2018年内蒙古鄂尔多斯市东胜区中考数学模拟试卷（3月份）
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．﹣的相反数的倒数是（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 016 D．﹣2 016
2．下列计算正确的是（ ）
A．﹣5x﹣2x=﹣3x B．（a+3）2=a2+9
C．（﹣a3）2=a5 D．a2p÷a﹣p=a3p
3．据报道，今年底我国高速公路通车里程将达到5.3万千米左右，将5.3万用科学记数法表示为（ ）
A．0.53×105 B．5.3×104 C．5.3×105 D．53×103
4．在一次中学生田径运动会上，参加跳远的15名运动员的成绩如下表所示
成绩（米）
4.50
4.60
4.65
4.70
4.75
4.80
人数
2
3
2
3
4
1
则这些运动员成绩的中位数、众数分别是（ ）
A．4.65、4.70 B．4.65、4.75 C．4.70、4.75 D．4.70、4.70
5．如图是某几何体的三视图，则该几何体的全面积等于（ ）
A．112 B．136 C．124 D．84
6．用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD，以下四个作图中，作法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BCD=30°，OA=2，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C．π D．2π
8．如图，△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，D、E分别是AC、AB的中点，则以DE为直径的圆与BC的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定
9．下列四个命题中，真命题是（ ）
A．相等的圆心角所对的两条弦相等
B．圆既是中心对称图形也是轴对称图形
C．平分弦的直径一定垂直于这条弦
D．相切两圆的圆心距等于这两圆的半径之和
10．已知：如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一个动点（A、C除外），作PE⊥AB于点E，作PF⊥BC于点F，设正方形ABCD的边长为x，矩形PEBF的周长为y，在下列图象中，大致表示y与x之间的函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．已知式子有意义，则x的取值范围是
12．小菲受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量筒和体积相同的小球进行了如下操作，请根据图中给出的信息，量筒中至少放入 小球时有水溢出．
13．如图，用黑白两种颜色的纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成如图图案，则第4个图案中有 白色纸片，第n个图案中有 个白色纸片．
14．如图，测量河宽AB（假设河的两岸平行），在C点测得∠ACB=30°，D点测得∠ADB=60°，又CD=60m，则河宽AB为 m（结果保留根号）．
15．已知一个直角三角形斜边上的中线长为6cm，那么这个直角三角形的斜边长为 cm．
16．如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=4，则△CEF的周长为 ．
三．解答题（共8小题，满分61分）
17．（13分）（1）计算：（3﹣π）0+（﹣）﹣2+﹣2|sin45°﹣1|；
（2）先化简，再求值：，其中实数m使关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m=0有两个相等的实数根．
18．（7分）“机动车行驶到斑马线要礼让行人”等交通法规实施后，某校数学课外实践小组就对这些交通法规的了解情况在全校随机调查了部分学生，调查结果分为四种：A．非常了解，B．比较了解，C．基本了解，D．不太了解，实践小组把此次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图．
请结合图中所给信息解答下列问题：
（1）本次共调查 名学生；扇形统计图中C所对应扇形的圆心角度数是 ；
（2）补全条形统计图；
（3）该校共有800名学生，根据以上信息，请你估计全校学生中对这些交通法规“非常了解”的有多少名？
（4）通过此次调查，数学课外实践小组的学生对交通法规有了更多的认识，学校准备从组内的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两名学生参加市区交通法规竞赛，请用列表或画树状图的方法求甲和乙两名学生同时被选中的概率．
19．（6分）如图，平面直角坐标系中，已知A（4，a），B（﹣2，﹣4）是一次函数y=k1x+b的图象和反比例函数y=﹣的图象的交点．
（1）求反比例函数和直线AB的解折式；
