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2018年上学期高二年级期末考试数学试题（理科）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 设复数满足，则（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】,化为，，故选A.
2. 若集合，，则下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：先求出集合和集合，由此根据集合的关系，得到答案.
详解：由题意，集合，，
所以，故选C.
点睛：本题主要考查了集合的运算，其中正确求解集合是解答的关键，着重考查了推理与预算能力.
3. 为了解某校一次期中考试数学成绩情况，抽取100位学生的数学成绩，得如图所示的频率分布直方图，其中成绩分组区间是，，，，，，则估计该次数学成绩的中位数是（ ）
A. 71.5 B. 71.8 C. 72 D. 75
【答案】C
【解析】的频率为：；
的频率为：；
的频率为：；
的频率为：；
的频率为：；
的频率为：.
所以，得：.
的频率和为：.
由，得中位数为：.
故选C.
点睛：用频率分布直方图估计总体特征数字的方法：
①众数：最高小长方形底边中点的横坐标；
②中位数：平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标；
③平均数：频率分布直方图中每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和.
4. 已知等差数列的前项和，若，则（ ）
A. 27 B. 18 C. 9 D. 3
【答案】A
【解析】设公差，则，
，故选A.
5. 设曲线在点处的切线与直线平行，则（ ）
A. B. C. -2 D. 2
【答案】D
【解析】试题分析：由的导数为，则在点处的切线斜率为，由切线与直线平行，所以，故选D．
考点：利用导数研究曲线在某点处的切线方程．
6. 在圆中，弦的长为4，则（ ）
A. 8 B. -8 C. 4 D. -4
【答案】A
【解析】分析：根据平面向量的数量积的定义，老鹰圆的垂径定理，即可求得答案.
详解：如图所示，在圆中，过点作于，则为的中点，
在中，，可得，
所以，故选A.
点睛：本题主要考查了平面向量的数量积的运算，其中解答中涉及到圆的性质，直角三角形中三角函数的定义和向量的数量积的公式等知识点的综合运用，着重考查了分析问题和解答问题的能力.
7. 如图，点为正方体的中心，点为棱的中点，点为棱的中点，则空间四边形在该正方体的面上的正投影不可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：根据空间四边形在正方体前后面、上下面和左右面上的正投影，即可得到正确的选项.
详解：空间四边形在正方体前后面上的正投影是A选项；
空间四边形在正方体前上下上的正投影是B选项；
空间四边形在正方体左右面上的正投影是D选项，故选C.
点睛：本题主要考查了平行投影和平行投影的作法的应用问题，主要同一图形在不同面上的投影不一定相同，属于基础题，着重考查了空间推理能力.
8. 设坐标原点为，抛物线与过焦点的直线交于、两点，则等于（ ）
A. B. C. 3 D. -3
【答案】B
【解析】抛物线的焦点为,当直线l与x轴垂直时，,
所以
9. 已知函数.若关于的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：将方程恰有两个不同的实根，转化为方程恰有两个不同的实根，在转化为一个函数的图象与一条折线的位置关系，即可得到答案.
详解：方程恰有两个不同的实根，转化为方程恰有两个不同的实根，
令，，
其中表示过斜率为1或的平行折线，
结合图象，可知其中折线与曲线恰有一个公共点时，，
若关于的方程恰有两个不同的实根，则实数的取值范围是，故选B.
点睛：本题主要考查了方程根的存在性及根的个数的判断问题，其中把方程的实根的个数转化为两个函数的图象的交点的个数，作出函数的图象是解答的关键，着重考查了转化思想方法，以及分析问题和解答问题的能力.
10. 如图，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，已知小正方形的外接圆恰好是大正方形的内切圆，现在大正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：设大正方形的边长为1，其内切圆的直径为1，则小正方形的边长为，从而阴影部分的面积为，由此利用几何概型能求出在大正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率.
详解：设大正方形的边长为1，其内切圆的直径为1，则小正方形的边长为，
所以大正方形的面积为1，圆的面积为，小正方形的面积为，
则阴影部分的面积为，
所以在大正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率.
点睛：本题主要考查了面积比的几何概型及其概率的计算问题，其中根据题意，准确求解阴影部分的面积是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，以及函数与方程思想的应用，属于基础题.
