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茶陵三中2019届高三第4次月考数学试题 (文科）
一、 选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合( )
A．[1，2] B．(－1，3) C．{1} D．{l，2}
2.如果复数（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于( )
A．－6 B． C． D．2
3.实数x，y满足，且，则z的最大值为（ ）
A. －7 B. －1 C.5 D.7
4.某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，
下列说法中错误的是( )
A.2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的
变化率相同
B.支出最高值与支出最低值的比是6:1
C.第三季度平均收入为50万元
D.利润最高的月份是2月份
5.《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作．书中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内投豆子，则落在其内切圆内的概率是( )
A. B. C. D.
6.如图所示的程序框图是为了求出满足的
最小偶数，那么在空白框中填入及最后输出
的值分别是（ ）
A.和6 B.和6
C.和8 D.和8
7.过双曲线(a＞0，b＞0)的左焦点F1(－1,0)作x轴的垂线，垂线与双曲线交于A，B两点，O为坐标原点，若△AOB的面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．4 C．3 D．2
8.已知侧棱长为的正四棱锥P—ABCD的五个顶点都在同一个球面上，且球心O在底面正方形ABCD上，则球O的表面积为（ ）
A.4π B. 3π C. 2π D. π
9.函数的部分图象大致是（ ）
10.若抛物线x2=y在x=1处的切线的倾斜角为θ，则sin2θ=（ ）
A． B． C. D．
11.将函数（）的图象按向量平移后所得的图象关于点中心对称，则的值可能为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
12.已知函数，若函数有个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，将答案填在题中的横线上）
13.已知向量，，若向量与垂直，则m= ．
14.已知等差数列{an}中，a3+a7=16，S10=85，则等差数列{an}公差为 ．
16.定义在R上的函数f（x），如果存在函数g（x）=ax+b（a，b为常数），使得f（x）≥
g（x）对一切实数x都成立，则称g（x）为函数f（x）的一个承托函数．给出如下命题：
①函数g（x）=﹣2是函数f（x）=的一个承托函数；
②函数g（x）=x﹣1是函数f（x）=x+sinx的一个承托函数；
③若函数g（x）=ax是函数f（x）=ex的一个承托函数，则a的取值范围是[0，e]；
④值域是R的函数f（x）不存在承托函数；
其中，所有正确命题的序号是 ．
三、解答题 （本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
（一）必考题：共60分
17.若数列的前项和满足.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)设，求数列的前项和.
18.如图1，是边长为3的等边三角形，在边上，在边上，且.将沿直线折起，得四棱锥，如图2.
（1）求证：；
（2）若平面底面，
求三棱锥的体积.
19.某高三理科班共有60名同学参加某次考试，从中随机挑选出5名同学，他们的数学成绩x与物理成绩y如下表：
数学成绩x
145
130
120
105
100
物理成绩y
110
90
102
78
70
数据表明y与x之间有较强的线性关系.
（1）求y关于x的线性回归方程；
（2）该班一名同学的数学成绩为110分，利用（1）中的回归方程，估计该同学的物理成绩；
（3）本次考试中，规定数学成绩达到125分为优秀，物理成绩达到100分为优秀.若该班数学优秀率与物理优秀率分别为50%和60%，且除去抽走的5名同学外，剩下的同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有5人.能否在犯错误概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关？
参考数据:回归直线的系数，.
，.
20.已知圆E：x2+（y﹣）2=经过椭圆C：（a＞b＞0）的左右焦点F1，F2，且与椭圆C在第一象限的交点为A，且F1，E，A三点共线，直线l交椭圆C于M，N两点，且=λ（λ≠0）
（1）求椭圆C的方程；
（2）当三角形AMN的面积取得最大值时，求直线l的方程．
（1）若函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，求实数a的最小值；
（2）若存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的取值范围．
(二)选考题：共10分
22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=8cos（θ﹣）．
（1）求曲线C2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；
（2）若曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求|AB|的最大值和最小值．
2019届高三第一次联考文科数学试题答案
一、选择题：1--5 ACCDB 6--10 DDADA 11--12 CA
二、填空题
13.1 14.1 15.4 16.②③
三、解答题
17.(1) 当时，，解得……1分
当时，由题意，
，即……3分
所以，即
数列是首项为，公比为2的等比数列……6分
(2)由（1），，所以……8分
……10分
……12分
18.（1）在图1中，由题意知，
在中，由余弦定理知
所以，
所以……3分
在沿直线折起的过程中，与的垂直关系不变，
故在图2中有
又，所以平面，所以.……5分
（2）如图2，因为平面底面，
由（1）知，且平面底面，
所以底面，
所以为三棱锥的高，且……8分
又因为在图1中，
……10分
所以
故三棱锥的体积为.……12分
19.(（1）由题意可知，故.……3分
，故回归方程为.……4分
（2）将代入上述方程，得. ……6分
（3）由题意可知，该班数学优秀人数及物理优秀人数分别为30,36.
