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高三校际联合考试
文科数学
2018.05
本试卷共6页，满分150分。
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
第I卷(选择题，共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合
A．[1，2] B．(－1，3) C．{1} D．{l，2}
2．若复数在复平面内对应的点关于y轴对称，且，则复数
A． B．1 C． D．
3．“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积，作一个边长为5的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，己知恰有400个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是
A．2 B．3 C．10 D．15
4．将函数的图像沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图像，则的一个可能取值为
A. B. C.0 D.
5.已知点F为双曲线的一个焦点，则点F到C的一条渐近的距离为
A.2 B.4 C. D.
6.若满足，则
A. B． C． D．
7．某综艺节目为比较甲、乙两名选手的各项能力(指标值满分为5分，分值高者为优)，绘制了如图所示的六维能力雷达图，图中点A表示甲的创造力指标值为4，点B表示乙的空间能力指标值为3，则下面叙述正确的是
A．乙的记忆能力优于甲的记忆能力
B．乙的创造力优于观察能力
C．甲的六大能力整体水平优于乙
D．甲的六大能力中记忆能力最差
8．已知直线与圆相交于A，B两点(O为坐标原点)，则“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9.如图所示的三视图表示的几何体的体积为，则该几何体的外接球的表面积为
A. B. C. D.
10．某数学爱好者编制了如图的程序框图，其中mod(m，n)表示m除以n的余数，例如mod(7，3)=1．若输入m的值为8，则输出i的值为
A．2 B．3 C．4 D．5
11．已知（e为自然对数的底数），，直线l是的公切线，则直线l的方程为
A. B.
C. D.
12．已知中，，P为线段AC上任意一点，则的范围是
A．[1，4] B．[0,4] C．[－2,4] D．
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设函数的值为_________．
14．若满足条件的最大值为__________．
15．设抛物线的焦点为F，点A(0，2)，若线段FA的中点B在抛物线上，则点B到该抛物线准线的距离为___________．
16．在中，角A，B，C的对边分别为的值为__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17．(12分)
已知正项数列的前n项和满足：．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前n项和.
18．(本小题满分12分)
如图，在五面体ABCDEF中，四边形EDCF是正方形，．
(1)证明：；
(2)已知四边形ABCD是等腰梯形，且，求五面体ABCDEF的体积.
19．(本小题满分12分)
为了缓解日益拥堵的交通状况，不少城市实施车牌竞价策略，以控制车辆数量．某地车牌竞价的基本规则是：①“盲拍”，即所有参与竞拍的人都要网络报价一次，每个人不知晓其他人的报价，也不知道参与当期竞拍的总人数；②竞价时间截止后，系统根据当期车牌配额，按照竞拍人的出价从高到低分配名额．某人拟参加2018年5月份的车牌竞拍，他为了预测最低成交价，根据竞拍网站的数据，统计了最近5个月参与竞拍的人数(见下表)：
(1)由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型拟合竞拍人数y(万人)与月份编号t之间的相关关系．请用最小二乘法求y关于t的线性回归方程：，并预测2018年5月份参与竞拍的人数．
(2)某市场调研机构从拟参加2018年5月份车牌竞拍人员中，随机抽取了200人，对他们的拟报价价格进行了调查，得到如下频数分布表和频率分布直方图：
(i)求的值及这200位竟拍人员中报价大于5万元的频率；
(ii)若2018年5月份车牌配额数量为3000，假设竞拍报价在各区间分布是均匀的，请你根据以上抽样的数据信息，预测(需说明理由)竞拍的最低成交价．
参考公式及数据：①，其中；
②
20．(12分)
已知椭圆的左焦点为，离心率．
(I)求椭圆C的标准方程；
(II)已知直线交椭圆C于A，B两点．
（i）若直线经过椭圆C的左焦点F，交y轴于点P，且满足.求证：为定值.
21．(12分)
已知函数．
(I)当时，求的单调递减区间；
(II)对任意的，及任意的成立，求实数t的范围．
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程
已知平面直角坐标系中，过点的直线l的参数方程为 (t为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为与曲线C相交于不同的两点M，N．
(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
(2)若，求实数a的值．
23．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲．
已知函数．
(1)解不等式；
(2)已知，若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围．
绝密★启用前 试卷类型：A
二〇一五级校际联考文科数学答案 2018.05
一、 选择题
1-5 DCCBA 6-10 ACACB 11-12CD
1．答案D 解析： ，
所以，故选D
2．答案C解析：，所以，故选C.
3．答案C解析：正方形面积为25，由几何概型知阴影部分的面积为：，故选C.
4．答案B解析：将函数的图像沿轴向左平移个单位后得到
的图像，此时函数为偶函数，必有,当时，.故选B.
