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安徽合肥市2018届高三数学第三次质检试卷(理科有答案)

时间:2018-05-16 16:49:57作者:佚名试题来源:网络
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合肥市2018年高三第三次教学质量检测
数学试题(理科)
(考试时间:120分钟   满分:150分)

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数 ( 为虚数单位),则 =
A.3         B.2         C.         D.
2.已知集合 , ,则
A.       B.        C.        D.  
3.已知椭圆 ( )经过点  , ,则椭圆 的离心率为
A.        B.          C.        D.
4.已知 ,若 为奇函数,且在 上单调递增,则实数 的值是
A.-1,3       B. ,3       C.-1, ,3      D.  , ,3
5.若 为两条不同的直线, 为平面,且 ,则“ ”是“ ”的
A.充分不必要条件          B.必要不充分条件
C.充要条件                D.既不充分也不必要条件
6.已知 展开式中 的系数为 ,则展开式中所有项的二项式系数之和为
A.64        B.32       C.         D.
7.已知非零实数 满足 ,则下列不等式一定成立的是
A.       B.       C.       D.
8.运行如图所示的程序框图,若输出的 值为 ,则判断框内的条件应该是
A.         B.       C.        D.
9.若正项等比数列 满足 ,则 的值是
A.         B.        C.2       D.
10.如图,给7条线段的5个端点涂色,要求同一条线段的两个端点不能同色,现有4种不同的颜色可供选择,则不同的涂色方法种数有
A.24        B.48        C.96        D.120
11.我国古代《九章算术》将上下两面为平行矩形的六面体称为刍童.如图所示为一个刍童的三视图,其中正视图及侧视图均为等腰梯形,两底的长分别为2和4,高为2,则该刍童的表面积为
A.       B.40      C.       D.
12.已知函数 有零点 ,函数 有零点 ,且 ,则实数 的取值范围是
A.      B.      C.(-2,0)     D.

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题—第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答.第(22)题、第(23)题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.把答案填在答题卡相应的位置.
(13)若实数 满足条件 ,则 的最大值为       .
(14)已知 , , ,当 最小时, =          .
(15)在 中,内角 所对的边分别为 .若 , ,且 的面积等于 ,则 =           .
(16)设等差数列 的公差为 ,前 项的和为 ,若数列 也是公差为 的等差数列,则         .

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分12分)
已知函数 .
(Ⅰ)求函数 图象的对称轴方程;
(Ⅱ)将函数 图象向右平移 个单位,所得图象对应的函数为 .当 时,求函数 的值域.

 


(18)(本小题满分12分)
 收看 没收看
男生 60 20
女生 20 20
2018年2月9-25日,第23届冬奥会在韩国平昌举行.4年后,第24届冬奥会将在中国北京和张家口举行.为了宣传冬奥会,某大学在平昌冬奥会开幕后的第二天,从全校学生中随机抽取了120名学生,对是否收看平昌冬奥会开幕式情况进行了问卷调查,统计数据如下:

 

 

(Ⅰ)根据上表说明,能否有 的把握认为,收看开幕式与性别有关?
(Ⅱ)现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中,采用按性别分层抽样的方法,选取12人参加2022年北京冬奥会志愿者宣传活动.
(ⅰ)问男、女学生各选取了多少人?
(ⅱ)若从这12人中随机选取3人到校广播站开展冬奥会及冰雪项目的宣传介绍,设选取的3人中女生人数为 ,写出 的分布列,并求 .
附: ,其中 .
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 

 


(19)(本小题满分12分)
如图,在多面体 中,平面 ⊥平面 , , ,DE  AC,AD=BD=1.
(Ⅰ)求AB的长;
(Ⅱ)已知 ,求点E到平面BCD的距离的最大值.

 


(20)(本小题满分12分)
已知抛物线 ( )的焦点为 ,以抛物线上一动点 为圆心的圆经过点F.若圆 的面积最小值为 .
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)当点 的横坐标为1且位于第一象限时,过 作抛物线的两条弦 ,且满足 .若直线AB恰好与圆 相切,求直线AB的方程.

 

(21)(本小题满分12分)
已知函数 有两个极值点 ( 为自然对数的底数).
(Ⅰ)求实数 的取值范围;
(Ⅱ)求证: .

 

请考生在第(22)、(23)题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目,如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时,请用2B铅笔在答题卡上,将所选题号对应的方框涂黑.
(22)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 中,直线 的参数方程为 ( 为参数),圆C的方程为 .以原点O为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)求直线 及圆C的极坐标方程;
 (Ⅱ)若直线 与圆 交于 两点,求 的值.

