太原五中2017—2018学年度第二学期模拟
高 三 数 学(理)
出题人、校对人：王文杰、郭舒平、刘锦屏、李廷秀、凌河、闫晓婷（2018.5.25）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1、设集合，，则（ ）
2、若复数在复平面内对应的点关于轴对称，且，则复数=（ ）
3、“直线与直线平行”是“”的（ ）
开始
输出
结束
是
否
充分不必要条件 必要不充分条件
充要条件 既不充分也不必要条件
4、若，，，则下列判断正确的是（ ）
5、若，则（ ）
6、执行如图所示的程序框图，若输出的的值为6，则判断框中的条件可以是（ ）
7、由计算机产生个0～1之间的均匀随机数构成个数对，其中两数能与1构成钝角三角形三边的数对共有对，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为（ ）
8、在中，，则的面积等于（ ）
2
正视图
俯视图
侧视图
9、已知某空间几何体的三视图如图所示，
其中正视图为等边三角形，
若该几何体的体积为，
则该几何体的最长棱长（ ）
10、某人根据自己的爱好，希望从｛T，Y，W，Z｝中选两个不同的字母 ，从｛0，2，6，8｝中选三个不同的数字编拟车牌号，要求前两位是字母，后三位是数字，且数字2不能排在末位，字母Z和数字2不能相邻，那么满足要求的车牌号有（ ）
180个 198个 216个 234个
11、已知直线与椭圆有且只有一个公共点，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
12、已知定义在上的函数满足，，设与图象的交点坐标为,若,则的的最小值为
2 4 6 8
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题—第23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分
13、若向区域内投点，则该点落在由直线与曲线围成区域内的概率为________.
14、已知正方体的棱长为,点是底面上的动点，则的最大值为 .
15、已知球的直径，是该球面上的两点，，
则三棱锥的体积最大值是________.
16、设函数,若函数在内有两个极值点,则实数的取值范围是________.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17、（本小题满分12分）
已知数列的前项和满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.
18、（本小题满分12分）
A
B
C
D
P
M
N
在四棱锥中，平面，
是正三角形，与的交点为，
又，点是中点.
求证：（1）平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
19、（本小题满分12分）
某高校在2017年自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩共分为五组，得到如下的频率分布表：
组 号
分 组
频 数
频 率
第一组
[145,155）
5
0.05
第二组
[155,165）
35
0.35
第三组
[165,175）
30
第四组
[175,185）
第五组
[185,195）
10
0.1
（1）请写出频率分布表中的值，若同组中的每个数据用该组中间值代替，请估计全体考生的平均成绩；
（2）为了能选出最优秀的学生，该高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取12名考生进入第二轮面试.
①求第3、4、5组中每组各抽取多少名考生进入第二轮面试；
②从上述进入二轮面试的学生中任意抽取2名学生，记X表示来自第四组的学生人数，求X的分布列和数学期望；
③若该高校有三位面试官各自独立地从这12名考生中随机抽取2名考生进行面试，设其中甲考生被抽到的次数为Y，求Y的数学期望.
20、（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，已知抛物线，为坐标原点，点为抛物线上任意一点，过点作轴的平行线交抛物线准线于点，直线交抛物线于点.
（1）求证：直线过定点，并求出此定点坐标；
（2）若，，三点满足，求直线的方程.
21、（本小题满分12分）
已知函数.
（1）当时，证明：；
（2）若在区间上不是单调函数，讨论的实根的个数.
请考生从第22、23 题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.
22、（本小题满分10分）【选修4——4：坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数），以原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）已知平面直角坐标系中：，是曲线上任意一点，求面积的最小值.
23、（本小题满分10分）【选修4——5：不等式选讲】
已知函数.
（1）解不等式；
（2）已知，求证：.
高三二模答案
1、解析：
2、解析：
3、解析：若直线与直线平行，
则有，所以.
所以“直线与直线平行”是“”的充要条件.故选
4、解析：
.