（2）将直线OA沿y轴向下平移m个单位后，得到直线l，设直线l与直线AB的交点为P，若S△OAP=2S△OAB，求m的值．
20．（7分）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E在AC上（且不与点A、C重合），在△ABC的外部作等腰Rt△CED，使∠CED=90°，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．
（1）求证：△AEF是等腰直角三角形；
（2）如图2，将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，连接AE，求证：AF=AE；
（3）如图3，将△CED绕点C继续逆时针旋转，当平行四边形ABFD为菱形，且△CED在△ABC的下方时，若AB=2，CE=2，求线段AE的长．
21．（9分）2016年12月29日至31日，黔南州第十届旅游产业发展大会在“中国长寿之乡”﹣﹣罗甸县举行，从中寻找到商机的人不断涌现，促成了罗甸农民工返乡创业热潮．某“火龙果”经营户有A、B两种“火龙果”促销，若买2件A种“火龙果”和1件B种“火龙果”，共需120元；若买3件A种“火龙果”和2件B种“火龙果”，共需205元．
（1）设A，B两种“火龙果”每件售价分别为a元、b元，求a、b的值；
（2）B种“火龙果”每件的成本是40元，根据市场调查：若按（1）中求出的单价销售，该“火龙果”经营户每天销售B种“火龙果”100件；若销售单价每上涨1元，B种“火龙果”每天的销售量就减少5件．
①求每天B种“火龙果”的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系？
②求销售单价为多少元时，B种“火龙果”每天的销售利润最大，最大利润是多少？
22．（9分）如图，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交AB于点F．
（1）求证：AE为⊙O的切线；
（2）当BC=4，AC=6时，求⊙O的半径；
（3）在（2）的条件下，求线段BG的长．
23．（10分）如图，C、D是以AB为直径的⊙O上的点， =，弦CD交AB于点E．
（1）当PB是⊙O的切线时，求证：∠PBD=∠DAB；
（2）求证：BC2﹣CE2=CE•DE；
（3）已知OA=4，E是半径OA的中点，求线段DE的长．
24．如图，在平面直角坐标系中，A是抛物线y=x2上的一个动点，且点A在第一象限内．AE⊥y轴于点E，点B坐标为（0，2），直线AB交x轴于点C，点D与点C关于y轴对称，直线DE与AB相交于点F，连结BD．设线段AE的长为m，△BED的面积为S．
（1）当m=时，求S的值．
（2）求S关于m（m≠2）的函数解析式．
（3）①若S=时，求的值；
②当m＞2时，设=k，猜想k与m的数量关系并证明．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【分析】先写出﹣的相反数，再根据倒数的定义，计算出结果．
【解答】解：∵﹣的相反数是，
1÷=2016
∴﹣的相反数的倒数是2016．
故选：C．
【点评】本题考查了相反数和倒数．注意0的相反数是0，0没有倒数，倒数是它本身的数是±1．
2．【分析】直接利用合并同类项法则以及完全平方公式和整式的乘除运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：A、﹣5x﹣2x=﹣7x，故此选项错误；
B、（a+3）2=a2+6a+9，故此选项错误；
C、（﹣a3）2=a6，故此选项错误；
D、a2p÷a﹣p=a3p，正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了合并同类项以及完全平方公式和整式的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键．
3．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将5.3万这个数用科学记数法表示为5.3×104．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜
10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．【分析】根据中位数、众数的定义即可解决问题．
【解答】解：这些运动员成绩的中位数、众数分别是4.70，4.75．
故选：C．
【点评】本题考查中位数、众数的定义，解题的关键是记住中位数、众数的定义，属于中考基础题．
5．【分析】由三视图可知该几何体是一个三棱柱，先根据勾股定理得到主视图三角形等边的长，再根据三棱柱的全面积=2个底面积+3个侧面积，列式计算即可求解．
【解答】解：如图：
由勾股定理=3，
3×2=6，
6×4÷2×2+5×7×2+6×7
=24+70+42
=136．
故选：B．
【点评】考查了由三视图判断几何体，由三视图求几何体的表面积，关键是由三视图得到数据的对应量．
6．【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线作图即可求解．
