永春一中高二年（下）期末考数学（理）科试卷 （2018.7）
命题：陈鹏林 审核: 刘奕忠 考试时间：120分钟 试卷总分：150分
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间为120分钟.
2．本试卷分试题卷和答题卷，第Ⅰ卷（选择题）的答案应填在答题卷卷首相应的空格内，做在第Ⅰ卷
的无效.
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、 选择题：本大题共12小题,每小题５分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．若～，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．已知随机变量服从正态分布且，则（ ）
A． B． C． D．
4．数学与文学之间存在着许多奇妙的联系，诗中有回文诗，如：“云边月影沙边雁，水外天光山外树”，
倒过来读，便是“树外山光天外水，雁边沙影月边云”，其意境和韵味读来是一种享受！数学中也有回
文数，如：88，454，7337，43534等都是回文数，无论从左往右读，还是从右往左读，都是同一个数，
称这样的数为“回文数”，读起来还真有趣！
二位的回文数有11，22，33，44，55，66，77，88，99，共9个；
三位的回文数有101，111，121，131，，969，979，989，999，共90个；
四位的回文数有1001，1111，1221，，9669，9779，9889，9999，共90个；
由此推测：7位的回文数总共有（ ）个
A．90 B．900 C．9000 D．90000
5．一个盒子里有6支好晶体管，4支坏晶体管，任取两次，每次取一支，每次取后不放回，
已知第一支是好晶体管，则第二支也是好晶体管的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．若(1－2x)2 014＝a0＋a1x＋…＋a2 014x2 014(x∈R)，则＋＋＋…＋的值为( )
A．－2 B．－1 C．0 D．1
7．是上奇函数，对任意实数都有，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
8．下列命题中，正确的是（ ）
A．已知服从正态分布，且，则
B．
C．已知，为实数，则的充要条件是
D．命题：“”的否定是“”
9．下列命题正确的个数是（ ）
（1）函数的最小正周期为的充分不必要条件是“” ．
（2）设，则使函数的定义域为且为奇函数的所有的值为．
（3）已知函数在定义域上为增函数，则．
A．0 B．1 C．2 D．3
10．对于不等式＜n＋1()，某同学用数学归纳法的证明过程如下：
（1）当n＝1时，＜1＋1，不等式成立．
（2）假设当n＝k()时，不等式成立，即＜k＋1，则当n＝k＋1时，
＝(k＋1)＋1，
∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法（ ）
A．过程全部正确 B．n＝1验得不正确
C．归纳假设不正确 D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
11．已知函数，若满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．已知定义在上的函数满足：函数的图象关于直线对称，且当时（是函数的导函数）成立.若, ，，则的大小关系是( )
A． B． C． D．
第II卷（非选择题共90分）
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13．复数为纯虚数（为虚数单位），其中，则的实部为_____．
14．从单词“education”中选取5个不同的字母排成一排，则含“at”（“at”相连且顺序不变）的概率为________．
15．设，则二项式的展开式中含项的系数为______．
16．若均为任意实数，且，则 的最小值为______．
三、解答题：共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（本小题满分12分）在中，角的对边分别为．
（1）求；
（2）若，且，求的周长．
18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，PB⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，
AD∥BC，AD⊥AB，且PB＝AB＝AD＝3，BC＝1．
（1）求二面角B—PD—A的大小；
（2）在线段PD上是否存在一点M，使得CM⊥PA?
