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2018年7月襄阳市普通高中调研统一测试
高二数学（理工类）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知双曲线的方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．焦点在轴上 B．虚轴长为4
C．渐近线方程为 D．离心率为
2.已知函数，则“”是“在上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3.下列命题中真命题的个数是（ ）
①若是假命题，则、都是假命题；
②命题“，”的否定是“，”
③若：，:，则是的充分不必要条件.
A．0 B．1 C．2 D．3
4.欧拉公式(为虚数单位)，是由著名数学家欧拉发明的，他将指数函数定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，若将表示的复数记为，则的值为（ ）
A． B． C. D．
5.已知圆，定点，点为圆上的动点，点在上，点在线段上，且满足，，则点的轨迹方程是（ ）
A． B． C. D．
6.广告投入对商品的销售额有较大影响，某电商对连续5个年度的广告费和销售额进行统计，得到统计数据如下表（单位：万元）
广告费
2
3
4
5
6
销售额
29
41
50
59
71
由上表可得回归方程为，据此模型， 预测广告费为10万元时销售额约为（ ）
A．118.2万元 B．111.2万元 C.108.8万元 D．101.2万元
7.某市通过随机询问100名不同年级的学生是否能做到“扶跌倒老人”，得到如下列联表：
做不到
能做到
高年级
45
10
低年级
30
15
则下列结论正确的是（ ）
A．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“学生能否做到‘扶跌倒老人’与年级高低有关”
B．在犯错误的概率不超过的前提下，“学生能否做到‘扶跌倒老人’与年级高低无关”
C. 有以上的把握认为“学生能否做到‘扶跌倒老人’与年级高低有关”
D．有以上的把握认为“学生能否做到‘扶跌倒老人’与年级高低无关”
附参照表：
0.10
0.025
0.01
2.706
5.024
6.635
参考公式：，其中
8.若直线把圆分成面积相等的两部分，则当取得最大值时，坐标原点到直线的距离是（ ）
A．4 B． C.2 D．
9.已知直线，，点是抛物线上任一点，则到直线、的距离之和的最小值为（ ）
A．2 B． C. D．
10.已知双曲线，若其过一、三象限的渐近线的倾斜角，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
11.设函数是的导函数，，，，
，则（ ）
A． B．
C. D．
12.已知函数，其中、，为自然对数的底数.若，是的导函数，函数在区间内有两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.若曲线(为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数的取值范围是 ．
14.已知双曲的左、右焦点分别为、，是双曲线上一点，且轴，若的内切圆半径为，则其离心率为 ．
15.已知函数，使在上取得最大值3，最小值-29，则的值为 ．
16.已知直线与椭圆相切于第一象限的点，且直线与轴、轴分别交于点、，当(为坐标原点)的面积最小时，(、是椭圆的两个焦点)，若此时在中，的平分线的长度为，则实数的值是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知函数(为常数，是自然对数的底数)，曲线在点处的切线与轴平行.
（1）求的值；
（2）求的单调区间.
18. （1）已知命题:实数满足，命题:实数满足方程表示的焦点在轴上的椭圆，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围；
（2）设命题:关于的不等式的解集是；:函数的定义域为.若是真命题，是假命题，求实数的取值范围.
19. 如图，在四边形中，，，四边形为矩形，且平面，.
（1）求证：平面；
（2）点在线段上运动，当点在什么位置时，平面与平面所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值.
20.设椭圆经过点，其离心率.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆交于、两点，且的面积为，求的值.
21.已知函数，.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，若存在，使不等式成立，求的最小值.
22.已知双曲线的右焦点是抛物线的焦点，直线与该抛物线相交于、两个不同的点，点是的中点，求(为坐标原点)的面积.
试卷答案
一、选择题
1-5: CACAD 6-10:BCDCB 11、12：BA
二、填空题
13. 14. 15.3 16.
三、解答题
17.（1）解：由得：，
由于曲线在处的切线与轴平行，∴，即，∴.
（2）解：由（1）得，
令，
当时，；当时，
又，∴时，，时，
因此的单调递增区间为，单调递减区间为.
18. （1）解：由得：，即命题
由表示焦点在轴上的椭圆，可得，解得
，即命题.
因为是的充分不必要条件，所以或
解得：，∴实数的取值范围是.
（2）解：命题为真命题时，实数的取值集合为
对于命题:函数的定义域为的充要条件是①恒成立.
当时，不等式①为，显然不成立；
当时，不等式①恒成立的条件是，解得
所以命题为真命题时，的取值集合为
由“是真命题，是假命题”，可知命题、一真一假
当真假时，的取值范围是
当假真时，的取值范围是
综上，的取值范围是.
19.（1）证：在等腰梯形中，设
∵，，∴，
∴
∴，因此
∵平面，平面，∴
而，∴ 平面
∵四边形是矩形，∴，∴平面.
（2）解：由（1）知，、、两两垂直
以、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设，令，则，，，
∴，
设平面的法向量为
则 ，即
令，则为平面的一个法向量
易知是平面的一个法向量
设平面与平面所成锐二面角为，则
∵，∴当时，有最小值
即点、重合时，平面与平面所成锐二面角最大，其余弦值为.
20. （1）解：由已知解得，，∴椭圆的方程为.
（2）解：由得：
由得：
设，，则，
∴
又到的距离为，∴
即，解得：.
符合，故.
21.（1）解：∵
∴
∴当即时，对恒成立
此时，的单调递增区间为，无单调递减区间
当，即时，由，得，由，得
此时，的单调递减区间为，单调递增区间为
综上所述，当时，的单调递增区间为,无单调递减区间；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为
（2）解：由，得：
当时，上式等价于
令
据题意，存在，使成立，则只需，
令，显然在上单调递增
而，
∴存在，使，即
又当时，，单调递减，当时，，单调递增
∴当时，有极小值（也是最小值）
∴
∵ ，即，∴，∴
又，且， ∴的最小值为2.
22.解：∵ 双曲线的左焦点的坐标为
∴的焦点坐标为，∴，
因此抛物线的方程为
设，，，则，
∴
∵为的中点，所以，故
∴直线的方程为
∵ 直线过点， ∴，
故直线的方程为，其与轴的交点为
由得：，，
∴的面积为.
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