11. 已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点.设，到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：由题意首先求得A,B的坐标，然后利用点到直线距离公式求得b的值，之后求解a的值即可确定双曲线方程.
详解：设双曲线的右焦点坐标为（c>0），则，
由可得：，
不妨设：，
双曲线的一条渐近线方程为：，
据此可得：，，
则，则，
双曲线的离心率：，
据此可得：，则双曲线的方程为.
本题选择C选项.
点睛：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出λ的值即可.
12. 已知四棱锥的底面是正方形，侧棱长均相等，是线段上的点（不含端点）.设与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析：作出三个角，表示出三个角的正弦会正切值，根据三角函数的单调性，即可得出三个角的大小关系.
详解：由题意可知点在底面的射影为正方形的中心，
作作，交于，过底面的中心作交于，
连接，取的中点，连接，则，
则，显然三个角都为锐角，
其中，其中，所以，
又，其中，所以，
所以，故选D.
点睛：本题主要考查了空间角的计算，以及三角函数的应用，其中根据异面直线所成角、直线与平面所成角和二面角的定义得出，再利用三角函数的定义表示出
的正弦值和正切值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力和空间想象能力，属于中档试题.
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 若实数，满足条件，则的最大值为__________．
【答案】6
【解析】分析：现根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，求出最优解，然后求解的最大值即可.
详解：现根据实数满足条件，画出可行域，
如图所示，
由目标函数，则，
结合图象可知，当直线过点时，
目标函数取得最大值，此时最大值为.
点睛：本题主要考查了简单的线性规划求最大值，其中画出约束条件所表示的平面区域，根据直线的几何意义求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
14. 已知数列的前项和，则__________．
【答案】64
【解析】分析：由题意，根据数列的和的关系，求得，即可求解的值.
详解：由题意，数列的前项和为，
当时，，所以
点睛：本题主要考查了数列中和的关系，其中利用数列的和的关系求解数列的通项公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
15. 展开式中的常数项为__________．
【答案】24
【解析】分析：由题意，求得二项式的展开式的通项为，即可求解答案.
详解：由题意，二项式的展开式的通项为，
令，则.
点睛：本题主要考查了二项式定理的应用，其中熟记二项展开式的通项公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
16. 已知函数满足条件，对于，存在唯一的，使得，当成立时，则实数__________．
【答案】
【解析】分析：根据条件得到在和上单调，得到的关系式，进而即可求解.
详解：若对于，存在唯一的，使得，
所以函数在和上单调，
则且，
由，得，即，
解得，所以.
点睛：本题主要考查了分段函数的应用，以及函数的单调性的应用，其中根据题得出函数为单调函数，求得的关系式是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与论证能力，属于中档试题.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17. 在中，内角，，的对边分别为，，，且，，.
（Ⅰ）求及边的值；
（Ⅱ）求的值.
【答案】(1)，或；(2).
【解析】分析：（1）根据正弦定理和二倍角公式，求得，在利用余弦定理求得边长的值；
（2）由二倍角公式求得，再利用三角恒等变换求得的值.
详解：（Ⅰ）中，，，
∴，又，∴，，
解得；
又，，
，解得或；
（Ⅱ）∵，∴，
∴；
∴ .
点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.
18. 已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，，，分别是，的中点.
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】分析：解法一：依题意可知两两垂直，以点为原点建立空间直角坐标系，
（1）利用直线的方向向量和平面的法向量垂直，即可证得线面平面；
（2）求出两个平面的法向量，利用两个向量的夹角公式，即可求解二面角的余弦值.
解法二：利用空间几何体的点线面位置关系的判定定理和二面角的定义求解：
（1）设的中点为，连接，证明四边形为平行四边形，得出线线平行，利用线面平行的判定定理即可证得线面平面；
（2）以及二面角的平面角，在直角三角形中求出其平面角的余弦值，即可得到二面角的余弦值.
详解：解法一：依条件可知、、两两垂直，
如图，以点为原点建立空间直角坐标系.
根据条件容易求出如下各点坐标：，，，，，，，.
（Ⅰ）证明：∵，，
是平面的一个法向量，且，
所以.
又∵平面，∴平面；
（Ⅱ）设是平面的法向量，
因为，，
由，得.
