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茶陵三中2019届高三第4次月考试题
数学（理科）
考试时量：120分钟；总分：150分
注意事项：
1．请在答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题仅有一个答案是正确的）
1. 已知全集， 集合， ， 则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知 （ 为虚数单位) ，则复数 的虚部为（ ）
A. B. 1 C. D. 2
3．下列命题中正确的是（ ）
A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题
B．“a＞0，b＞0”是“”的充要条件
C．命题“x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2﹣3 x + 2 ≠0”
D．命题p：，使得x2+ x﹣1＜ 0，则￢p：，使得x2 + x ﹣1≥ 0
4. 已知F1 ， F2是双曲线E： 的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，
且sin∠MF2F1= ，则E的离心率为（ ）
A. B. C. D. 2
5. 设等差数列的前 项和为，且， ，则满足 的最大自然数 为（ ）
A. 12 B. 13 C. 22 D. 23
X
Y
A
X
y
B
X
y
C
X
y
D
6. 函数（其中 为自然对数的底数）图象的大致形状是（ ） X
Y
A
X
y
B
X
y
C
X
y
D
X
Y
A
X
y
B
X
y
C
X
y
D
7. 已知抛物线的焦点为 ，准线为 ，且 过点， 在抛物线上，
若点 ，则的最小值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
8. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）
A. B.
C. D.
9. 某班上午有五节课，分别安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课．要求语文与化学相邻，
数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课方法的种数是（ ）
A. 16 B. 24 C. 8 D. 12
10. 函数 （ ）的图象恒过定点 ，若点 在直线 上，其中 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
11. 已知数列的前n项和为 ，且满足 ， ， ，记 ，数列 的前 n 项和为 ，若对 ， 恒成立，
则k 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
12. 已知四面体 AB CD 的外接球球心O恰好在棱AD上，且 ， ，，
则这个四面体的体积为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13. 若 满足不等式 , 则 的最大值为________.
14. 已知向量与的夹角为 ， ， ，则 ________.
15. 已知函数，，若存在常数，对，唯一的，使得，则称常数是函数在上的“几何平均数”.
已知函数，，则在上的“几何平均数”是 ．
16. 已知函数，函数
有三个零点，则实数 的取值范围为________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题需要写出必要的解答过程）
17. （本小题满分12分）
设 的内角 的对边分别为a,b,c 且 .
（1）求角 B 的大小;
（2）若 ， , 求边 a和 c 的值.
18. （本小题满分12分）
某数学老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如下表：记成绩不低于70分者为“成绩优良”．
分数
[50,59)
[60,69)
[70,79)
[80,89)
[90,100]
甲班频数
5
6
4
4
1
乙班频数
1
3
6
5
5
（1）由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断“成绩优良与教学方式是否有关”?
甲班
乙班
总计
成绩优良
成绩不优良
总计
（2）甲乙两班成绩未达优良的同学共15位，老师现从中任意抽取3人进行谈话，以便了解学习情况．在这3人中，记乙班成绩不优良的人数为 ，求 的分布列及数学期望．
附： ． 临界值表如下：
0.010
19.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形， ， ，
D
Q
P
C
B
A
且 .
（1）证明： ；
（2）若 为 的中点，且 ，
求二面角 的大小.
20 . （本小题满分12分）
已知椭圆 : () , 过点，离心率为 .
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ） ， 是过点 且互相垂直的两条直线，其中 交圆 于 ， 两点，
交椭圆 于另一个点 ，求面积取得最大值时直线 的方程.
21. （本小题满分12分）
已知函数，曲线在x = 1处的切线方程为。
（1）求a 和b的值；
（2）求函数在上的最大值；
（3）证明：当x > 0时，.
22. （本小题满分10分）
在直角坐标系中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）.在以坐标原点为极点，
轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线 的极坐标方程为 ，其中 .
（Ⅰ）求 的极坐标方程；
（Ⅱ）若 与 交于不同两点A和B ，且 ，求 的最大值.
2019届高三第一次联考
数学（理科）参考答案
一、单选题(每小题5分，共60分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
D
D
A
C
B
B
C
A
B
A
D
11.【答案】A
【解答】由 ，得 ，两式作差得 又 ， ，可求得a3=4,所以数列 是等比数列，且 ，代入 ，所以
而 恒成立，所以 ，故选A
【分析】,得到两式子一减得到,进而求出的通项，将其通项代入,裂项得到，求其前n项和可以采用裂项相消法，最后便可以计算出k的范围。
12.【答案】D
【解答】∵ ，AC = 2，
∴AB 2 + BC 2 = AC 2 ，
∴AB⊥BC ，
∴△ABC外接圆的直径为AC, 圆心O′为AC的中点
∵球心O恰好在侧棱DA上,
∴ ，又外接球球心O恰好在棱AD上，所以O为AD中点，所以//BC.
即 ， ，
四面体的体积为 .
故答案为：D.
【分析】 由数据得到AB⊥BC,则直角△ABC外接圆的直径为AC,圆心O′为AC的中点,
得到DC ⊥面A B C ,再由体积公式求体积.
二、填空题(每小题5分，共20分）
13.【答案】 14.【答案】6
15.【答案】 16.【答案】
16.【解答】由题得 有三个零点，
所以 有三个零点，
所以函数h(x)的图像就是坐标系中的粗线部分，
y=a(x-2)表示过定点（2,0）的直线，所以直线和粗线有三个交点.
所以
由题得, .
所以,
所以a的取值范围为 .
