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黄冈中学2018年高三5月第二次模拟考试
数学（理科）试卷
试卷满分：150分
一.选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2. 若复数，则的共轭复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3. 设，则的大小关系是( )
A． B． C． D．
4．一个几何体的三视图如图所示，那么
这个几何体的表面积是( )
A． B．
C． D．
5. 下列命题正确的个数是（ ）
若是两条不同的直线，是两个不同的平面，若，则
命题“”的否定是“”
函数在处取得最大值，则正数的最小值为
若随机变量，则，
.已知随机变量，则
A．个 B．个 C．个 D．个
6. 过双曲线上任意点作双曲线的切线，交双曲线两条渐近线分别交于两点，若为坐标原点，则的面积为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
7. 函数在的图像大致为( )
n=1,S=0
1
结束
是
n为奇数?
否
输入正整数m
a=
开始
n=n+1
a=
S=S+a
n≥m?
输出S
是
否
图二
8. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的
推论，如图一，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.
数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪
数量总和.它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数
列题，0，2，4，8，12，18，…，如图二，是求大衍数列
前项和的程序框图，执行该程序框图，输入，则输
出的为（ ）
A. 100 B. 250 C. 140 D. 190
9．已知所在平面内有两点，满足，若
，,则的值为( )
A. B. C. D.
10.已知三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，且，则该三棱锥的外接球的体积为( )
A. B. C. D.
11.实数，满足约束条件，它表示的平面区域为，目标函数的最小值为.由曲线，直线及轴围成的平面区域为，向区域内任投入一个质点，该质点落入的概率为，则的值为( )
A． B． C． D．
12. 若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.
13.若的展开式中的常数项是，则实数的值为_________.
14．已知椭圆的左焦点，过点作倾斜角为的直线与圆相交的弦长为，则椭圆的离心率为_________.
15.已知正项等比数列的前项和为且，则的最小值为_________.
16.在中，角所对的边分别为，已知，，则的面积的最大值为 ．
三.解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（一）必考题
17.（本小题满分12分）在中，角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角的大小；（2）若等差数列的公差不为零，且，且、、成等比数列，求的前项和．
18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，为钝角三角形，侧面垂直于底面，，点是的中点，，，.
（1）求证：平面平面；
（2）若直线与底面所成的角为，求二面角余弦值．
19.（本小题满分12分）IC芯片堪称“国之重器”，其制作流程异常繁琐，制作IC芯片核心部分首先需要制造单晶的晶圆，此过程主要是加入碳，以氧化还原的方式，将氧化硅转换为高纯度的硅.为达到这一高标准要求，研究工作人员曾就是否需采用西门子制程（Siemens process）这一工艺标准进行了反复比较，在一次实验中，工作人员对生产出的50片单晶的晶圆进行研究，结果发现使用了该工艺的30片单晶的晶圆中有28片达标，没有使用该工艺的20片单晶的晶圆中有12片达标．
（1）用列联表判断：这次实验是否有99.5%的把握认为单晶的晶圆的制作效果与使用西门子制程（Siemens process）这一工艺标准有关？
（2）在得到单晶的晶圆后，接下来的生产制作还需对单晶的晶圆依次进行金属溅镀，涂布光阻，蚀刻技术，光阻去除这四个环节的精密操作，进而得到多晶的晶圆，生产出来的多晶的晶圆经过严格的质检，确定合格后才能进入下一个流程.如果生产出来的多晶的晶圆在质检中不合格，那么必须依次对前四个环节进行技术检测并对所有的出错环节进行修复才能成为合格品.在实验的初期，由于技术的不成熟，生产制作的多晶的晶圆很难达到理想状态，研究人员根据以往的数据与经验得知在实验生产多晶的晶圆的过程中，前三个环节每个环节生产正常的概率为，每个环节出错需要修复的费用均为20元，第四环节生产正常的概率为，此环节出错需要修复的费用为10元，问：一次试验生产出来的多晶的晶圆要成为合格品大约还需要消耗多少元费用？（假设质检与检测过程不产生费用）
参考公式：
参考数据：
0.15
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
2.072
2.7
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
20.（本小题满分12分）已知抛物线顶点在原点，焦点在轴上，抛物线上一点到焦点的距离为3，线段的两端点， 在抛物线上.
（1）求抛物线的方程；
（2）在抛物线上存在点，满足，若是以角为直角的等腰直角三角形，求面积的最小值.
