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2018届高三·十四校联考 第一次考试
数学（理科）试卷
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数满足，则的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
2.已知全集为，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3.袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“”“”“”“”，现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是（ ）
A． B． C． D．
4.若双曲线的焦距为，则等于（ ）
A．或 B． C. D．
5.记为等差数列的前项和，若，，则等于（ ）
A． B． C. D．
6.执行如图所示的程序框图，则其输出的结果是（ ）
A． B． C. D．
7.已知函数为偶函数，当时，，且为奇函数，则
（ ）
A． B． C. D．
8.已知一个棱长为的正方体被两个平面所截得的几何体的三视图（单位：）如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A． B． C. D．
9.若，，，，则，，这三个数的大小关系正确的是（ ）
A． B． C. D．
10.函数的部分图象如图所示，已知，，且，则等于（ ）
A． B． C. D．
11.若对于函数图象上任意一点处的切线，在函数的图象上总存在一条切线，使得，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C. D．
12.如图，已知椭圆，过抛物线焦点的直线交抛物线于、两点，连接，并延长分别交于、两点，连接，与的面积分别记为，.则在下列命题中，正确命题的个数是（ ）
①若记直线，的斜率分别为、，则的大小是定值为；
②的面积是定值；
③线段、长度的平方和是定值；
④设，则.
A．个 B．个 C.个 D．个
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知向量，，若，则 ．
14.已知为常数，且，则的二项展开式中的常数项为 ．
15.已知，满足约束条件，则的最大值是最小值的倍，则 ．
16.已知数列满足：，.设是等差数列，数列是各项均为正整数的递增数列，若，则 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.设函数.
（Ⅰ）求函数的递增区间；
（Ⅱ）在中，，，分别为内角，，的对边，若，，且，求的面积.
18.某百货商店今年春节期间举行促销活动，规定消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动，随着抽奖活动的有效开展，参与抽奖活动的人数越来越多，该商店经理对春节前天参加抽奖活动的人数进行统计，表示第天参加抽奖活动的人数，得到统计表格如下：
1
2
3
4
5
6
7
5
8
8
10
14
15
17
（Ⅰ）经过进一步统计分析，发现与具有线性相关关系.请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；
（Ⅱ）该商店规定：若抽中“一等奖”，可领取元购物券；抽中“二等奖”可领取元购物券；抽中“谢谢惠顾”，则没有购物券.已知一次抽奖活动获得“一等奖”的概率为，获得“二等奖”的概率为.现有张、王两位先生参与了本次活动，且他们是否中奖相互独立，求此二人所获购物券总金额的分布列及数学期望.
参考公式：，，.
19. 如图，在梯形中，，，，，四边形是菱形，.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的平面角的正切值.
20. 已知椭圆 上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值是最小值的倍，且点在椭圆上.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点任作一条直线，与椭圆交于不同于点的、两点，与直线交于点，记直线、、的斜率分别为、、.试探究与的关系，并证明你的结论.
21. 已知函数（其中且为常数，为自然对数的底数，）.
（Ⅰ）若函数的极值点只有一个，求实数的取值范围；
（Ⅱ）当时，若（其中）恒成立，求的最小值的最大值.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）设为曲线上的点，为曲线上的点，求的最小值.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（Ⅰ）若不等式有解，求实数的最大值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正实数，满足，证明：.
试卷答案
一、选择题
1-5:DBDAB 6-10:ACDBC 11、12：DA
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.【解析】（Ⅰ）函数的解析式可化为：
.
由，
得函数的递增区间为.
（Ⅱ）因为，即，所以，
因为是三角形的内角，所以，
又因为，由正弦定理得，
所以，
所以，
因为，，由余弦定理得.
所以，，故的面积为.
18.【解析】（Ⅰ）依题意：，
，，，
，，
则关于的线性回归方程为.
（Ⅱ）二人所获购物券总金额的可能取值有、、、、元，它们所对应的概率分别为：
，，，
，.
所以，总金额的分布列如下表：
0
300
600
900
1200
总金额的数学期望为元.
19.【解析】（Ⅰ）依题意，在等腰梯形中，，，
∵，∴即，
∵，∴，而，∴.
连接，∵四边形是菱形，∴，
∴，∵，∴.
（Ⅱ）取的中点，连接，因为四边形是菱形，且.
所以由平面几何易知，∵，∴.
故此可以、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，各点的坐标依次为：，，，，，.
设平面和平面的法向量分别为，，
∵，.
∴由，令，则，
同理，求得.
∴，故二面角的平面角的正切值为.
20.【解析】（Ⅰ）因为椭圆上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值和最小值分别为，，所以依题意有：，
∵，∴.故可设椭圆的方程为：，
因为点在椭圆上，所以将其代入椭圆的方程得.
∴椭圆的方程为.
（Ⅱ）依题意，直线不可能与轴垂直，故可设直线的方程为：即，
，为与椭圆的两个交点.
将代入方程化简得：.
所以，.
.
又由 ，解得，，
即点的坐标为，所以.
因此，与的关系为：.
21.【解析】（Ⅰ）函数的定义域为，其导数为
.
由或，
设，∵，∴当时，；当时，.
即在区间上递增，在区间上递减，∴，
又当时，，当时，且恒成立.
所以，当或时，方程无根，函数只有一个极值点.
当时，方程的根也为，此时的因式恒成立，
故函数只有一个极值点.
当时，方程有两个根、且，，∴函数在区间单调递减；单调递增；单调递减；单调递增，此时函数有、、三个极值点.
综上所述，当或时，函数只有一个极值点.
（Ⅱ）依题意得，令，则对，都有成立.
因为，所以当时，函数在上单调递增，
注意到，∴若，有成立，这与恒成立矛盾；
当时，因为在上为减函数，且，所以函数在区间上单调递增，在上单调递减，∴，
若对，都有成立，则只需成立，
，
当时，则的最小值，∵，∴函数在上递增，在上递减，∴，即的最小值的最大值为；
综上所述，的最小值的最大值为.
请考生在第（22）～（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.【解析】（Ⅰ）∵且，∴由得
，
∴曲线的直角坐标方程为.
（Ⅱ）设是曲线上的任意一点，
由消去得，知曲线为直线.
设到的距离为，则（当且仅当取“=”），
故的最小值为.
23.【解析】（Ⅰ）若不等式有解，只需的最大值即可.
因为，所以，解得，
所以实数的最大值.
（Ⅱ）根据（Ⅰ）知正实数，满足，由柯西不等式可知，
所以，，因为，均为正实数，所以（当且仅当时取“=”）.
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