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扬州中学高三数学试卷 2018.5.18
必做题部分
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1、已知集合则 ▲ ．
2、已知复数（其中是虚数单位，），若是纯虚数，则的值为 ▲ ．
3、从集合{1,2,3}中随机取一个元素，记为，从集合{2,3,4}中随机取一个元素，记为，则的概率为 ▲ ．
4、对一批产品的长度（单位:毫米）进行抽样检测，样本容量为400，
右图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度
在区间的为一等品，在区间 和的为二等品，
其余均为三等品，则样本中三等品的件数为 ▲ ．
5、运行右面的算法伪代码，输出的结果为S= ▲ ．
6、若双曲线的离心率为，
则双曲线的渐近线方程为 ▲ ．
7、正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A-B1DC1的体积为 ▲ ．
8、函数的图象向右平移个单位后，与函数的图象重合，
则 ▲ ．
9、若函数为偶函数，则a= ▲ ．
10、已知数列与均为等差数列（），且，则 ▲ ．
11、若直线与直线交于点，则长度的最大值为 ▲ ．
A
B
C
M
D
(第12题图)
12、如图，已知，，M为BC的中点，D为以AC为直径的圆上一动点，
则的最小值是 ▲ ．
13、已知函数 ，函数 ，其中，若函数
恰有4个零点，则实数的取值范围是 ▲ ．
14、已知均为非负实数，且，则的取值范围为 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15、已知的三个内角所对的边分别为,向量，，且.
(1)求角A的大小；
(2)若，求的值
16、如图，四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，BD交AC于点E，F是线段PC中点，G为线段EC中点．
（1）求证：FG//平面PBD；
（2）求证：BD⊥FG．
17、已知椭圆的左焦点为，上顶点为，直线与直线垂直，垂足为，且点是线段的中点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，分别为椭圆的左，右顶点，是椭圆上位于第一象限的一点，
直线与直线交于点，且，求点的坐标.
18、中国古建筑中的窗饰是艺术和技术的统一，给人以美的享受．如图为一花窗中的一部分，呈长方形，长30 cm，宽26 cm，其内部窗芯（不含长方形边框）用一种条形木料做成，由两个菱形和六根支条构成，整个窗芯关于长方形边框的两条对称轴成轴对称．设菱形的两条对角线长分别为x cm和y cm，窗芯所需条形木料的长度之和为L．
（1）试用x，y表示L；
（2）如果要求六根支条的长度均不小于2 cm，每个菱形的面积为130 cm2，那么做这样一个窗芯至少需要多长的条形木料（不计榫卯及其它损耗）？
19、已知函数 ，
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，判断函数有几个零点，并证明你的结论；
（3）设函数，若函数在为增函数，求实数的取值范围．
20、已知数列中，，前项和为，若对任意的，均有（是常数，且）成立，则称数列为“数列”.
（1）若数列为“数列”，求数列的前项和；
（2）若数列为“数列”，且为整数，试问：是否存在数列，使得对任意，成立？如果存在，求出这样数列的
的所有可能值，如果不存在，请说明理由。
扬州中学高三数学试卷 2018.5.18
附加题
21A．选修4-1：几何证明选讲
如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，DE交AB于点F．求证：△PDF∽△POC．
21B．选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵，求矩阵M的特征值及其相应的特征向量．
21C．选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，直线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数），求直线与曲线的交点P的直角坐标。
21D．选修4-5：不等式选讲
设a，b，c，d都是正数，且．求证：．
22、甲、乙两班各派三名同学参加知识竞赛，每人回答一个问题，答对得10分，答错得0分，假设甲班三名同学答对的概率都是，乙班三名同学答对的概率分别是，且这六名同学答题正确与否相互之间没有影响．
（1）记“甲、乙两班总得分之和是60分”为事件A，求事件A发生的概率；
（2）用X表示甲班总得分，求随机变量X的概率分布和数学期望．
23、已知函数，设为的导数，．
（1）求，；
（2）猜想的表达式，并证明你的结论．
扬州中学高三数学试卷参考答案 2018.5.18
1.{－1} ； 2. －4； 3.； 4.100； 5. ； 6. y＝±3x； 7. 1；
8. ； 9.1； 10. 20； 11. ； 12. ； 13. ； 14.