21.（本小题满分12分）已知函数
（1）若直线且曲线在A处的切线与在B处的切线相互平行，求a的取值范围；
（2）设在其定义域内有两个不同的极值点且若不等式恒成立，求的取值范围.
（二）选考题 请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，直线，直线 ，以原点为极点，轴的正半轴为极轴（取相同的长度单位）建立极坐标系.
（1）求曲线和直线的极坐标方程；
（2）若直线与曲线交于两点，直线与曲线交于两点，求线段的长.
23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知，，且．
（1）若恒成立，求的取值范围；
（2）证明：．
黄冈中学2018年高三5月第二次模拟考试
数学（理科）答案
试卷满分：150分
一.选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
2.若复数，则的共轭复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
3.设，则的大小关系是( )
A． B． C． D．
【答案】D
4. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
5.下列命题正确的个数是（ ）
若是两条不同的直线，是两个不同的平面，若，则【错误】
命题“”的否定是“”【错误】
函数在处取得最大值，则正数的最小值为【正确】
若随机变量，则，.已知随机变量，则
【正确】
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
6. 过双曲线上任意点作双曲线的切线，交双曲线两条渐近线分别交于两点，若为坐标原点，则的面积为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
7. 函数在的图像大致为( )
8. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的
推论，如图一，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.
数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪
数量总和.它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数
列题，0，2，4，8，12，18，…，如图二，是求大衍数列
前项和的程序框图，执行该程序框图，输入，则输
出的为（ ）
A. 100 B. 250 C. 140 D. 190
【答案】D
9．已知所在平面内有两点，满足，若
，,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以为中点，又因为即，所以，所以为线段的靠近的三等分点．所以，所以，所以，或．故.
10.已知三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，且，则该三棱锥的外接球的体积为( )
A. B. C. D.
【答案】D
11．实数，满足约束条件，它表示的平面区域为，目标函数的最小值为.由曲线，直线及轴围成的平面区域为，向区域内任投入一个质点，该质点落入的概率为，则的值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最小值，且最小值为，即．区域的面积为，平面区域的面积为
，故，所以．
12. 若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
【解析】由题意可得有3个不同解，令当时，令，则递减；当递增，则时，恒有得或递减；递增；时，递减，则的极小值为的极大值为结合函数图象可得实数a的取值范围是.[答案]A
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.
13. 若的展开式中的常数项是，则实数的值为_________.
【答案】
14．已知椭圆的左焦点，过点作倾斜角为的直线与圆相交的弦长为，则椭圆的离心率为_________.
【答案】
15.已知正项等比数列的前项和为且，则的最小值为_________.
【解析】由题意可得：,由可得,由等比数列的性质可得：成等比数列,则
,综上可得：
当且仅当时等号成立.综上可得,则的最小值为24.
16.在中，角所对的边分别为，已知，，则的面积的最大值为 ．
【答案】 ，，整理得
，则 又，.又，则, ，，
，当且仅当时取等号.
三.解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（一）必考题
17. 在中，角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角的大小；（2）若等差数列的公差不为零，且，且、、成等比数列，求的前项和．
【解析】（1）由，，所以
（2）设的公差为，由得，且，
∴．又，∴，∴．
∴，
∴
18. 如图，在四棱锥中，为钝角三角形，侧面垂直于底面，，点是的中点，，，.
（1）求证：平面平面；
（2）若直线与底面所成的角为，求二面角余弦值．
【解析】（1）证明：取中点，连接，设，，
依题意得，四边形为正方形，且有，，
所以，所以，
又平面底面，平面底面，底面，
所以平面. 又平面，所以平面平面
（2）过点作的垂线，交延长线于点，连接，
因为平面底面，平面底面，
平面，所以底面，故为斜线在底面内的射影，
为斜线与底面所成的角，即
由（1）得，，所以在中，，，，
在中，，，，由余弦定理得，
所以，从而，
过点作，所以底面，
所以两两垂直，如图，以点为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向建立空间直角坐标系，则，，，
，，
设平面的法向量
得 取得，
设平面的法向量
得，取得，，
所以
故所求的二面角的余弦值为.
