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安徽合肥市2018届高三数学第三次质检试卷(文科带答案)

时间:2018-05-16 16:48:17作者:佚名试题来源:网络
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合肥市2018年高三第三次教学质量检测
数学试题(文科)
(考试时间:120分钟   满分:150分)

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)设复数 (其中 为虚数单位),则 =
A.          B.3          C.5          D.
(2)已知集合 , ,则
A.       B.        C.        D.  
(3)已知 ,若 为奇函数,且在 上单调递增,则实数 的值是
A.-1,3       B. ,3      C.-1, ,3      D. , ,3
(4)若正项等比数列 满足 ,则其公比为
A.         B.2或-1        C.2        D.-1
(5)运行如图所示的程序框图,则输出的 等于
A.         B.        C.3         D.1
(6)若 是两条不同的直线, 为平面,直线 ⊥平面 ,则“ ”是“ ”的
A.充分不必要条件        B.必要不充分条件
C.充要条件              D.既不充分也不必要条件
(7)右图是一个正六边形及其内切圆,现采取随机模拟的方法估计圆周率的值:随机撒一把豆子,若落在正六边形内的豆子个数为 个,落在圆内的豆子个数为 个,则估计圆周率 的值为
A.       B.      C.       D.
(8)函数 的图象大致为
 
(9)若 的三个内角 所对的边分别是 ,若 ,且 ,则
A.10        B.8        C.7        D.4
(1 0)已知双曲线 ( , )的上焦点为 , 是双曲线虚轴的一个端点,过 , 的直线交双曲线的下支于 点.若 为 的中点,且 ,则双曲线 的方程为
A.        B.      C.       D.
 (11)我国古代《九章算术》将上、下两面为平行矩形的六面体称为刍童.右图是一个刍童的三视图,其中正视图及侧视图均为等腰梯形,两底的长分别为2和4,高为2,则该刍童的表面积为
A.        B.40       C.       D.
 (12)若函数 在区间 上是非单调函数,则实数 的取值范围是
A.       B.       C.       D.

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题—第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答.第(22)题、第(23)题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.把答案填在答题卡的相应位置.
(13)已知 , ,则 的值等于_________.
(14)若实数 满足条件 ,则 的最大值为______.
(15)已知 , .当 最小时,            .
(16)已知数列 的前 项和为 ,且数列 为等差数列.若 , ,则           .

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分12分)
将函数 的图象向左平移 个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,可以得到函数 的图象.
(Ⅰ)求 的解析式;
(Ⅱ)比较 与 的大小.


(18)(本小题满分12分)
2018年2月9-25日,第23届冬奥会在韩国平昌举行.4年后,第24届冬奥会将在中国北京和张家口举行.为了宣传冬奥会,某大学在平昌冬奥会开幕后的第二天,从全校学生中随机抽取了120名学生,对是否收看平昌冬奥会开幕式情况进行了问卷调查,统计数据如下:
 收看 没收看
男生 60 20
女生 20 20

 


(Ⅰ)根据上表说明,能否有 的把握认为,收看开幕式与性别有关?
(Ⅱ)现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中,采用按性别分层抽样的方法选取8人,参加2022年北京冬奥会志愿者宣传活动.
(ⅰ)问男、女学生各选取多少人?
(ⅱ)若从这8人中随机选取2人到校广播站开展冬奥会及冰雪项目宣传介绍,求恰好选到一名男生一名女生的概率P.
附: ,其中 .
 
 
 
 
 
 


 
 
 
 
 

 

(19)(本小题满分12分)
如图,侧棱与底面垂直的四棱柱 的底面是梯形, , , , , ,点 在棱 上,且 .点 是直线 的一点, .
(Ⅰ)试确定点 的位置,并说明理由;
(Ⅱ)求三棱锥 的体积.


(20)(本小题满分12分)
记焦点在同一条轴上且离心率相同的椭圆为“相似椭圆”.已知椭圆 ,以椭圆 的焦点为顶点作相似椭圆 .
(Ⅰ)求椭圆 的方程;
(Ⅱ)设直线 与椭圆 交于 两点,且与椭圆 仅有一个公共点,试判断 的面积是否为定值( 为坐标原点)?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.


(21)(本小题满分12分)
已知函数 ( 为自然对数的底数).
(Ⅰ)若函数 的图象在 处的切线为 ,当实数 变化时,求证:直线 经过定点;
(Ⅱ)若函数 有两个极值点,求实数 的取值范围.


请考生在第(22)、 (23)题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目,如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时,请用2B铅笔在答题卡上,将所选题号对应的方框涂黑.
(22)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 中,直线 的参数方程为 ( 为参数),圆 的方程为 .以原点 为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)求直线 及圆 的极坐标方程;
(Ⅱ)若直线 与圆 交于 两点,求 的值.


(23)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
已知函数 .
(Ⅰ)解不等式 ;
(Ⅱ)设函数 的最小值为 ,实数 满足 , , ,求证: .
 
