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宜宾市高2015级（2018届）高三第一次诊断测试题
理科数学
一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
１.当时，复数在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2. 已知集合
A． B． C． D．
3. 已知向量且平行则向量的坐标为
A． B． C． D．或
4. 过点,且在坐标轴上截距相等的直线的方程是
A． B．
C． D．
5. 学校田径队有男运动员28人，女运动员21人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽取7人组建集训队进行训练，一段时间后，再从集训队中抽取3人代表学校参加比赛，则这3人中男、女运动员都有的选法种数为
A． B． C． D．
6. 直线被圆截得的弦长为
A． B． C． D．
7. 若将函数的图像向右平移个单位，则平移后的函数的对称中心为
A． B． C． D．
8. 古希腊数学家欧几里得首先提出用辗转相除法计算两个正整数的最大公约数，如图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的
则输出的
A． B． C． D．
9. 已知是等差数列，为的前项和，若，， 则最大值为
A． B． C． D．
10. 已知点是所在平面内一点，满足从内任取一点，则点在内部的概率为
A． B． C． D．
11. 已知是双曲线的左右焦点, 与抛物线的焦点重合，点在上,与轴垂直,,则的离心率为
A． B． C． D．
12. 已知函数则
的值为
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在的展开式中，常数项等于 ．（用数字填写答案）
14．在中，若,则 ．
15．某商场有五个门供顾客出入，使用这些门需遵守以下操作规则：①如果开启1号门,则必须同时开启2号门并且关闭5号门；②如果开启2号门或者是5号门，那么要关闭4号门；③不能同时关闭3号门和4号门.现在已经开启1号门，则还需同时开启的2个门的序号是 .
16．已知函数，当时，函数在上均为增函数，则的最大值为 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17. （12分）
已知数列是公差不为的等差数列,首项且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足求数列的前项和
18. （12分）
在中，为角的对边，.
（1）求的大小；
（2）若,求的范围.
19. （12分）
某商业集团公司根据相关评分细则，对其所属25家商业连锁店进行了考核评估．将各连锁店的评估分数按[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成4组，其频率分布直方图如图所示．集团公司依据评估得分，将这些连锁店划分为A、B、C、D四个等级，其等级评定标准如下所示：
评估得分
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]
评定等级
D
C
B
A
（1）估计该商业集团各连锁店评估得分的众数和平均数；
（2）从评估分数不小于80分的连锁店中任选2家介绍营销经验，记这两家评估的分数分别为，求的概率．
20. （12分）
已知为椭圆的左顶点，过作斜率为的直线交椭圆于另一点点在上，
（1） 当时，求的面积；
（2） 求证：直线恒过定点.
21. （12分）
已知函数
（1） 求实数的值；
（2） 求证：
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题记分。
22. [选修4—4：坐标系与参数方程] (10分）
在直角坐标系中，曲线的参数方程为 (其中参数).
（1）以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，求曲线的极坐标方程；
（2）直线的参数方程为 (其中参数,是常数)，直线与曲线交于两点，且，求直线的斜率．
23. [选修4—5：不等式选讲] (10分）
已知函数.
（1）当时，解不等式；
（2）当时,恒成立，求实数的取值范围．
宜宾市高2015级高三第一次诊断测试题
数学（理工类）参考答案
说明：
一、本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可比照评分意见制订相应的评分细则．
二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半，如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
C
D
B
D
D
D
A
D
B
C
B
二、填空题:本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
(13) 240 (14) 2 （15） 2和3
三、解答题
.解：（1） 设数列的公差为,
由题意, ；
. ……………………………6分
（2）由（I）可知
…………………………12分
18.解：（1）由题意和正弦定理可知，,
………………………4分
,………………………分
（2）………分
………………分
19. 解：（1）最高小矩形下底边的中点值为75，估计评估得分的众数为75.………3分
频率分布直方图中从左至右第一、三、四个小矩形的面积分别为0.28,0.16,0.08，则第二个小矩形的面积为1－0.28－0.16-0.08＝0.48，所以＝65×0.28＋75×0.48＋85×0.16＋95×0.08＝18.2＋36＋13.6＋7.6＝75.4.
估计该商业集团各连锁店评估得分的平均数为75.4 . ……………8分
（2）A等级的频数为25×0.08＝2，B等级的频数为25×0.16＝4，
………………………分此问有错
20.解: （1）设,则由题意可知 与联立,
,有椭圆的对称性可知,.
………………分
（2）由题意可知，的斜率不为0,设,
………………分
………………分
………………12分
21.解：（1）
………………4分
（2）由（I）可知
…………8分
………………12分
22.解： （1）
的普通方程 …………………2分
的极坐标方程 …………………4分
（2） 直线的普通方程 ……………6分
由（I）知：圆心, …………………8分
…………………10分
23.解: （1）,
当时,原不等式化为 得
此时解集为 …………………2分
当时, 原不等式化为 得，
…………………3分
当时, 原不等式化为得，
…………………4分
综上：原不等式的解集 …………………5分
（2）,恒成立
…………………6分
…………………7分
令,;,.
的最大值为,最小值为, …………………9分
…………………10分
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