www.ks5u.com
芜湖市2017-2018学年度第二学期高三模考试题
文科数学
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则集合的真子集个数为
（A） （B） （C） （D）
2. 若复数的实部为1，则其虚部为
（A） （B） （C） （D）
3.设实数，，，则有
（A） （B） （C） （D）
4.已知，则
（A） （B） （C） （D）
5. 宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，右图是源于其思想的一个程序框图，若输入的分别为，则输出的等于
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5
6.如图，为圆的一条弦，且，则
（A）4 （B）-4 （C）8 （D）-8
第6题图
7.以下命题正确的个数是
①函数在处导数存在，若；是的极值点，则是的必要不充分条件
②实数为实数，的等比中项，则
③两个非零向量与，若夹角，则与的夹角为钝角
④平面内到一个定点和一条定直线距离相等的点的轨迹叫抛物线
（A） （B） （C） （D）
8.右图为函数的图象，则该函数可能为
（A） （B）
第8题图
（C） （D）
9.已知的内角,,的对边分别为，，，且，则
（A） （B） （C） （D）
10.已知三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，且，则该三棱锥的外接球的表面积为
（A） （B） （C） （D）
11.圆的圆心在抛物线上,且该圆过抛物线的焦点，则圆上的点到直线距离最小值为
（A） （B） （C） （D）
12.函数是定义在上的奇函数，且为偶函数，当时，，若函数恰有一个零点，则实数的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
二、填空题:本大题共4小题，共20分.
13.某校开展“爱我家乡”演讲比赛，9位评委给小明同学打分的分数如茎叶图所示.记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为，复核员在复核时，发现有一个数字在茎叶图中的却无法看清，若记分员计算无误，则数字 .
第13题图
14.有一个焦点为且与双曲线有相同渐进线的双曲线方程是 .
15.已知实数满足约束条件，则的最大值为 ．
16.已知函数，若在区间内没有极值点，则的取值范围是 .
三、解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分12分）
已知数列的前项和为，.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列的前项和.
18.（本小题满分12分）
日产量
1
2
3
4
5
日销售额
5
12
16
19
21
某工厂每日生产一种产品吨,每日生产的产品当日销售完毕，日销售额为万元，产品价格随着产量变化而有所变化，经过一段时间的产销，得到了，的一组统计数据如下表：
（Ⅰ）请判断与中，哪个模型更适合刻画，之间的关系？可从函数增长趋势方面给出简单的理由；
（Ⅱ）根据你的判断及下面的数据和公式，求出关于的回归方程，并估计当日产量时，日销售额是多少？
，，
，.
线性回归方程中，，.
19.（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱中，，，，是
的中点，是的中点，点在线段上，且．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）若，求三棱锥的体积．
20.（本小题满分12分）
已知椭圆的左右焦点分别为，，点是椭圆上一点，若，,的面积为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若,分别为椭圆上的两点，且,求证：为定值，并求出该定值.
21.（本小题满分12分）
已知函数．
（Ⅰ）若函数在上是减函数，求实数的最小值；
（Ⅱ）若存在，使成立，求实数的取值范围．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系中，曲线过点，其参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（Ⅰ）写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知曲线和曲线交于两点（在之间），且，求实数的值．
23．[选修4−5：不等式选讲]（10分）
已知函数.
（Ⅰ）解关于的不等式；
（Ⅱ）记的最小值为，已知实数，，都是正实数，且，
求证：．
文科答案
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.
1-5：CAABC 6-10:DBBAD 11-12:AD
二、填空题:本大题共4小题，共20分.
13. 14. 15. 16.
三、解答题：（本大题共6小题，满分70分.
17.（本小题满分12分）
解： (Ⅰ)，①；当时，②；
②-①， .......................3分
当时，， ........................4分
.....................5分
(Ⅱ)由题意， .........7分
当时，
当时,
.................11分
.......................12分
18.（本小题满分12分）
解：(Ⅰ)更适合刻画，之间的关系, .......................1分
理由如下：值每增加1，函数值的增加量分别为7，4，3，2，增加得越来越缓慢，适合对数型函数的增长规律，与直线型函数的均匀增长存在较大差异，故更适合刻画，之间的关系.......4分
(Ⅱ)令, 计算知
所以，.......................8分
,所以所求的回归方程为 ..............10分
当时，销售额为 (万元)， ........ ......12分
19.（本小题满分12分）
证明：(Ⅰ)取，记为点,连结.,//
又,,//.
又，//平面.......................4分
又，//平面................................6分
(Ⅱ)方法一：由于为中点，故两点到平面的距离相等
又.......8分
点到平面的距离为点到平面的距离的，
即,.................................10分
.......................................12分
方法二：
....................8分
.....................................10分
.................................12分
20.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由已知，
又，∴，,
，∴椭圆的方程为：．…………………5分
（Ⅱ）(i)当,是椭圆顶点时，，…………………6分
(ii)当,不是椭圆顶点时，设，，
由得，,
同理,,
.
综上，为定值. …………………12分
21.（本小题满分12分）
解：已知函数的定义域为 ．
（Ⅰ）因为在上为减函数，故在上恒成立，即当时，．
又，
故当，即时，．
所以，于是，故的最小值为． ………………………5分
（Ⅱ）命题“若存在使成立”等价于“当时，有” ．
由（Ⅰ）知，当时，，所以．
故问题等价于：“当时，有”
①当时，由（Ⅱ）知，在上为减函数，
则，故．……………8分
②当，时，，由（Ⅰ）知，函数在上是减函数，，所以，与矛盾，不合题意．
综上，得实数的取值范围． …………………12分
请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22．【解析】（Ⅰ）的参数方程，消参得普通方程为，
的极坐标方程为两边同乘得即．………5分
（Ⅱ）将曲线的参数方程代入曲线得， 设对应的参数为，由题意得且在之间，则，
解得 ………10分
23.（本小题满分10分）
（Ⅰ）解：
或或，
解得或．
综上所述，不等式的解集为 ……………5分
（Ⅱ）由（时取等号）
. 即，从而，
………10分
微信/支付宝扫码支付