抽出的5人中，数学优秀但物理不优秀的共1人，
故全班数学优秀但物理不优秀的人共6人.……8分
于是可以得到列联表为：
……10分
于是，
因此在犯错误概率不超过0.01的前提下，可以认为数学优秀与物理优秀有关.……12分
20.解：（1）如图圆E经过椭圆C的左右焦点F1，F2，
∴c2+（0﹣）2=，解得c=，.……1分
∵F1，E，A三点共线，∴F1A为圆E的直径，则|AF1|=3，
∴AF2⊥F1F2，∴=﹣=9﹣8=1，
∵2a=|AF1|+|AF2|=3+1=4，∴a=2.……3分
由a2=b2+c2得，b=，
∴椭圆C的方程是；.……5分
（2）由（1）得点A的坐标（，1），
∵（λ≠0），∴直线l的斜率为kOA=，.……6分
则设直线l的方程为y=x+m，设M（x1，y1），N（x2，y2），
由得，，
∴x1+x2=，x1x2=m2﹣2，
且△=2m2﹣4m2+8＞0，解得﹣2＜m＜2，.……8分
∴|MN|=|x2﹣x1|=
==，.
∵点A到直线l的距离d==，……10分
∴△AMN的面积S==
=≤=，
当且仅当4﹣m2=m2，即m=，直线l的方程为．……12分
21.解：（Ⅰ）由已知得f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），
∵f（x）在（1，+∞）上为减函数，
∴f′（x）=﹣a+≤0在（1，+∞）上恒成立，
﹣a≤﹣=（﹣）2﹣，……2分
令g（x）=（﹣）2﹣，
故当=，即x=e2时，
g（x）的最小值为﹣，∴﹣a≤﹣，即a≥
∴a的最小值为．……4分
（Ⅱ）命题“若存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立”，
等价于“当x∈[e，e2]时，有f（x）min≤f′（x）max+a”，……6分
由（Ⅰ）知，当x∈[e，e2]时，lnx∈[1，2]，∈[，1]，
f′（x）=﹣a+=﹣（﹣）2+﹣a，
f′（x）max+a=，
问题等价于：“当x∈[e，e2]时，有f（x）min≤”，……8分
①当﹣a≤﹣，即a时，由（Ⅰ），f（x）在[e，e2]上为减函数，
则f（x）min=f（e2）=﹣ae2+≤，∴﹣a≤﹣，
∴a≥﹣．……10分
②当﹣＜﹣a＜0，即0＜a＜时，∵x∈[e，e2]，∴lnx∈[，1]，
∵f′（x）=﹣a+，由复合函数的单调性知f′（x）在[e，e2]上为增函数，
∴存在唯一x0∈（e，e2），使f′（x0）=0且满足：
f（x）min=f（x0）=﹣ax0+，
要使f（x）min≤，∴﹣a≤﹣＜﹣=﹣，
与﹣＜﹣a＜0矛盾，∴﹣＜﹣a＜0不合题意．
综上，实数a的取值范围为[﹣，+∞）．……12分
(二)选考题：共10分
22.解：（1）对于曲线C2有，即，
因此曲线C2的直角坐标方程为，其表示一个圆．……4分
（2）联立曲线C1与曲线C2的方程可得：，
∴t1+t2=2sinα，t1t2=﹣13……7分
，
因此sinα=0，|AB|的最小值为，sinα=±1，最大值为8．……10分
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