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遂宁市高中2018届三诊考试
数学（理科）试题
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。总分150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，满分60分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。
2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．考试结束后，将答题卡收回。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。）
1．已知集合，，若，则
A． B．
C． D．
2．复数（为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是
A． B．
C． D．
3．设，则“”是“”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．在一圆柱中挖去一圆锥所得的机械部件的三视图如图所示，则此机械部件的表面积为
A．
B．
C．
D．
5．已知函数，那么下面说法正确的是
A．函数在上是增函数，且最小正周期为
B．函数在上是减函数，且最小正周期为
C．函数在上是减函数，且最小正周期为
D．函数在上是增函数，且最小正周期为
6．若，则目标函数的取值范围是
A． B． C． D．
7． 如图，在中，，，，
则
A． B．
C． D．
8．程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作.它问世后不久便风行，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用.卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个.问该若干？”如图是解决该问题的程序框图.执行该程序框图，求得该垛果子的总数为
A．120 B．84
C．56 D．28
9．已知是双曲线上任意一点，过点分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为、，则的值是
A． B．
C． D．不能确定
10．已知5台机器中有2台存在故障，现需要通过逐台检测直至区分出2台故障机器为止.若检测一台机器的费用为2000元，则所需检测费的均值为
A．6400元 B．6800元
C．7000元 D．7200元
11．已知，，，四点均在以点为球心的球面上 ，且
，，.若球在球内且与平面相切，则球表面积的最大值为
A． B．
C． D．
12．设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）
注意事项：
1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。
2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题至第21题为必考题，每个试题考生都作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量，，若，则 ▲ ．
14．已知在中，，则的面积为 ▲ ．
15．直线被圆截得的弦长为，则直线的倾斜角为 ▲ ．
16．是上可导的奇函数，是的导函数.已知时，不等式的解集为，则在上的零点的个数为 ▲ .
三、解答题 （本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. （本小题满分12分）
设数列的前项和为.已知.
（1）求的通项公式；
（2）若数列满足，求的前项和.
▲
18．（本小题满分12分）
为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度，现在某市进行调查，随机调查了人，他们年龄的频数分布及支持“生育二胎”人数如下表：
年龄
[5,15)
[15,25)
[25,35)
[35,45)
[45,55)
[55,65)
频数
5
10
15
10
5
5
支持“生
育二胎”
4
5
12
8
2
1
（1）由以上统计数据填下面2乘2列联表，并问是否有的把握认为以岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异：
年龄不低于45岁的人数
年龄低于45岁的人数
合计
支持
▲
▲
▲
不支持
▲
▲
▲
合计
▲
▲
▲
（2）若对年龄在的被调查人中各随机选取两人进行调查，记选中的人不支持“生育二胎”人数为，求随机变量的分布列及数学期望.
参考数据：，，
▲
19．（本小题满分12分）
如图所示的几何体中，为三棱柱，且平面，四边形为平行四边形，．
（1）若，
求证：平面；
（2）若，二面角的余弦值为，求三棱锥的体积．
▲
20．（本小题满分12分）
已知椭圆的离心率为，其右顶点在圆上.
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线交椭圆于，两点.
（i）若以弦为直径的圆过坐标原点，求实数的值；
（ii）设点关于轴的对称点为（点与点不重合)，且直线与轴交于点，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.
▲
21．(本小题满分12分)
已知函数，．
（1）若在处取得极值，求的值；
（2）设，试讨论函数的单调性；
（3）当时，若存在实数满足，
求证：．
▲
请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.
22.（本题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
点是曲线（）上的动点，，的中点为.
（1）求点的轨迹的直角坐标方程；
（2）若上点处的切线斜率的取值范围是，求点横坐标的取值范围.
▲
23.（本题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知函数．
（1）解不等式；
（2）若，，且，
求证：．
▲
遂宁市高中2018届三诊考试
数学（理科）试题参考答案及评分意见
一、选择题（12×5=60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
A
B
D
A
D
B
A
C
D
B
二、填空题（45=20分）
13. 14. 15. 或 16. 2
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．）
17. （本小题满分12分）
解：（1）因为，所以 ，故 …………1分
当 时， 此时，即
所以， …………5分
（2）因为 ，
所以；当 时， ，
所以 …………7分
当 时，
所以
两式相减，得
…………10分
所以 …………11分
经检验， 时也适合，
综上可得： …………12分
18．（本小题满分12分）
解：（1）2乘2列联表
年龄不低于45岁的人数
年龄低于45岁的人数
合计
支持
32
不支持
18
合 计
10
40
50
…………3分
＜
所以没有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异
…………5分
（2）所有可能取值有0,1,2,3 …………6分
…………10分
所以的分布列是
所以的期望值是 …………12分
19．（本小题满分12分）
解：（1）证明：连接交于，因为，又平面，
所以，所以四边形为正方形，
所以，在中，，
由余弦定理得，
所以，所以，所以，又，
所以平面，
所以，又因为从而平面 ………5分
（2）如图建立直角坐标系，则
设平面的法向量为，由
即解得
设平面的法向量为 …………8分
由得解得
…………10分
由得，所以 ……11分
此时所以
…………12分
20.（本小题满分12分）
解：（1）因为椭圆C的右顶点在圆O：上，所以，又离心率为，
所以，所以，则有，
所以椭圆C的方程为 …………4分
（2）（i）设，.
直线与椭圆方程联立，
化简并整理得， …………5分
∴，
∴，
.
因为以弦MN为直径的圆过坐标原点，
所以，∴，即，
代入，得，解得， 所以.…………8分
（ii）由题意，，所以直线的方程为，
令，得
所以点的坐标为 …………10分
的面积为
当且仅当，即时等号成立，
故的面积存在最大值，最大值为. …………12分
21．(本小题满分12分)
解：（1）因为，所以，
因为在处取得极值，
所以，解得．
验证：当时，，
易得在处取得极大值． …………3分
（2）因为，
所以
…………4分
①若，则当时，，
所以函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减．………5分
②若，，
当时，易得函数在和上单调递增，
在上单调递减；
当时，恒成立，所以函数在上单调递增；
当时，易得函数在和上单调递增，
在上单调递减； …………8分
（3）证明：当时，
因为，
所以，
所以．
令，，
则，
当时，，所以函数在上单调递减；
当时，，所以函数在上单调递增；
所以函数在时，取得最小值，最小值为． …………10分
所以，
即，所以 …………11分
当时，此时不存在满足等号成立条件，
所以． …………12分
22.（本题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
解：（1）由，得设，，
则，即，代入，
得，∴； …………5分
（2）轨迹是一个以为圆心，半径的半圆，如图所示，
设，设点处切线的倾斜角为
由斜率范围，可得， …………7分
而，∴，∴，
所以，点横坐标的取值范围是． …………10分
23.（本题满分10分）选修4－5：不等式选讲
解：（1）
当时，由，解得；当时，不成立；
当时，由，解得；
所以不等式的解集为 …………5分
（2），即，即．
因为，，所以，，又有，
所以，
所以，故所证不等式成立． …………10分
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