19. IC芯片堪称“国之重器”，其制作流程异常繁琐，制作IC芯片核心部分首先需要制造单晶的晶圆，此过程主要是加入碳，以氧化还原的方式，将氧化硅转换为高纯度的硅.为达到这一高标准要求，研究工作人员曾就是否需采用西门子制程（Siemens
process）这一工艺标准进行了反复比较，在一次实验中，工作人员对生产出的50片单晶的晶圆进行研究，结果发现使用了该工艺的30片单晶的晶圆中有28片达标，没有使用该工艺的20片单晶的晶圆中有12片达标．
（1）用列联表判断：这次实验是否有99.5%的把握认为单晶的晶圆的制作效果与使用西门子制程（Siemens process）这一工艺标准有关？
（2）在得到单晶的晶圆后，接下来的生产制作还需对单晶的晶圆依次进行金属溅镀，涂布光阻，蚀刻技术，光阻去除这四个环节的精密操作，进而得到多晶的晶圆，生产出来的多晶的晶圆经过严格的质检，确定合格后才能进入下一个流程.如果生产出来的多晶的晶圆在质检中不合格，那么必须依次对前四个环节进行技术检测并对所有的出错环节进行修复才能成为合格品.在实验的初期，由于技术的不成熟，生产制作的多晶的晶圆很难达到理想状态，研究人员根据以往的数据与经验得知在实验生产多晶的晶圆的过程中，前三个环节每个环节生产正常的概率为，每个环节出错需要修复的费用均为20元，第四环节生产正常的概率为，此环节出错需要修复的费用为10元，问：一次试验生产出来的多晶的晶圆要成为合格品大约还需要消耗多少元费用？（假设质检与检测过程不产生费用）
参考公式：
参考数据：
0.15
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
2.072
2.7
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【解析】（1）由题意列列表为：
使用工艺
不使用工艺
合计
合格
28
12
40
不合格
2
8
10
合计
30
20
50
故 故有99.5%的把握认为晶圆的制作效果与使用西门子制程这一工艺技术有关
（2）设表示检测到第个环节有问题，，X表示成为一个合格的多晶圆需消耗的费用，则X的可能取值为：
，表明四个环节均正常
表明第四环节有问题
表明前三环节有一环节有问题
表明前三环节有一环节及第四环节有问题
，表明前三环节有两环节有问题
表明前三环节有两环节及第四环节有问题
表明前三环节有问题
四环节均有问题
费用X分布列为：
X
0
10
20
30
40
50
60
70
P
故：（元）
故大约需要耗费元
20. 已知抛物线顶点在原点，焦点在轴上，抛物线上一点到焦点的距离为3，线段的两端点， 在抛物线上.
（1）求抛物线的方程；
（2）在抛物线上存在点，满足，若是以角为直角的等腰直角三角形，求面积的最小值.
【答案】（1）；（2）最小值为16.
【解析】（1）设抛物线的方程为，抛物线的焦点为，则，所以，则抛物线的方程为.
（2）如图所示，
设， ，，根据抛物线关于轴对称，取，记， ，
则有， ，所以， ， ，
又因为是以为顶点的等腰直角三角形，所以，
即，将代入得： 化简求出，得： ，
则，可以先求的最小值即可，
，令，
则
所以可以得出当即时， 最小值为，此时，即当， ， 时， 为等腰直角三角形，且此时面积最小，最小值为16.
21. 已知函数
（1）若直线且曲线 在A处的切线与在B处的切线相互平行，求a的取值范围；
（2）设在其定义域内有两个不同的极值点且 若不等式恒成立，求的取值范围.
【解析】（1）依题意，函数的定义域为（0，），因为曲线在A处的切线与在B处的切线相互平行，所以有解，即方程有解.……………………2分
方程有解转化为函数的图像在上有交点，
如图，令过原点且与函数的图像相切的直线的斜率为，只须
令切点为，所以
，所以………………………………………5分
（2）
因为在其定义域内有两个不同的极值点，所以的两个根，即……………………………6分
因为
……8分
令，则，由题意知，不等式上恒成立.
令
（ⅰ）若所以上单调递增，又上恒成立，符合题意.……………………………10分
（ⅱ）若时，上单调递减，在上单调递增，又上不能恒小于0，不符合题意，舍去.
综合（ⅰ）（ⅱ）得，若不等式恒成立，只须.………12分
（二）选考题 请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22. 选修4-4：坐标系与参数方程
已知平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，直线，直线 ，以原点为极点，轴的正半轴为极轴（取相同的长度单位）建立极坐标系.
（1）求曲线和直线的极坐标方程；
（2）若直线与曲线交于两点，直线与曲线交于两点，求线段的长.
23. 选修4-5：不等式选讲
已知，，且．
（1）若恒成立，求的取值范围；
（2）证明：．
【解析】（1）设由，得，
故，
所以．
当时，，得；
当时，，解得，故；
当时，，解得，故．
综上，．
（2）
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