5、解析：由题意可知：，即，即，所以或（舍），所以
，故选
6、解析：程序的运行过程如下：初始值：，；第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，；第四次循环，；第五次循环，；此时满足题意输出，退出循环，所以判断框中的条件可以是“”，故选
7、解：由题意，对0～1之间的均匀随机数，满足，相应平面区域面积为1，两个数能与1构成钝角三角形三边的数对，满足且
面积为，所以，得．
故为
8、解析：由条件知，，所以，由正弦定理可得，故的面积.故选
9、解析：由三视图可知，该几何体是四棱锥顶点
在底面的射影是底面矩形的长边的中点，
A
B
C
DD
OD
PD
连接,由侧视图知，
又为等边三角形，所以，
于是由，
得，
所以最长棱长.故为
10、解析：（1）不含Z不含2共有：个；（2）含Z不含2共有：个；（3）不含Z含2共有：个；（4）含Z也含2共有：个；所以共有36+36+72+54=198个，选
11、解析：因为直线与椭圆有且只有一个公共点，联立，
得，
由，解得，
设，则由可知：且，所以，
所以双曲线的离心率的取值范围为，故选.
12、解析：根据,可知的的图象关于(a,b)对称,又因为
·又设为奇函数,所以的图象关于(a,b)对称,所以对于每一组对称点有
所以=4m, ，
故=,
当且仅当a=b=1时, 取最小值2.故选
13、解析：
曲线围成区域面积为： .
14、解析：以点为原点，,,为轴建立空间直角坐标系，则，设，其中，则，等号成立条件是，故最大值为.
15、解析：2
因为球的直径，且，
所以，，
（其中为点到底面的距离），
故当最大时，的体积最大，即当面面时，
最大且满足，即，
此时。
16、解析：
要使得函数在 内有两个极值点,只需在内有两个解,可转换为函数与g(x)=a(x-1)的图象在内有两个交点.由知,当时,函数, 在上为减函数,当时,,函数在 上为增函数,当直线g(x)=a(x-1)与曲线相切时,设切点坐标,由导数的几何意义可以得到
解得或（舍去），可知a=1, .
17、解析：（1）当时，，即，得;
当时，有，
则，得，
所以，所以数列是以为首项，为公差的等差数列.
所以，即.
（2）原不等式即，等价于.
记，则对恒成立，所以.
，当时，，即；当时，，即；所以数列的最大项为，所以，解得.
18、解（1）证明：在正三角形中，，
在中，，
A
B
C
D
P
M
N
x
y
z
又，所以，
所以为的中点，又点是中点，所以
因为平面，所以，又，,
所以又，，又，
所以，已证，所以，
又，所以平面平面；
（2）如图所示以为原点，建立空间直角坐标系。
已知，是正三角形，
则
所以
设平面的一个法向量为
由
令，则，所以
设平面的一个法向量为
由
令，则，所以
所以
所以二面角的余弦值为-.
19、解：（1）由题意知，
（2）①第3、4、5组共60名学生，现抽取12名，因此第三组抽取的人数为人，第四组抽取的人数为人，第五组抽取的人数为人.
②所有可能的取值为0，1，2，，，；
的分布列为：
0
1
2
③从12名考生中随机抽取2人，考生甲被抽到参加面试的概率为
则，.
20、解析：
（1）由题意得抛物线准线方程为，设，故，从而直线的方程为，联立直线与抛物线方程得，解得，
故直线的方程为，整理得，
故直线恒过定点.
（2）由（1）可设直线的方程为，联立直线与抛物线方程得
消元整理得，设，，
则由韦达定理可得，，
因为，故，得，
联立两式，解得或，代入，
解得或，故直线的方程为或，
化简得或.
21、解析： (1)根据题意,令所以,
当时, ,当时,
所以,故.
(2)因为函数的对称轴轴方程为,所以.据题意,令,所以,
令G'(x)=0,解得或，
函数G(x)的定义域为因为且，由此得: 时,1+mx>0,mx
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