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数学试卷（理科）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间为120分钟.
2．本试卷分试题卷和答题卷，第Ⅰ卷（选择题）的答案应填在答题卷卷首相应的空格内，做在第Ⅰ卷
的无效.
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、 选择题：本大题共12小题,每小题５分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.
1．已知集合，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
2．设，其中是实数，
则（ ）
A． B． C． D．
3．下面框图的S的输出值为 （ ）
A．5
B．6
C．8
D．13
4．已知随机变量服从正态分布且，则（ ）
A． B． C． D．
5．在各项不为零的等差数列中，，数列是等比数列，且，则的值为（ ）
A．1 B．2 C. 4 D．8
6．下列命题正确的个数是（ ）
（1）函数的最小正周期为”的充分不必要条件是“”.
（2）设，则使函数的定义域为且为奇函数的所有的值为.
（3）已知函数在定义域上为增函数，则.
A．1 B．2 C．3 D．0
7．已知向量，若，则与夹角为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线所画出的是某几何体的三视图，则该几何体的各条棱中最长的棱长为（ ）
A.
B.
C.
D.
9．若关于的不等式无解，则 （ ）
A. B. C. D.
10．若是抛物线上不同的点，且，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知动点满足：，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数＝（为自然对数的底数），则函数的零点的个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
第II卷（非选择题共90分）
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13．的展开式中的常数项为 .
14．已知F1、F2为双曲线的焦点，过F2作垂直于实轴的直线交双曲线于A、B两点，BF1交y轴于点C，
若AC⊥BF1，则双曲线的离心率为 .
15．已知矩形的两边长分别为，，是对角线的中点，
是边上一点，沿将折起，使得点在平面上的投影恰
为（如右图所示），则此时三棱锥的外接球的表面积是 .
16．在中，内角A,B,C所对的边分别是，，
则有如下结论：（1）;（2）的最大值为;
（3）当取最大值时，.
则上述说法正确的结论的序号为 .
三、解答题：共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17.（本小题满分12分）若数列是正项数列，且，
（1）求{}的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面，底面为梯形，，，且.
（1）求二面角的大小；
（2）在线段上是否存在一点，使得?
若存在，求出的长；若不存在，说明理由.
19．（本小题满分12分）汽车的普及给人们的出行带来了诸多方便，但汽车超速行驶也造成了诸多隐患.为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间[40，80]中，其频率分布直方图如图所示.
求被抽测的200辆汽车的平均时速.
该路段路况良好，但属于事故高发路段，交警部门对此路段
过往车辆限速.对于超速行驶，交警部门对超速车辆
有相应处罚：记分（扣除驾驶员驾照的分数）和罚款.罚款情
况如下：
超速情况
10%以内
10%～20%
20%～50%
50%以上
罚款情况
0元
100元
150元
可以并处吊销驾照
①求被抽测的200辆汽车中超速在10%～20%的车辆数.
②该路段车流量比较大，按以前统计该路段每天来往车辆约2000辆.试预估每天的罚款总数.
20．（本小题满分12分）已知椭圆过点两点．
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）设为第三象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，
求证：四边形的面积为定值．
21．（本小题满分12分）已知函数.
(1)若函数的图像与的图像关于直线对称，试求在零点处的切线方程..
(2)函数在定义域内的两极值点为，且，试比较与大
小，并说明理由.
（二）选考题：共10分。请考生在22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22.（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（
为参数），,1),直线与曲线相交与，两点.
(1)求曲线和直线的平面直角坐标方程；
(2)求的值.
23.（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】
设 .
（1）求 的解集;
（2）若不等式，对任意实数恒成立，求实数x的取值范围.
九校联考理科数学参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1—5：BDABC 6—10：BACAA 11—12：DD
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.we,c
13. 14. 15. 16.（1）（3） .
三、解答题：共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17.（1）数列{an}满足．
n≥2时，． ……………2分
∴
……………5分
也满足上式.
……………6分
（2） 由题意得……………7分
……………12分
18．解：
（Ⅰ）因为梯形中，，, 所以.
因为平面，所以,
如图，以为原点，
所在直线为轴建立空间直角坐标系, …………….1分
所以.
设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为,
因为
所以，即，
取得到,
同理可得, ……………….4分
所以, N 因为二面角为锐角，
所以二面角为. ………………….6分
（Ⅱ）假设存在点，设，
所以, ……10分
所以，解得,
所以存在点，且. ……….12分
19.（本小题满分12分）
解析：平均时速……………3分
①超速在10%～20%的速度在～之间
速度在～之间的车辆数为辆
所以速度在～之间的车辆数为辆
又 速度在～之间的车辆数为辆
所以速度在～之间的车辆数为辆
故超速10%～20%的车辆约辆 …………………8分
②设任意一辆车的罚款数为，被抽测的200辆汽车中均没有超速50%以上，的分布列如下：
0
100
150
故元 ………………10分
所以预计罚款总数约为元…………………12分
20.解：（1）由题意得，，所以椭圆的方程为，
又,所以离心率．．．．．．．．．．．5分
（2）设，则，
又，所以直线的方程为，
令，得，从而，
直线的方程为．令，得，从而，
所以四边形的面积：
从而四边形的面积为定值．．．．．．．．．．．． 12分
21.（本小题满分12分）
解析：令得：
显然是的一个零点，又，
在上为增函数，为减函数，由图像可知有且只有一个零点.
又
故在零点处的切线方程为
函数的图像与的图像关于直线对称，所以的零点为
，在此处的切线斜率为
所以，所求方程为 …………………5分
所以，要比较与的大小，只需比较与的大小。 …………………6分
由得
=……7分
设（其中）
因为，而由
得
故为增函数，最大值为0。所以在上
所以
即 ………………11分
综上所述 …………………12分
（二）选考题：共10分。请考生在22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22.（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
解：(1)曲线的极坐标方程为，即
∴曲线的平面直角坐标方程为
直线的平面直角坐标方程为，即……5分
(2)易知点P在直线上，∴
又直线过F,0)，直线的参数方程可改为（为参数），代入得，，
∴
∴……………………10分
23.（解：(1)由有 ………3分
解得， ……5分
（2） ………7分
当且仅当 时取等号.
由不等式 对任意实数恒成立，可得
解得 ………10分
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