所以无整数解，舍去，综上，．
22.考点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程的互化，直线的参数方程中的几何意义．
解：（1）的参数方程，消参得普通方程为，
的极坐标方程为两边同乘得即；
（2）将曲线的参数方程标准化为（为参数，）代入曲线得，由，得，
设对应的参数为，由题意得即或，
当时，，解得，
当时，解得，
综上：或．
23．考点：绝对值不等式
解：（1）当时，，
①时，，解得；
②当时，，解得；
③当时，，解得；
综合①②③可知，原不等式的解集为．
（2）由题意可知在上恒成立，当时，，从而可得，即，且，，因此．
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