【解答】解：A、根据垂径定理作图的方法可知，CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，不符合题意；
B、根据直径所对的圆周角是直角的方法可知，CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，不符合题意；
C、根据相交两圆的公共弦的性质可知，CD是Rt△
ABC斜边AB上的高线，不符合题意；
D、无法证明CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了作图﹣基本作图，关键是熟练掌握作过直线外一点作已知直线的垂线的方法．
7．【分析】根据圆周角定理可以求得∠BOD的度数，然后根据扇形面积公式即可解答本题．
【解答】解：∵∠BCD=30°，
∴∠BOD=60°，
∵AB是⊙O的直径，CD是弦，OA=2，
∴阴影部分的面积是： =，
故选：B．
【点评】本题考查扇形面积的计算、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
8．【分析】首先过点A作AM⊥BC，根据三角形面积求出AM的长，进而得出直线BC与DE的距离，进而得出直线与圆的位置关系．
【解答】解：过点A作AM⊥BC于点M，交DE于点N，
∴AM×BC=AC×AB，
∴AM==，
∵D、E分别是AC、AB的中点，
∴DE∥BC，DE=BC=2.5，
∴AN=MN=AM，
∴MN=1.2，
∵以DE为直径的圆半径为1.25，
∴r=1.25＞1.2，
∴以DE为直径的圆与BC的位置关系是：相交．
故选：B．
【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，利用中位线定理比较出BC到圆心的距离与半径的关系是解题的关键．
9．【分析】根据轴对称图形、垂径定理、两圆相切的条件等知识一一判断即可；
【解答】解：A、错误．应该是在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的两条弦相等；
B、正确；
C、错误．此弦非直径时，平分弦的直径一定垂直于这条弦；
D、错误．应该是外切两圆的圆心距等于这两圆的半径之和；
故选：B．
【点评】本题考查命题与定理，垂径定理，两圆相切的性质、轴对称图形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10．【分析】根据函数解析式求函数图象．
【解答】解：由题意可得：△APE和△PCF都是等腰直角三角形．
∴AE=PE，PF=CF，那么矩形PEBF的周长等于2个正方形的边长．则y=2x，为正比例函数．
故选：A．
【点评】要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
【解答】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：1﹣x≥0且x+3≠0，
解得：x≤1且x≠﹣3．
故答案为：x≤1且x≠﹣3．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
12．【分析】设放入球后量桶中水面的高度y（cm）与小球个数x（个）之间的一次函数关系式为y=kx+b，由待定系数法就可求出结论；当y＞49时，建立不等式求出其解即可．
【解答】解：设放入球后量桶中水面的高度y（cm）与小球个数x（个）之间的一次函数关系式为y=kx+b，由题意，得：，
解得：，
即y=2x+30；
由2x+30＞49，
得x＞9.5，
即至少放入10个小球时有水溢出．
方法2：由题意可得每添加一个球，水面上升2cm，
设至少放入x个小球时有水溢出，则
2x+30＞49，
解得x＞9.5，
即至少放入10个小球时有水溢出．
故答案为：10．
【点评】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，待定系数法求函数的解析式的运用，列不等式解实际问题的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
13．【分析】观察图形发现：白色纸片在4的基础上，依次多3个；根据其中的规律得出第n个图案中有白色纸片即可．
【解答】解：∵第1个图案中有白色纸片3×1+1=4张
第2个图案中有白色纸片3×2+1=7张，
第3图案中有白色纸片3×3+1=10张，
∴第4个图案中有白色纸片3×4+1=13张
第n个图案中有白色纸片3n+1张，
故答案为：13、3n+1．
【点评】此题主要考查图形的变化规律，此题的关键是注意发现前后图形中的数量之间的关系．
14．【分析】先根据三角形外角的性质求出∠CAD的度数，判断出△ACD的形状，再由锐角三角函数的定义即可求出AB的值．
【解答】解：∵∠ACB=30°，∠ADB=60°，
∴∠CAD=30°，
∴AD=CD=60m，
在Rt△ABD中，
AB=AD•sin∠ADB=60×=30（m）．