 

(23)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
已知函数 .
(Ⅰ)解不等式 ;
(Ⅱ)设函数 的最小值为 ,实数 满足 , , ,求证: .
 
合肥市2018年高三第三次教学质量检测
数学试题 (理科)参考答案及评分标准

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D C A B A B A C D C D C

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.
(13)4        (14)        (15)3      (16) 或

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分12分)
(Ⅰ)  .
令 ,解得 .
∴函数 图象的对称轴方程为 . …………………………5分
(Ⅱ)易知 .
∵ ,∴ ,∴ ,
∴ ,
即当 时,函数 的值域为 .   …………………………12分

(18)(本小题满分12分)
(Ⅰ)因为 ,
所以有 的把握认为,收看开幕式与性别有关.    ………………………5分
(Ⅱ)(ⅰ)根据分层抽样方法得,男生 人,女生 人,
所以选取的12人中,男生有9人,女生有3人.      ………………………8分
(ⅱ)由题意可知, 的可能取值有0,1,2,3.
 ,
 ,
∴ 的分布列是:
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 

∴ .   ……………………12分

(19)(本小题满分12分)
(Ⅰ)∵平面ABD⊥平面ABC,且交线为AB,而AC⊥AB,∴AC⊥平面ABD.
又∵DE∥AC,∴DE⊥平面ABD,从而DE⊥BD.
注意到BD⊥AE,且DE∩AE=E,∴BD⊥平面ADE,于是,BD⊥AD.
而AD=BD=1,∴ .            ………………………5分
(Ⅱ)∵AD=BD,取AB的中点为O,∴DO⊥AB.
又∵平面ABD⊥平面ABC,∴DO⊥平面ABC.
过O作直线OY∥AC,以点O为坐标原点,直线OB,OY,OD分别为 轴,建立空间直角坐标系 ,如图所示.
记 ,则 , ,
 , , , .
令平面BCD的一个法向量为 .
由 得 .令 ,得 .
又∵ ,∴点E到平面BCD的距离 .
∵ ,∴当 时, 取得最大值, .………………………12分

(20)(本小题满分12分)
(Ⅰ)由抛物线的性质知,当圆心 位于抛物线的顶点时,圆 的面积最小,
此时圆的半径为 ,∴ ,解得 .         ……………………4分
(Ⅱ)依题意得,点 的坐标为(1,2),圆 的半径为2.
由 (1,0)知, 轴.
由 知,弦 , 所在直线的倾斜角互补,∴ .
设 ( ),则直线 的方程为 ,∴ ,
代入抛物线的方程得, ,∴ ,
∴ .
将 换成 ,得 ,
∴ .
设直线 的方程为 ,即 .
由直线 与圆 相切得, ,解得 .
经检验 不符合要求,故 舍去.
∴所求直线 的方程为 .              ……………………12分

 (21)(本小题满分12分)
(Ⅰ)∵ ,∴ .
设 ,则 .
令 ,解得 .
∴当 时, ;当 时, .
∴ .
当 时, ,∴函数 单调递增,没有极值点;
当 时, ,且当 时, ;当 时, .
∴当 时, 有两个零点 .
不妨设 ,则 .
∴当函数 有两个极值点时, 的取值范围为 .  …………………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, 为 的两个实数根, , 在 上单调递减.
下面先证 ,只需证 .
∵ ,得 ,∴ .
设 , ,
则 ,∴ 在 上单调递减,
∴ ,∴ ,∴ .
∵函数 在 上也单调递减,∴ .
∴要证 ,只需证 ,即证 .
设函数 ,则 .
设 ,则 ,
∴ 在 上单调递增,∴ ,即 .
∴ 在 上单调递增,∴ .
∴当 时, ,则 ,
∴ ,∴ . ………………………12分

(22)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
(Ⅰ)由直线 的参数方程 得,其普通方程为 ,
∴直线 的极坐标方程为 .
又∵圆 的方程为 ,
将 代入并化简得 ,
∴圆 的极坐标方程为 .       ……………………5分
(Ⅱ)将直线 : ,
与圆 : 联立,得 ,
整理得 ,∴ .
不妨记点A对应的极角为 ,点B对应的极角为 ,且 .
于是, .    ……………………10分

(23)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
(Ⅰ) ,即 .
(1)当 时,不等式可化为 .
又∵ ,∴ ;
(2)当 时,不等式可化为 .
又∵ ,∴ .
(3)当 时,不等式可化为 .
又∵ ,∴ .
综上所得, ,或 ,即 .
∴原不等式的解集为 .                           …………………5分
(Ⅱ)由绝对值不等式性质得, ,
∴ ,即 .
令 ,则 , ,
 ,
原不等式得证.                                       …………………10分

 

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