合肥市2018年高三第三次教学质量检测
数学试题(文科)参考答案及评分标准

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A C B C B A D D B C D A

 

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.
 (13)2       (14)8       (15)       (16)3027
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分12分)
(Ⅰ)将函数 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ,得到函数 的图象,
再将所得图象向右平移 个单位长度,得到函数 的图象,
即 .                                     ………………………6分
(Ⅱ) ,而 .
∵ ,∴ .                         ……………………12分

(18)(本小题满分12分)
(Ⅰ)因为 ,
所以有 的把握认为,收看开幕式与性别有关.         ………………………5分
(Ⅱ)(ⅰ)根据分层抽样方法得,男生 人,女生 人,
所以选取的8人中,男生有6人,女生有2人.           ………………………8分
(ⅱ)从8人中,选取2人的所有情况共有N=7+6+5+4+3+2+1=28种,
其中恰有一名男生一名女生的情况共有M=6+6=12种,
所以,所求概率 .                         ………………………12分

(19)(本小题满分12分)
(Ⅰ)如图,在棱 上取点 ,使得 .
 又∵ ,∴ .
∴四边形 为平行四边形,∴ .
过 作 交 于 ,连结 ,
∴ 平面 , 平面 ,
∴平面 即为所求,此时 .             ………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, 平面 ,
∴ . ………………12分

(20)(本小题满分12分)
(Ⅰ)由条件知,椭圆 的离心率 ,且长轴的顶点为(-2,0),(2,0),
∴椭圆 的方程为                          ……………………4分
(Ⅱ)当直线 的斜率存在时,设直线  .
由 得, .
令 得, .
联立 与 ,化简得 .
设A( ),B( ),则
∴ ,而原点O到直线 的距离
∴ .
当直线 的斜率不存在时, 或 ,则 ,原点O到直线 的距离 ,
∴ .
综上所述, 的面积为定值6.                   ……………………12分

(21)(本小题满分12分)
(Ⅰ)∵ ,∴ , .
又∵ ,∴直线 的方程为 ,
∴直线 经过定点(-2,0).                         ……………………………4分
(Ⅱ)∵ ,∴ .
设 ,则 .
当 时, ,即 在 上单调递增,则 最多有一个零点,函数 至多有一个极值点,与条件不符;
当 时,由 ,得 .
当 时, ;当 时, .
∴ 在 上单调递增,在 上单调递减,
∴ ,即 .
令 ,解得 .
∵ , ,∴ ,
∵ 在 上单调递增,∴ 在 上有唯一零点 ,
当 时, ;当 时, .
∴ 在 上有唯一极值点.
又∵当 时, .
设 ,其中 ,则 ,
∴ ,∴ .
即当 时, ,
而  ,
∵ 在 上单调递减,∴ 在 上有唯一零点 ,
当 时, ;当 时, .
∴ 在 上有唯一极值点.
综上所述,当 有两个极值点时, .  ……………………12分

(21)(本小题满分12分)
(Ⅰ)∵ ,∴ .
设 ,则 .
令 ,解得 .
∴当 时, ;当 时, .
∴ .
当 时, ,∴函数 单调递增,没有极值点;
当 时, ,且当 时, ;当 时, .
∴当 时, 有两个零点 .
不妨设 ,则 .
∴当函数 有两个极值点时, 的取值范围为 .  …………………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, 为 的两个实数根, , 在 上单调递减.
下面先证 ,只需证 .
∵ ,得 ,∴ .
设 , ,
则 ,∴ 在 上单调递减,
∴ ,∴ ,∴ .
∵函数 在 上也单调递减,∴ .
∴要证 ,只需证 ,即证 .
设函数 ,则 .
设 ,则 ,
∴ 在 上单调递增,∴ ,即 .
∴ 在 上单调递增,∴ .
∴当 时, ,则 ,
∴ ,∴ . ………………………12分

(22)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
(Ⅰ)由直线 的参数方程 得,其普通方程为 ,
∴直线 的极坐标方程为 .
又∵圆 的方程为 ,
将 代入并化简得 ,
∴圆 的极坐标方程为 .       ……………………5分
(Ⅱ)将直线 : ,
与圆 : 联立,得 ,
整理得 ,∴ .
不妨记点A对应的极角为 ,点B对应的极角为 ,且 .
于是, .    ……………………10分

(23)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
(Ⅰ) ,即 .
(1)当 时,不等式可化为 .
又∵ ,∴ ;
(2)当 时,不等式可化为 .
又∵ ,∴ .
(3)当 时,不等式可化为 .
又∵ ,∴ .
综上所得, ,或 ,即 .
∴原不等式的解集为 .                           …………………5分
(Ⅱ)由绝对值不等式性质得, ,
∴ ,即 .
令 ,则 , ,
 ,
原不等式得证.                                       …………………10分

 

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