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文科数学
参考公式：
锥体的体积公式: ,其中为锥体的底面积, 为锥体的高.
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设全集,集合,集合则下图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
2. 设复数满足 (其中为虚数单位),则下列说法正确的是（ ）
A． B．复数的虚部是
C． D．复数在复平面内所对应的点在第一象限
3. 已知是公差为的等差数列, 为数列的前项和,若,则（ ）
A． B． C． D．
4. 已知角的终边经过点,其中,则等于（ ）
A． B． C. D．
5. 某商场举行有奖促销活动,抽奖规则如下:箱子中有编号为的五个形状、大小完全相同的小球,从中任取两球,若摸出的两球号码的乘积为奇数则中奖;否则不中奖则中奖的概率为（ ）
A． B． C. D．
6. 已知变量满足约束条件则目标函数的最小值为（ ）
A． B． C. D．
7. 已知底面是直角三角形的直棱柱的正视图、俯视图如下图所示,则该棱柱5的左视图的面积为（ ）
A． B． C. D．
8. 设分别为双曲线的左、右焦点, 为双曲线的左右顶点,其中,若双曲线的顶点到渐近线的距离为,则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C. D．
9. 执行如图所示的程序框图,则该程序框图的输出结果是（ ）
A． B． C. D．
10. 如图,半径为的圆中, 为直径的两个端点,点在圆上运动,设,将动点到两点的距离之和表示为的函数,则在上的图象大致为（ ）
A. B.
C. C.
11. 已知抛物线,过抛物线上两点分别作抛物线的两条切线为两切线的交点为坐标原点若,则直线与的斜率之积为（ ）
A． B． C. D．
12.已知定义在上的函数,当时, 且为奇函数,若方程的根为,则的所有的取值为（ ）
A．或或 B．或或
C. 或或或 D．或或或
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分.
13. 已知是互相垂直的单位向量,向量,,则 ．
14. 2018年4月4日,中国诗词大会第三季总决赛如期举行,依据规则,本场比赛共有甲、乙、丙、丁、戊五位选手有机会问鼎冠军,某家庭中三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现,结合自己的判断,对本场比赛的冠军进行了如下猜测:
爸爸:冠军是甲或丙;妈妈:冠军一定不是乙和丙;孩子:冠军是丁或戊.
比赛结束后发现:三人中只有一个人的猜测是对的,那么冠军是 ．
15. 已知表示不超过的最大整数,例如: .在数列中, ,记为数列的前项和,则 ．
16. 已知点均在表面积为的球面上,其中平面,,则三棱锥的体积的最大值为 ．
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
17. 在中, ,.
(1)求的长;
(2)设是平面内一动点,且满足，求的取值范围.
18. 如图,在以为顶点的五面体中,底面是矩形, .
(1)证明: 平面;
(2)在中国古代数学经典著作《九章算术》中,称图中所示的五面体为“刍甍”(chúméng),书中将刍甍的体积求法表述为:
术曰:倍下袤,上袤从之,以广乘之,又以高乘之,六而一.
其意思是:若刍甍的“下袤” 的长为,“上袤” 的长为,“广” 的长为,“高”即“点到平面的距离”为,则刍甍的体积的计算公式为: ,证明该体积公式.
19. 近期济南公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动,活动设置了一段时间的推广期,由于推广期内优惠力度较大,吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次,用表示活动推出的天数, 表示每天使用扫码支付的人次(单位:十人次),统计数据如表所示:
根据以上数据,绘制了散点图.
(1)根据散点图判断,在推广期内, 与(
均为大于零的常数)哪一个适宜作为扫码支付
的人次关于活动推出天数的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由);
(2)根据(1)的判断结果及表中的数据,建立关于的回归方程,并预测活动推出第天使用扫码支付的 人次；
(3)推广期结束后,为更好的服务乘客,车队随机调查了人次的乘车支付方式,得到如下结果：
已知该线路公交车票价元,使用现金支付的乘客无优惠,使用乘车卡支付的乘客享受折优惠,扫码支付的乘客随机优惠,根据调查结果发现:使用扫码支付的乘客中有名乘客享受折优惠,有名乘客享受折优惠,有名乘客享受折优惠.预计该车队每辆车每个月有1万人次乘车,根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，在不考虑其他因素的条件下,按照上述收费标准,试估计该车队一辆车一年的总收入.