故答案为：30．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，涉及到三角形外角的性质、等腰三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值，难度适中．
15．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
【解答】解：∵直角三角形斜边上的中线长为6cm，
∴这个直角三角形的斜边长为12cm．
【点评】此题比较简单，考查的是直角三角形的性质，即直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
16．【分析】本题意在综合考查平行四边形、相似三角形、和勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查．在▱ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分线交BC于点E，可得△ADF是等腰三角形，AD=DF=9；△ADF是等腰三角形，AB=BE=6，所以CF=3；在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG=，可得AG=2，又△ADF是等腰三角形，BG⊥AE，所以AE=2AG=4，所以△ABE的周长等于16，又由▱ABCD可得△CEF∽△BEA，相似比为1：2，所以△CEF的周长为8．
【解答】解：∵在▱ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠BAF=∠DAF，
∵AB∥DF，
∴∠BAF=∠F，
∴∠F=∠DAF，
∴△ADF是等腰三角形，AD=DF=9；
∵AD∥BC，
∴△EFC是等腰三角形，且FC=CE．
∴EC=FC=9﹣6=3，
∴AB=BE．
∴在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG=，
可得：AG=2，
又∵BG⊥AE，
∴AE=2AG=4，
∴△ABE的周长等于16，
又∵▱ABCD，
∴△CEF∽△BEA，相似比为1：2，
∴△CEF的周长为8．
故答案为8．
【点评】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的知识，相似三角形的周长比等于相似比，难度较大．
三．解答题（共8小题，满分61分）
17．【分析】（1）利用零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值进行计算；
（2）先把括号内通分后进行同分母的减法运算，再把除法运算化为乘法运算，接着约分得到原式=，然后根据判别式的意义求出m的值，再把m的值代入原式=中计算即可．
【解答】解：（1）原式=1+9+2﹣2|﹣1）
=10+2+2（﹣1）
=10+2+﹣2
=8+3；
（2）原式=÷
=•
=，
∵一元二次方程x2﹣4x﹣m=0有两个相等的实数根，
∴△=（﹣4）2﹣4（﹣m）=0，
∴m=﹣4，
当m=﹣4时，原式==．
【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．也考查了实数的运算和根的判别式．
18．【分析】（1）由A的人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以C人数所占比例即可得；
（2）总人数乘以D的百分比求得其人数，再根据各类型人数之和等于总人数求得B的人数，据此补全图形即可得；
（3）用总人数乘以样本中A类型的百分比可得；
（4）画树状图列出所有等可能结果，再利用概率公式计算可得．
【解答】解：（1）本次调查的学生总人数为24÷40%=60人，扇形统计图中C所对应扇形的圆心角度数是360°×=90°，
故答案为：60、90°；
（2）D类型人数为60×5%=3，
则B类型人数为60﹣（24+15+3）=18，
补全条形图如下：
（3）估计全校学生中对这些交通法规“非常了解”的有800×40%=320名；
（4）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中甲和乙两名学生同时被选中的结果数为2，
所以甲和乙两名学生同时被选中的概率为=．
【点评】本题主要考查条形统计图以及列表法与树状图法．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，熟知各项目数据个数之和等于总数．当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
19．【分析】（1）把A（4，a），B（﹣2，﹣4）分别代入一次函数y=k1x+b和反比例函数y=﹣，运用待定系数法分别求其解析式；
（2）利用待定系数法求出直线OA的解析式，根据平移的性质得出直线l的解析式．根据S△OAP=2S△OAB，得出B为AP的中点，求出P（﹣8，﹣10）．将P点坐标代入y=x﹣m，即可求出m的值．
【解答】解：（1）将B（﹣2，﹣4）代入y=﹣，
可得﹣=﹣4，
解得k2=﹣8，
∴反比例函数的解折式为y2=，
②当x=4时，y==2，