14.解：因为，所以 ，令，则 ．
．
当且，即或时取等号；
另一方面，
当时取等号．所以．
15.解：(1)由题意得
又因为，所以，解得或 ……7分
(2)在中，由余弦定理得 ①
又，∴，代入①整理得，解得，∴，
于是 即为等边三角形，
……14分
16．证明：（Ⅰ）连结PE，因为G.、F为EC和PC的中点，
， ……3分
又平面，平面，所以平面 ……7分
（II）因为菱形ABCD，所以，又PA⊥面ABCD，平面，所以，
因为平面，平面，且，平面，
平面，BD⊥FG ……14分
17. 解（1） （过程略） ……6分
（2）方法1：“点参”
设，则直线的方程为，所以
所以 ……8分
由在椭圆上得，所以 ……10分
所以，解得或（舍），所以 ……14分
方法2：“参”
设直线的方程为，由得
因为，所以，所以 ……10分
又，所以，
所以，解得，故，所以 ……14分
18.解：（1）水平方向每根支条长为cm，竖直方向每根支条长为cm，菱形的一条边长为cm．
所以L=cm． ……6分
（2）由题意得，即，由得． ……8分
所以．
令，其导函数，（），
故在上单调递减，故． ……10分
所以，其中定义域 ……12分
求导得，所以在上为增函数，
故当，即时L有最小值．
答：做这样一个窗芯至少需要cm长的条形木料． ……16分
19.解：（1），
0
2
-
0
极小值
极大值
所以单调增区间，单调减区间为、 ………4分
（2）函数有2个零点。证明如下： ………5分
因为时，所以，
由，，且在上单调递增且连续
得在上仅有一个零点， ………7分
由上面可得时，，即，故时，，
所以，
由得，平方得，所以
由，，且在上单调递增且连续得在上仅有一个零点，
综上得：函数有2个零点 ………10分
（3）记函数，下面考察的符号．
求导得．
当时恒成立．
当时，，
从而．
∴在上恒成立，故在上单调递减．
∵，∴，又因为在上连续，
所以由函数的零点存在性定理得惟一的，使 ………12分
∴．
∴ ∴
因为在上增且连续，所以在，上恒成立．
①当时，在上恒成立，即在上恒成立．
记，则，
当变化时，，变化情况如下表：
极小值
∴．
故，即．
②当时，，当时，在上恒成立．
综合（1）（2）知， 实数的取值范围是． ………16分
20. （1）因为数列为“数列”，所以，故
两式相减得
在中令，则可得，故
所以，所以数列为等比数列，
所以，所以 ………6分
（2）由题意得，故，
两式相减得 ………8分
所以，当时，
又因为
所以
所以
所以当时，数列是常数列， ………11分
所以 ………12分
所以
因为
所以
在中令，则可得，
所以
又时
且为整数
所以可解得 ………16分
附加题答案 2018.5.18
21.A．选修4-1：几何证明选讲
证明：∵AE=AC，∠CDE=∠AOC，又∠CDE=∠P+∠PDF，∠AOC=∠P+∠OCP，
从而∠PDF=∠OCP．在△PDF与△POC中，∠P=∠P，∠PDF=∠OCP，故△PDF∽△POC．
B．选修4-2：矩阵与变换
解：矩阵M的特征多项式为，
令f（λ）=0，解得λ1=1，λ2=2， ………4分
将λ1=1代入二元一次方程组解得x=0，
所以矩阵M属于特征值1的一个特征向量为；
同理，矩阵M属于特征值2的一个特征向量为 ………10分
C．选修4-4：坐标系与参数方程
解：因为直线的极坐标方程为，所以直线的普通方程为，
又因为曲线的参数方程为（为参数），
所以曲线的直角坐标方程为，
联立解方程组得或．
根据的范围应舍去,故点的直角坐标为 ………10分
注：多一解扣2分
D．选修4-5：不等式选讲
证明：∵（a2+b2）（c2+d2）﹣（ac+bd）2=（ a2c2+a2d2+b2c2+b2d2）﹣（a2c2+2abcd+b2d2）
=（ad﹣bc）2≥0，
∴（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2 成立，又a，b，c，d都是正数，
∴•≥ac+bd＞0，①
同理•≥ad+bc＞0，∴xy≥．
22. 解：（1） ………4分
（2）随机变量X的取值为0，10，20，30.
所以期望 ………10分
23. 解：（1）
，其中， ………1分
，其中， ………3分
（2）猜想， ………4分
下面用数学归纳法证明：
①当时，成立，
②假设时，猜想成立
即
当时，
当时，猜想成立
由①②对成立 ………10分
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