参考数据:
其中
参考公式：
对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
20. 如下图已知离心率为的椭圆经过点,斜率为
的直线交椭圆于两点，交轴于点,点为线段的中点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若点关于轴的对称点为,过点且与垂直的直线交直线于点求面积的最大值 .
21. 已知函数,
(1)讨论单调性;
(2)当时,函数的最大值为,求不超过的最大整数 .
(二)选考题:共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,已知直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为，直线与曲线交于两点.
(1)求直线l的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(2)已知点的极坐标为,求的值.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数 .
(1)解不等式；
(2)若，且,证明: ，并求时，的值.
2018年济南市高三教学质量检测
文科数学参考答案
一、选择题
1-5: DDCBC 6-10: BCABA 11、12：AD
二、填空题
13. 14. 丙； 15. 16. .
三、解答题:
(一)必考题:
17.解（1）在中，.
代入数据得: .
，.
在中，由余弦定理知:
代入数据得: .
（2）设，则.
在中，由余弦定理知:
.
，
又，，
的取值范围为.
18.（1）证明：是矩形，，
又平面，平面
平面，
又平面，平面平面
又平面，平面，
平面.
（2）解：设分别是棱上的点，且满足，
链接.由第（1）问的证明知，，
所以四边形和为平行四边形.
，
又，平面，
多面体为三棱柱.
因此，刍甍可别分割成四棱锥和三棱柱.
由题意知，矩形中，
矩形的面积，
又四棱锥的高，即“点到平面的距离”为，
四棱锥的体积；
三棱柱的体积可以看成是以矩形为底,以点到平面的距离
为高的四棱柱体积的一半.
又矩形的面积
三棱柱的体积
刍甍的体积：
.
刍甍体积公式得证.
19. .解:(1)根据散点图判断, 适宜作为扫码支付的人数关于活动推出天数的回归方程类型:
(2) ,两边同时取常用对数得: ；
设,
,，
，
把代入,得: ，
，，；
把代入上式: ；
活动推出第天使用扫码支付的人次为
关于的回归方程为: ，
活动推出第天使用扫码支付的人次为；
(3)由题意可知:一个月中使用现金的乘客有人,共收入元；使用乘车卡的乘客有人，共收入元；
使用扫码支付的乘客有人，
其中:享受折优惠的有人,共收入元
享受折优惠的有人,共收入元:
享受折优惠的有人,共收入元
所以,一辆车一个月的收入为: （元）
所以,一辆车一年的收入为: (元)
20. .解:(1)由已知得: 解得,
椭圆的方程为:
(2)椭圆的左顶点,设的方程: ),则,
由得: .
设.
，.
则
，
直线的斜率为: ，
所以直线的方程为,即.
直线的方程式为：
所以点
点到直线的距离
，
的面积
所以，当时取等号
所以面积的最大值为
21.解：（1），
①当时，
时，单调递减；
时，单调递增；
②当时，
时，单调递增；
时，单调递减；
时，单调递增；
③当时，时，单调递增；
④当时，
时，单调递增；
时，单调递减；
时，单调递增；
综上，当时，在上单调递减，上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增：
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
（2），
，
当时，，单调递增；
时，，单调递减；
，，，
所以，存在唯一的，使，即
所以，当时，，单调递增；
时，，单调递减；
又，所以，.
所以，不超过的最大整数为.
(二)选考题:
22. [选修4-4:坐标系与参数方程]
解:(1) 的普通方程为: ；
又, ,即曲线的直角坐标方程为:
.
(2)解法一: 在直线上,直线的参数方程为(为参数),代入曲线的直角坐标方程得，即,
.
解法二:
，
，，
23.[选修4-5:不等式选]
解:(1)
当时,不等式为,；
当时,不等式为,不成立；
当时,不等式为,,
综上所述,不等式的解集为；
（2）解法一: ，
当且仅当，即时“”成立；
由可得：.
解法二：，
当时，；
当时，；
当时，
的最小值为，
，
当且仅当，即时“”成立；
由可得：.
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