2017-2018学年度(下)调研检测 2018.07
高一数学
本试题卷分第一部分(选择题)和第二部分(非选择题).第一部分1至2页,第二部分3至4页,共4页.考生作答时,须将答案答在答题卡上,在本试题卷、草稿纸上答题无效.满分150分.考试时间120分钟.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回.
注意事项:
1.选择题必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上.
2.本部分共12小题,每小题5分,共60分.
第一部分(选择题 共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.平面向量不共线,向量,,若,则( )
(A)且与同向 (B)且与反向
(C)且与同向 (D)且与反向
2.若直线的倾斜角为,则实数的值为( )
(A) (B) (C) (D)
3.实数满足,则下列不等式成立的是( )
(A) (B) (C) (D)
4.设是所在平面内一点,且,则( )
(A) (B) (C) (D)
5.圆关于直线对称的圆的方程为( )
(A) (B)
(C) (D)
6.
《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著,书中有如下问题:今有女子善织,日增等尺,七日织二十八尺,第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺,则第十日所织尺数为( )
(A) (B) (C) (D)
7.设实数满足约束条件,则的最小值是( )
(A) (B) (C) (D)
8.点是直线上的动点,由点向圆作切线,则切线长的最小值为( )
(A) (B) (C) (D)
9.已知中,角、、的对边分别为、、,若,且,则的取值范围是( )
(A) (B) (C) (D)
10.如图,飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内,已知飞机的高度
为海拔m,速度为km/h,飞行员先看到山顶的俯角为,
经过80s后又看到山顶的俯角为,则山顶的海拔高度为( )
(A) (B)
(C) (D)
11.设是内一点,且,,设,其中、、分别是、、的面积.若,则的最小值是( )
(A)3 (B)4 (C) (D)8
12.已知数列满足:,.设,,且数列是单调递增数列,则实数的取值范围是( )
(A) (B) (C) (D)
第二部分(非选择题 共90分)
注意事项:
1.必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作图题可先用铅笔绘出,确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试题卷上无效.
2.本部分共10小题,共90分.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.二次不等式的解集为,则_____ ___.
14.两平行直线与间的距离为__ ____.
15.平面向量,,.若对任意实数t都有,则向量 .
16.若等腰的周长为3,则的腰上的中线的长的最小值为 .
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)已知平面向量,,,且.
(Ⅰ)求向量与的夹角;
(Ⅱ)设,求以为邻边的平行四边形的两条对角线的长度.
18.(本小题满分12分)已知数列满足, .
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设,求.
19.(本小题满分12分)在中,角、、的对边分别为、、,且.
(Ⅰ)求角;
(Ⅱ)若外接圆的面积为,且的面积,求的周长.
20.(本小题满分12分)已知圆的圆心在直线上,并且经过点和.
(Ⅰ)求圆的方程;
(Ⅱ)若直线过点与圆相交于、两点,求的面积的最大值,并求此时直线的方程.
21.(本小题满分12分)十九大指出中国的电动汽车革命早已展开,通过以新能源汽车替代汽/柴油车,中国正在大力实施一项重塑全球汽车行业的计划.2018年某企业计划引进新能源汽车生产设备,通过市场分析,全年需投入固定成本2500万元,每生产x(百辆),需另投入成本万元,且.由市场调研知,每辆车售价5万元,且全年内生产的车辆当年能全部销售完.
(Ⅰ)求出2018年的利润(万元)关于年产量(百辆)的函数关系式;(利润=销售额成本)
(Ⅱ)2018年产量为多少(百辆)时,企业所获利润最大?并求出最大利润.
22.(本小题满分12分)已知正项数列的前项和满足.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)若,求数列的前项和;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若对任意恒成立,求实数的取值范围.
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高一数学(参考答案)
一、 选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.
(1~5)DACDA (6~10)BDCBC (11~12)DB
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13、 14、 15、 16、
16、解:法一、设腰长为2a,则底边长为3-4a,从而,
故,当时取到最小值
法二、向量法建系求解.
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17、(本小题满分10分)
解:(Ⅰ)由题意有
由,, ∴,
∴ ∵ ∴.………………5分
(Ⅱ)以为邻边的平行四边形的两条对角线表示的向量分别为和,其长度分别为
.………………10分
18、(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)由
有时,
化简得到
而也满足,故.……………………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知
由,由
.……………………………12分
19、(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)法一:已知,由正弦定理得
∵ ∴ ∵ ∴.………………6分
法二:已知,由余弦定理得
又 ∴ ∵ ∴.………………6分
(Ⅱ)由外接圆的面积为,得到
由正弦定理知 ∴.
∵的面积,可得.………………………9分
法一:由余弦定理得,即
从而,故的周长为.……………………………12分
法二:由余弦定理得,即
从而或,故的周长为.……………………………12分
20、(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)法一:设圆的方程为
由题意有,解得
故圆的方程为.……………………………6分
法二:由点和可求得直线的垂直平分线方程为
与直线方程联立解得圆心
则圆的半径
故圆的方程为.……………………………6分
(Ⅱ)法一:直线与圆相交,∴直线的斜率一定存在且不为0,设直线的方程为
即,则圆心到直线的距离为.……………………………8分
又∵的面积
∴当时,取最大值2.由或
∴直线的方程为或.……………………………12分
法二:设圆心到直线的距离为d
则的面积(时取等号)
以下同法一.
法三:面积,当,即时取等号,
此时为等腰直角三角形,圆心到直线的距离为,
以下同法一.
21、(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)当时,
;
当时,;
∴.……………………………5分
(Ⅱ)当时,,
∴当时,;
当时,,
当且仅当,即时,;……………………………11分
∴当时,即年生产辆时,该企业获得利润最大,且最大利润为万元.………12分
22、(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)法一:当时,
当时,
化简得
∵是正项数列 ∴,则
即是以为首项,以2为公差的等差数列,故.……………………………4分
法二:当时,
当时,
即是以为首项,以1为公差的等差数列,则
∴.……………………………4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
则
从而
两式相减得
所以.……………………………9分
(Ⅲ)由得,则,
当且仅当时,有最大值, ∴.……………………………12分