【分析】本题的突破口是研研究结构特征，从而将g(x)=0的零点问题转化为,于是可以通过作图加以研究解决。
三、解答题（本大题共6小题，共70分)
17.【解答】（1）解:bsinA= acosB,由正弦定理可得 .................2分
即得 >0.....................................................................................................................4分
,................................................................................5分
..........................................................................................................................................6分..
（2）解:sinC =2sinA,由正弦定理得c=2a,...............................................................................8分
由余弦定理 ,
,
解得 ...............................................................................10分
................................................................................12分
【分析】（1）利用正弦定理边化角，得B角的正切，求得B.
（2）利用正弦定理角化边，再用余弦定理解得a和c.
18.【解答】（1）解：根据题意得2×2列联表如下：
甲班
乙班
总计
成绩优良
9
16
25
成绩不优良
11
4
15
总计
20
20
40
..........................2分
根据2×2列联表中的数据，得 的观测值为
，.......................................................4分
在犯错概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”.............6分
（2） 由题可知 的可能取值为0,1,2,3．.......................................................................7分
； ；
； ．
的分布列为：
X
0
1
2
3
P
..............................................10分
所以 ...............................................12分
【分析】 （1）将列联表填写完整，结合K2的计算公式，计算结果，即可得出答案。
（2）分别计算出X=0，1，2，3的概率，列出分布列，计算期望，即可得出答案。
19. 【解答】（1）证明：∵ ，
∴ ，
，
∴ ........................................................1分
又∵ 底面 ，
∴ ........................................................2分
∵ ，
∴ 平面 .............................................3分
平面 ，.......................................4分
∴平面 平面 ...................................5分
（2）解：由（1）知，DA,DB,DP两两垂直 ，分别以 ， ， 为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系 ，
如图所示，设AD=1得AB=2, ，令 ，
则 ， ， ， ， ，...............6分
∴ .
∴ ，∴ .....................................................................7分
故 ， .................................................8分
设平面 的法向量为 ，
则 ，
令 ，得，即 ..........................................................9分
易知平面 的一个法向量为 ，........................................10分
则 .............................................................11分
∴二面角 的大小为 . ............................................................12分
【分析】（1）根据勾股定理得出BC⊥BD，结合PD⊥BC可得BC⊥平面PBD，利用平面与平面垂直的判定得出平面PBD⊥平面PBC；
（2）建立坐标系，求出平面QBD和平面BCD的法向量，用空间向量求平面间的夹角，得出二面角的大小．
（注：由于命题出现失误，此题第2问存在问题，应该没有固定结果，为使评价近似合理，建议阅卷作如下标准记分：学生采用“设AD=1”方法所得出参考答案中结果的记满分，学生采用设其他具体数据算出余弦值或角度的记满分，如果学生考虑周密认为只能设AD为字母参数而算不出结果也得满分。命题组给大家带来麻烦还敬请谅解）
19. 【解答】解：（1）由题意得 .........................................2分
解得 ........................................4分
所以椭圆方程为 .........................5分
方法二：由得....................................1分
.....................................................................................2分
由椭圆经过点P（0，2））得...................................3分
所以......................................................................................4分
所以椭圆方程为 ..................................................5分
（2）由题知直线 的斜率存在，不妨设为 ，则 ： . ........................6分
若 时，直线 的方程为 ， 的方程为 ，易求得 ，
，此时 . .......................................7分
若 时，则直线 ： .
圆心 到直线 的距离为 .
直线 被圆 截得的弦长为
. ......................................8分
.由 ，
得 ，
故 . ......................................9分
所以
. ......................................10分
当 时上式等号成立. .....................................11分
因为 ，
所以 面积取得最大值时直线 的方程应该是 .....................................12分
【分析】（1）结合椭圆的基本性质列方程，即可得出答案。（2）分k=0和k不为0两种情况讨论，结合直线l1的方程和圆方程，用k表示|AB|的长，结合直线l2和椭圆方程，利用所截的弦长为,表示线段PD，结合三角形面积计算公式，即可得出答案。
21 【解答】解：（1），.................................1分
由题设得，，，...........2分
解得，． ................................3分
（2） 法1：由（1）知，，.........4分
因为当时，所以当时，
，
故在上单调递增，.................................5分
所以．................................6分
法2：由（1）知，，.........4分
在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以在上单调递增，...........................5分
所以，． ...........................6分
（3） 因为，又由（2）知，过点，
且在处的切线方程为，
故可猜测：当时，的图象恒在切线的上方．........7分
下证：当时，．
设，则，
由（2）知，在上单调递减，在上单调递增，
又，
所以存在，使得
所以当时，；当，，
故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
又（当且仅当时取等号）
故.............................10分
因为当时，故当时，
当且仅当时取等号， 所以当时．
即，所以，
即成立（当时等号成立）． ……12分
22【答案】解：（Ⅰ）消去参数 得到 的普通方程为..........................2分
再将， 代入 的普通方程中，得到 的极坐标方程为 ．.....................................................................4分
（Ⅱ）将 代入 ，
得 .....................................................................6分
令 ，得 ，
已知 ，解得 ......................................................................7分
设 ，则
，
则 ............................................8分
所以 ......................9分
又 ，所以当
即 时 的最大值为 ．...............................................10分
【解析】（1）将参数方程化成普通方程，再利用代入，化简，即可得出答案;
（2）把题目所求的式子转化成三角函数的形式，再求三角表达式的最大值，即可得出答案。
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