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2020届高一下期四月月考
数学试题
第I卷（选择题）
一、选择题（本题共12道小题，每题5分，共60分）
1.cos600°=（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
2.已知在数轴上0和3之间任取一实数x，则使“log2x＜1”的概率为（ ）
A． B． C． D．
3.已知集合M={x|x2+x﹣12≤0}，N={y|y=3x，x≤1}，则集合{x|x∈M且x∉N}为（ ）
A．（0，3] B．[﹣4，3] C．[﹣4，0） D．[﹣4，0]
4.若直线x+y﹣2=0与直线x﹣y=0的交点P在角α的终边上，则tanα的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C． D．
5.函数，若，则的值是
A．1或2 B．1 C．2 D．1或﹣2
6.若下面的程序框图输出的S是30，则条件①可为（ ）
A．n≤3 B．n≤4 C．n≤5 D．n≤6
7.下列四个图中，函数的图象可能是
A B C D
8.已知直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是
A．（－2，2） B．（－1，1） C． D．
9.阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为19，则输出的值为 （ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
10.已知直线平行，则的值是（ ）
A.0或1 B.1或 C.0或 D.
11. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是
某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A． B．2 C． D．4
12.已知函数设，若关于的不等式在上恒成立，则a的取值范围是
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本题共4道小题，每题5分，共20分）
13.某单位共有老、中、青职工430人，其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍。为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为_______．
14.设为第三象限角，若，则 ．
15.已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱和底面垂直，且所有棱长都相等，若该三棱柱的各顶点都在球O的表面上，且球O的表面积为7π，则此三棱柱的体积为 ．
16.已知为偶函数，当时，，则满足的实数 的个数有________个
三、解答题（本题共6道小题，共70分）
17.（本小题10分）
某校从参加高二年级数学竞赛考试的学生中抽出60名学生，将其成绩分成六段，然后画出如图所示部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求第四个小组的频率以及频率分布直方图中第四个小矩形的高；
（2）估计这次考试的及格率（60分及60分以上为及格）和平均分．
18.（本小题12分）
已知圆C经过点A（2，0）、B（1，﹣），且圆心C在直线y=x上．
（1）求圆C的方程；
（2）过点（1，）的直线截圆所得弦长为2，求直线的方程．
19.（本小题12分）
从某居民区随机抽取10个家庭，获得第个家庭的月收入（单位：千元）与月储蓄（单位：千元）的数据资料，算得，，，．
（1）求家庭的月储蓄对月收入的线性回归方程；
（2）判断变量与之间是正相关还是负相关；
（3）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．
附：线性回归方程中，，
其中，为样本平均值．
20.（本小题12分）
如图的茎叶图记录了甲、乙两代表队各10名同学在一次英语听力比赛中的成绩（单位：分），已知甲代表队数据的中位数为76，乙代表队数据的平均数是75．
（1）求x，y的值；
（2）若分别从甲、乙两队随机各抽取1名成绩不低于80分的学生，求抽到的学生中，甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率；
（3）判断甲、乙两队谁的成绩更稳定，并说明理由．
21.（本小题12分）
如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，其中AA1=5，D是棱AA1上的点，且AD=DA1．
（1）证明：平面BDC1⊥平面BDC；
（2）平面BDC1分此棱柱为两部分，求上部分与下部分体积的比．
22.（本小题12分）
定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的一个上界.
已知函数，.
（1）若函数为奇函数，求实数的值；
（2）在（1）的条件下，求函数在区间上的所有上界构成的集合；
（3）若函数在上是以为上界的有界函数，求实数的取值范围.
2020届高一下期四月月考
数学答案
1.B 2.C 3.D 4.A 5.C 6.B 7.C 8.C 9.C 10.C 11.A 12.A
13.18 14. 15. 16.8
17.【解答】解：（1）第四小组分数在[70，80）内的频率为：
1﹣（0.005+0.01+0.015+0.015+0.025）×10=0.30 则第四个小矩形的高为=0.03，
（2）由题意60分以上的各组频率和为：（0.015+0.03+0.025+0.005）×10=0.75，
故这次考试的及格率约为75%，
由45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71，
得本次考试中的平均分约为71：
18.【解答】解：（1）AB的中点坐标（，），AB的斜率为．可得AB垂直平分线为x+6y=0，与x﹣y=0的交点为（0，0），圆心坐标（0，0），半径为2，
所以圆C的方程为x2+y2=4；
（2）直线的斜率存在时，设直线l的斜率为k，又直线l过（1，），
∴直线l的方程为y﹣=k（x﹣1），即y=kx+﹣k，
则圆心（0，0）到直线的距离d=，又圆的半径r=2，截得的弦长为2，
则有，
解得：k=﹣，则直线l的方程为y=﹣x+．
当直线的斜率不存在时，直线方程为x=1，满足题意．
直线l的方程：x=1或y=﹣x+．
19.
20.【解答】解：（1）因为甲代表队的中位数为76，其中已知
高于76的有77，80，82，88，低于76的有71，71，
65，64，所以x=6，
因为乙代表队的平均数为75，其中超过75的差值为
5，11，13，14，和为43，少于75的差值为3，5，
7，7，19，和为41，所以y=3，
（2）甲队中成绩不低于80的有80，82，88；
乙队中成绩不低于80的有80，86，88，89，
甲乙两队各随机抽取一名，种数为3×4=12，
其中甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的有80，80；82，80；88，80；88，86；88，88．种数为3+1+1=5，所以甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率为p=，
（3）因为甲的平均数为：
=（64+65+71+71+76+76+77+80+82+88）=75，
所以甲的方差S2甲= [（64﹣75）2+（65﹣75）2+2×（71﹣75）2+2×（76﹣75）2+（77﹣75）2+（80﹣75）2+（82﹣75）2+（88﹣75）2]=50.2，
又乙的方差S2乙= [（56﹣75）2+2×（68﹣75）2+（70﹣75）2+（72﹣75）2+（73﹣75）2+（80﹣75）2+（86﹣75）2+（88﹣75）2+（89﹣75）2]=100.8，
因为甲队的方差小于乙队的方差，所以甲队成绩较为稳定．
21.【解答】解：（1）∵BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC=C，
∴BC⊥平面ACC1A1，又DC1⊂平面ACC1A，∴DC1⊥BC．
∵AD=，∴A1D=，AC=A1C1=，
∴，又∠DAC=∠DA1C1=90°，
∴△A1DC1～△ADC，∴∠A1DC1=∠ACD，
∴∠A1DC1+∠ADC=90°，∴DC1⊥DC，
又DC∩BC=C，DC⊂平面BDC，BC⊂平面BDC，
∴DC1⊥平面BDC，∵DC1⊂平面BDC1，
∴平面BDC1⊥面BDC．
（2）设AA1=h，则AD=，AC=BC=，
∴V===，
V=S△ABC•h==．
∴V=V﹣V=．
所以平面BDC1分此棱柱的体积比2：3．
22.
解：（1）因为函数为奇函数，
所以，即，
即，得，而当时不合题意，故.
（2）由（1）得：，
下面证明函数在区间上单调递增，
证明略.
所以函数在区间上单调递增，
所以函数在区间上的值域为，
所以，故函数在区间上的所有上界构成集合为.
（3）由题意知，在上恒成立.
，.
在上恒成立.
设，，，由得
设,
,
所以在上递减，在上递增，
在上的最大值为，在上的最小值为 .
所以实数的取值范围为.
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