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2018年唐山市五校高三联考
理科数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知,,则
A． B． C． D．
2．已知复数满足，则的虚部是
A．-1 B． 1 C．-2 D．2
3．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最大边长为
A． B． C． D．
4．设，则的大小顺序是
A． B． C． D．
5．如图的平面图形由16个全部是边长为1且有一个内角为60°的菱形组成，那么图形中的向量的数量积
A． B． C．8 D．7
6．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为
A． B． C． D．
7. 若，则
A． B．1 C． D．1或
8．若满足则下列不等式恒成立的是
A． B． C． D．
9．函数 ()的部分图象如图所示,则＝
A． B．
C． D．
10．如图，是抛物线()的焦点，直线过点且与抛物线及其准线交于,, 三点，若,，则抛物线的标准方程是
A． B．
C． D．
11．
A．0个 B．1个 C． 2个 D． 3个
12． 已知四面体ABCD的四个顶点都在半径为3的球面上，AB是球的直径，且ABCD，BC=3，CD=2，则四面体ABCD的体积为
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知随机变量，若，则 .
14. 若(其中),则的展开式中的系数为 .
15. 已知点P(3,0)，在⊙Ｏ：上随机取一点,则的概率为 .
16. 已知不等式 恒成立，则的最大值为_______.
三、解答题：共70分．
17．（12分）
数列的前n项和为若，点在直线上.
（Ⅰ）求证：数列是等差数列；
（Ⅱ）若数列满足，求数列的前n项和.
18．（12分）
某公司想了解对某产品投入的宣传费用与该产品的营业额的影响.下面是以往公司对该产品的宣传费用 (单位：万元)和产品营业额 (单位：万元)的统计折线图.
(Ⅰ)根据折线图可以判断，可用线性回归模型拟合宣传费用与产品营业额的关系，请用相关系数加以说明；
(Ⅱ)建立产品营业额关于宣传费用的归方程；
(Ⅲ)若某段时间内产品利润与宣传费和营业额的关系为
应投入宣传费多少万元才能使利润最大，并求最大利润.
参考数据：，，，，
参考公式：相关系数，，
回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为
(计算结果保留两位小数)
19．（12分）
如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若，分别为，的中点，平面，
求直线与平面所成角的大小．
20．（12分）
已知点F(1，0)，圆E:，点P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q．
(Ⅰ)求动点Q的轨迹Γ的方程；
(Ⅱ)若直线与圆O:相切，并与(1)中轨迹Γ交于不同的两点A、B．当=，且满足时，求△AOB面积S的取值范围．
21．（12分）
函数，
（Ⅰ）求函数在点处的切线方程；
（Ⅱ）若时，有成立，求的取值范围.
选考题：共10分．请考生在第(22)，(23)题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数），以该直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（Ⅰ）写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点，直线与曲线相交于，两点，，求实数的值．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知为正数，函数
（Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ）若的最小值为，且，求证：
2018年唐山市五校高三联考
理科数学试卷答案
一.选择题（每题5分，共60分）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(A)
A
B
B
D
A
A
B
D
C
C
C
B
二、填空题：(每小题5分，共20分．)
13. 0.8 14.60 15. 16.
三、解答题：
17．（12分）数列的前n项和为若，点在直线上.
([来]I）求证：数列是等差数列；
（II）若数列满足，求数列的前n项和
解：（I）上，
同除以 ……2分
数列是以3为首项，1为公差的等差数列. ……4分
（II）由（I）可知，
当n=1时，a1=3，当
经检验，当n=1时也成立， ……6分
……8分
……10分
即 ……12分
18．（12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若，分别为，的中点，平面，求点B到平面的距离.
解：（Ⅰ）连接，交于点，
∵底面是正方形，∴，且为的中点，
又∵，，∴平面---------2分
由于平面，故，又∵，故；…………4分
（Ⅱ）设的中点为，连接，，//，
∴为平行四边形，，
∵平面，∴平面，
∴，的中点为，
∴， ……6分
由平面，又可得，
又∵，，∴平面，
∴，又∵，∴平面， ……8分
由题意，，，两两垂直，以为坐标原点，
向量，， 的方向为，，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，， ……10分
而为平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，，
∴直线与平面所成角为. ……12分
19．（12分）
某公司想了解对某产品投入的宣传费用与该产品的营业额的影响.下面是以往公司对该产品的宣传费用 (单位：万元)和产品营业额 (单位：万元)的统计折线图.
(Ⅰ)根据折线图可以判断，可用线性回归模型拟合宣传费用与产品营业额的关系，请用相关系数加以说明；
(Ⅱ)建立产品营业额关于宣传费用的归方程；
(Ⅲ)若某段时间内产品利润与宣传费和营业额的关系为，应投入宣传费多少万元才能使利润最大，并求最大利润.
参考数据：，，，，
参考公式：相关系数，，
回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为
.(计算结果保留两位小数)
（Ⅰ）由折线图中数据和参考数据得：，，
因为与的相关系数近似为0.99，说明与的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系. ……4分
（Ⅱ），3，
所以关于的回归方程为. ……8分
（Ⅲ）由，可得时，.
所以投入宣传费3万元时，可获得最大利润55.4万元. ……12分
20．（12分）
已知点F(1，0)，圆E:，点P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q．
(Ⅰ)求动点Q的轨迹Γ的方程；
(Ⅱ)若直线与圆O:相切，并与(1)中轨迹Γ交于不同的两点A、B．当=，且满足时，求△AOB面积S的取值范围．
(Ⅰ)连接QF，∵|QE|＋|QF|=|QE|＋|QP|=|PE|=(|EF|=2)，
∴点的轨迹是以E(-1，0) 、F(1，0)为焦点，长轴长的椭圆，
即动点Q的轨迹Γ的方程为； ……4分
(Ⅱ)依题结合图形知的斜率不可能为零，所以设直线的方程为()．
∵直线即与圆O:相切，
∴得． ……5分
又∵点A、B的坐标(，)、(，)满足：
消去整理得，
由韦达定理得，．
其判别式， ……7分
∵==
∈[，]．……9分
． ……10分
∵，且∈[，]．
∴∈[，]． ……12分
21．（12分）
函数，
（Ⅰ）求函数在点处的切线方程；
（Ⅱ）若时，有成立，求的取值范围.
解：（Ⅰ） ∴
又所以在点处在切线方程为 ……4分
(Ⅱ)由于函数定义域为
所以 ……6分
令
则，可得当时，，当时，
所以 ……8分
令，则，
可得当时，，当时，
所以 ……10分
因此，由得， ……12分
选考题：共10分．请考生在第(22)，(23)题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数），以该直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（Ⅰ）写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点，直线与曲线相交于，两点，，求实数的值．
解：（1），
故曲线的普通方程为． ……2分
直线的直角坐标方程为．……4分
（2）直线的参数方程可以写为（为参数）． ……5分
设，两点对应的参数分别为，，
将直线的参数方程代入曲线的普通方程，
可以得到， ……7分
所以 ……9分
或，
解得或或． ……10分
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知为正数，函数
（Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ）若的最小值为，且，求证：
解析:（Ⅰ）
等价于或或，
解得或或 ……3分
所以不等式的解集为. ……5分
（Ⅱ）因为，所以，即.
法1：∵，，
∴ ……7分
∴，……9分
∴.当且仅当时等号成立 ……10分
法2：由柯西不等式得：
， ……7分
∴ ……9分
∴，当且仅当时等号成立……10分
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