5．答案A解析：，即，其中，又到其渐近线的距离:，故选A.
6. 答案A解析：由题意得，，，故选A．
7. 答案C解析：由图示易知甲的记忆能力指标值为，乙的记忆能力指标值为4，所以甲的记忆能力优于乙，故排除；同理，乙的观察能力优于创造力，故排除；甲的六大能力
中推理能力最差，故排除；又甲的六大能力指标值的平均值为，乙的六大能力指标值的平均值为，所以甲的六大能力整体水平优于乙，故选.
8．答案A解析:易知斜边上的高为,则由点到直线距离公式得，解得，所以“”是“”的充分不必要条件，故选.
9．答案C解析: 由三视图可得该几何体为底面边长为4、，一条侧棱垂直底面的四棱锥，设高为4，则，，将该几何体补成一个长方体，则其外接球半径为，故这个几何体的外接球的表面积为．故选C．
10．答案B解析: 模拟执行程序框图，可得：，，，满足条件，满足条件，，，满足条件，不满足条件，，满足条件，满足条件，，，…，，可得：2，4，8，
∴共要循环3次，故．故选B．
11.答案C解析：设切点分别为、，，
整理得解得或，
所以切线方程为或，故选C.
12. 答案D解析：法1：易求得，取中点，则，
当时，，当在处时，
所以,故选D
法2：以为坐标原点，为轴、为轴建系，则
，设
所以,故选D.
二、填空题
答案： 13. -1; 14. 7; 15. 16 .
13.答案：-1. 解析：由得
14.答案：7.解析：由题,画出可行域为如图区域，
，当在处时，.
15.答案：解析：,,将代入
解得到该抛物线准线的距离为
16.答案：解析：在中， ，
由正弦定理得， ，
由余弦定理得，
，
， ，
.
三、解答题
17．解：（1）由已知，可得
当时，，可解得，或，由是正项数列，故. …………………2分
当时，由已知可得，，
两式相减得，.化简得， ……………………………4分
∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故.
∴数列的通项公式为. ……………………………6分
（2）∵，代入化简得
， …………………………8分
∴其前项和
……………………………12分
18．（1）证明：由已知的,,、平面，且∩,
所以平面 .………………………………………………2分
又平面,所以 .………………………………………………4分
又因为//,所以 .………………………………………………5分
（2）解：连结、,则 .………………………………………………6分
过作交于，又因为平面，所以，且∩，
所以平面，则是四棱锥的高. …………………………………………8分
因为四边形是底角为的等腰梯形，,
所以，,
.……………………………………………9分
因为平面，//，所以平面,则是三棱锥的高. …………………………10分
所以………………………………………………11分
所以. ……………………………………12分
19.（本小题满分12分）
解：（1）易知，， …………………1分
， ………………………2分
， ………………………3分
则关于的线性回归方程为， ………………………4分
当时,，即2018年5月份参与竞拍的人数估计为2万人. …………5分
（2）（i）由解得； ……………6分
由频率和为1，得，解得 ……………7
分
位竞拍人员报价大于5万元得人数为人；…………………8分
（ii）2018年5月份实际发放车牌数量为3000，根据竞价规则，报价在最低成交价以上人数占总人数比例为；又由频率分布直方图知竞拍报价大于6万元的频率为；
所以，根据统计思想（样本估计总体）可预测2018年5月份竞拍的最低成交价为万元.…12分
20．解： 由题设知， ，所以
椭圆的标准方程为 ………………2分
①由题设知直线斜率存在，设直线方程为则.
设，直线代入椭圆得 ………………4分
由，知
………………5分
………………6分
②当直线分别与坐标轴重合时，易知 ………………7分
当直线斜率存在且不为0时，设
设，直线代入椭圆得到 ………………8分
同理
………………9分
令， ，
令则， ………………11分
综上所述，面积的取值范围. ………………12分
21．（本小题满分12分）
解析：（1）, ……………2分
∴的递减区间为 ………………4分
（2）
由知 ∴在上递减 ……………8分
∴，
对恒成立，∴ ………………12分
22．解:（1）∵（为参数），
∴直线的普通方程为. ……………2分
∵，∴，
由得曲线的直角坐标方程为.……………4分
（2）∵，∴，
设直线上的点对应的参数分别是，
则，
∵，∴，∴， ……………6分
将，代入，得，
∴， ……………8分
又∵，∴. ……………10分
23.解：（1）不等式等价于，即分三种情况讨论：
或或，解得；
所以不等式的解集为. ………………4分
(2)因为，所以的最大值是.
又，于是，当且仅当
，即时等号成立，所以的最小值为4 …6分
要使恒成立，则， ……………8分
解得, 所以的取值范围 ……………10分
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