解得平面的一个法向量，
由已知，平面的一个法向量为，
，
∴二面角的余弦值是.
解法二：
（Ⅰ）证明：设的中点为，连接，，
∵，分别是，的中点，∴，
又∵，，
∴，∴四边形是平行四边形，
∴，∵平面，平面，
∴平面；
（Ⅱ）如图，设的中点为，连接，
∴，∵底面，∵，，∴，，
∴，∴底面，
在平面内，过点做，垂足为，
连接，，，，
∴平面，则，
∴是二面角的平面角，
∵，由，得，
所以，所以，
∴二面角的余弦值是.
点睛：本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
19. 已知椭圆：的左焦点，左顶点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知，是椭圆上的两点，，是椭圆上位于直线两侧的动点.若，试问直线的斜率是否为定值？请说明理由.
【答案】(1);(2).
【解析】分析：（Ⅰ）根据条件依次求得，和，从而可得方程；
（Ⅱ）当∠APQ=∠BPQ，则PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为-k，PA的直线方程为y-3=k（x-2），PB的直线方程为y-9=-k（x-2），由此利用韦达定理结合已知条件能求出AB的斜率为定值.
详解：（Ⅰ）由题意可得，，由，得
所以椭圆的方程为.
（Ⅱ）当时，，的斜率之和为，设直线的斜率为，则直线的斜率为，设 ，的方程为.
联立消得
.
所以
同理
所以，.
所以.
所以的斜率为定值
点睛：本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常利用
的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.
20. 某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的统计结果如下：
日销售量
1
1.5
2
天数
10
25
15
频率
0.2
若以上表中频率作为概率，且每天的销售量相互独立.
（Ⅰ）求5天中该种商品恰好有两天的销售量为1.5吨的概率；
（Ⅱ）已知每吨该商品的销售利润为2千元，表示该种商品某两天销售利润的和（单位：千元），求的分布列和数学期望.
【答案】(1)0.3125;(2)见解析.
【解析】试题分析：（1） 销售量为吨的概率
；（2）的可能取值为 ，
，可列出分
布列，并求出期望.
试题解析： （1），
依题意，随机选取一天，销售量为吨的概率，
设天中该种商品有天的销售量为吨，则，
（2）的可能取值为，
则：，
，
所以的分布列为：
的数学期望
考点：1、频率与概率；2、分布列；3、数学期望.
21. 已知函数.
（1）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；
（2）若函数在上存在两个极值点，，且，证明：.
【答案】(1);(2)见解析.
【解析】分析：（1）由题意得出在定义域上恒成立，即，
设，则，由此利用导数求得函数单调性与最值，即可求解；
（2）由（1）知，由函数在上存在两个极值点，，推导出∴ ，设，则，要证，只需证，构造函数，利用导数求得函数的单调性与最值，即可作出求解.
详解：（1）∵在上是减函数，
∴在定义域上恒成立，
∴，
设，则，
由，得，由，得，
∴函数在上递增，在上递减，
∴，∴.
故实数的取值范围是.
证明：（2）由（1）知，
∵函数在上存在两个极值点，，且，
∴，
则，∴，
∴ ，
设，则，
要证，
只需证，只需证，只需证，
构造函数，则，
∴在上递增，
∴，即，
∴.
点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.
（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. [选修4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中，以为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为：（为参数），两曲线相交于，两点.
（Ⅰ）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；
（Ⅱ）若，求的值.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】试题分析：
(1)由题意转化方程可得曲线的直角坐标方程和直线的普通方程分别为：,；
(2)由题意结合弦长公式可得的值是.
试题解析：
（1）曲线 直线
（2）可知在直线上，将代入得
设对应的参数分别为，可得，
∴.
23. [选修4-5：不等式选讲]
已知函数的最大值为.
（1）求的值；
（2）若，，求的最大值.
【答案】(1)2;(2)2.
【解析】试题分析：（1）根据绝对值定义，将函数化为分段函数形式，分别求各段最大值，最后取各段最大值的最大者为的值；（2）利用基本不等式得，即得的最大值.
试题解析：（1）由于由函数的图象可知.
（2）由已知,有，
因为(当时取等号)，(当时取等号)，
所以，即，
故的最大值为2.
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