若存在，求出PM的长；若不存在，说明理由．
19．（本小题满分12分）
习近平总书记在党的十九大工作报告中提出，永远把人民对美好生活的向往作为奋斗目标.在这一号召的引领下，全国人民积极工作，健康生活.当前，“日行万步”正成为健康生活的代名词.某学校工会积极组织该校教职工参与“日行万步”活动.界定日行步数不足千步的人为“不健康生活方式者”，不少于千步的人为“超健康生活方式者”，其他为“一般生活方式者”.某日，学校工会随机抽取了该校名教职工，统计他们的日行步数，按步数分组，得到频率分布直方图如图所示：
（1）求名教职工日行步数（千步）的样本平均数（结果四舍五入保留整数）；
（2）由直方图可以认为该校教职工的日行步数（千步）服从正态分布，其中为样本平均数，标准差的近似值为，求该校被抽取的名教职工中日行步数（千步）的人数（结果四舍五入保留整数）；
（3）用样本估计总体，将频率视为概率.若工会从该校教职
工中随机抽取人作为“日行万步”活动的慰问奖励对象，
规定：“不健康生活方式者”给予精神鼓励，奖励金额每人
元；“一般生活方式者”奖励金额每人元；“超健康生
活方式者”奖励金额每人元.求工会慰问奖励金额的
分布列和数学期望.
附：若随机变量服从正态分布，
则，.
20．（本小题满分12分）已知椭圆过点两点．
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）设为第三象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，
求证：四边形的面积为定值．
21．（本小题满分12分）已知函数．
（1）当，时，讨论函数在区间上零点的个数；
（2）当时，如果函数恰有两个不同的极值点，，证明：．
（二）选考题：共10分。请考生在22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数），,1)，直线与曲线相交与，两点．
（1）求曲线和直线的平面直角坐标方程；
（2）求的值．
23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】
设 ．
（1）求 的解集；
（2）若不等式，对任意实数恒成立，求实数x的取值范围．
永春一中高二年（下）期末考数学（理）科试卷参考答案
一、选择题： 1—4：CDBC 5—8：DBBA 9—12：CDAA
二、填空题：13． 14． 15．192 16．
三、解答题：共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．解：（1）,，………………………………1分
又，解得．…………………………3分
，是锐角．………………………………5分
（2）．又 ． ．
．……………………………10分
的周长为：……………………………………12分
18．解：
（1）因为梯形中，AD∥BC，, 所以.
因为平面，所以,
如图，以为原点，
所在直线为轴建立空间直角坐标系, …………….1分
所以.
设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为,
因为
所以，即，
取得到,
同理可得, ………………4分
所以, N 因为二面角为锐角，
所以二面角为. ………………….6分
（2）假设存在点，设，
所以, ……10分
所以，解得,
所以存在点，且. ……….12分
19．（本小题满分12分）
解：（1）.……3分
（2）∵，∴，，
∴.
走路步数的总人数为人. …………………………6分
（3）由题意知的可能取值为，，，，， …………………………7分
，，
，
，.（正确一个给0.5分）
则的分布列为：
………………………………10分
.……12分
20．解：（1）由题意得，，所以椭圆的方程为，
又,所以离心率．．．．．．．．．．．5分
（2）设，则，
又，所以直线的方程为，
令，得，从而，
直线的方程为．令，得，从而，
所以四边形的面积：
从而四边形的面积为定值．．．．．．．．．．．． 12分
21．（本小题满分12分）
（1）当，时，函数在区间上的零点的个数即方程根的个数．
由， ………………………………1分
令， …………………………2分
则在上单调递减， 在上单调递增．
所以是的极小值即最小值，即
所以函数在区间上零点的个数，讨论如下：当时，有个零点；
当时，有个零点；当时，有个零点． …………5分
（2） 由已知，，
，是函数的两个不同极值点（不妨设），
（若时，至多只有一个根，即至多只有一个零点，与已知矛盾），
且，．，……………6分
两式相减得：，
于是要证明，即证明，两边同除以，
即证，即证，即证，
令，．即证不等式对于时恒成立． ………9分
设，．
设，，当，，
单调递减，所以，即，，
在时是减函数．在处取得最小值．
，得证．． ………………………12分
（二）选考题：共10分。请考生在22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
解：(1)曲线的极坐标方程为，即
∴曲线的平面直角坐标方程为
直线的平面直角坐标方程为，即……5分
(2)易知点P在直线上，∴
又直线过F,0)，直线的参数方程可改为（为参数），代入得，，
∴
∴……………………10分
23．（解）：（1）由有 ………3分
解得， ……5分
（2） ………7分
当且仅当 时取等号.
由不等式 对任意实数恒成立，可得
解得 ………10分
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