∴A（4，2），
将A（4，2）、B（﹣2，﹣4）代入y1=kx+b，
可得：，解得，
∴直线AB的解折式为y1=x﹣2；
（2）∵A（4，2），
∴直线OA的解析式为y=x，
∵将直线OA沿y轴向下平移m个单位后，得到直线l，
∴直线l的解析式为y=x﹣m．
∵S△OAP=2S△OAB，
∴B为AP的中点，
∵A（4，2），B（﹣2，﹣4），
∴P（﹣8，﹣10）．
将P（﹣8，﹣10）代入y=x﹣m，
得﹣10=×（﹣8）﹣m，解得m=6．
故所求m的值为6．
【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数图象与几何变换，三角形的面积，难度适中．
20．【分析】（1）依据AE=EF，∠DEC=∠AEF=90°，即可证明△AEF是等腰直角三角形；
（2）连接EF，DF交BC于K，先证明△EKF≌△EDA，再证明△
AEF是等腰直角三角形即可得出结论；
（3）当AD=AC=AB时，四边形ABFD是菱形，先求得EH=DH=CH=，Rt△ACH中，AH=3，即可得到AE=AH+EH=4．
【解答】解：（1）如图1，∵四边形ABFD是平行四边形，
∴AB=DF，
∵AB=AC，
∴AC=DF，
∵DE=EC，
∴AE=EF，
∵∠DEC=∠AEF=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形；
（2）如图2，连接EF，DF交BC于K．
∵四边形ABFD是平行四边形，
∴AB∥DF，
∴∠DKE=∠ABC=45°，
∴∠EKF=180°﹣∠DKE=135°，EK=ED，
∵∠ADE=180°﹣∠EDC=180°﹣45°=135°，
∴∠EKF=∠ADE，
∵∠DKC=∠C，
∴DK=DC，
∵DF=AB=AC，
∴KF=AD，
在△EKF和△EDA中，
，
∴△EKF≌△EDA（SAS），
∴EF=EA，∠KEF=∠AED，
∴∠FEA=∠BED=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AF=AE．
（3）如图3，当AD=AC=AB时，四边形ABFD是菱形，
设AE交CD于H，
依据AD=AC，ED=EC，可得AE垂直平分CD，而CE=2，
∴EH=DH=CH=，
Rt△ACH中，AH==3，
∴AE=AH+EH=4．
【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质、菱形的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，寻找全等的条件是解题的难点．
21．【分析】（1）根据题意列方程组即可得到结论；
（2）①由题意列出y与x之间的关系式即可；
②利用配方法，根据二次函数的性质解答即可；
【解答】解：（1）根据题意得：
，
解得：；
（2）①由题意得：y=（x﹣40）[100﹣5（x﹣50）]
∴y=﹣5x2+550x﹣14000，
②∵y=﹣5x2+550x﹣14000=﹣5（x﹣55）2+1125，]
∴当x=55时，y最大=1125，
∴销售单价为55元时，B商品每天的销售利润最大，最大利润是1125元．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及用配方法求出最大值，准确分析题意，列出y与x之间的二次函数关系式是解题关键．
22．【分析】（1）连接OM，如图1，先证明OM∥BC，再根据等腰三角形的性质判断AE⊥BC，则OM⊥AE，然后根据切线的判定定理得到AE为⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为r，利用等腰三角形的性质得到BE=CE=BC=2，再证明△AOM∽△ABE，则利用相似比得到=，然后解关于r的方程即可；
（3）作OH⊥BE于H，如图，易得四边形OHEM为矩形，则HE=OM=，所以BH=BE﹣HE=，再根据垂径定理得到BH=HG=，所以BG=1．
【解答】（1）证明：连接OM，如图1，
∵BM是∠ABC的平分线，
∴∠OBM=∠CBM，
∵OB=OM，
∴∠OBM=∠OMB，
∴∠CBM=∠OMB，
∴OM∥BC，
∵AB=AC，AE是∠BAC的平分线，
∴AE⊥BC，
∴OM⊥AE，
∴AE为⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为r，
∵AB=AC=6，AE是∠BAC的平分线，
∴BE=CE=BC=2，
∵OM∥BE，
∴△AOM∽△ABE，
∴=，即=，解得r=，
即设⊙O的半径为；
（3）解：作OH⊥BE于H，如图，
∵OM⊥EM，ME⊥BE，
∴四边形OHEM为矩形，
∴HE=OM=，
∴BH=BE﹣HE=2﹣=，
∵OH⊥BG，
∴BH=HG=，
∴BG=2BH=1．
【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、切线的判定和等腰三角形的性质；会运用相似三角形的判定与性质计算线段的进行几何计算．
23．【分析】（1）由AB是⊙O的直径知∠BAD+∠ABD=90°，由PB是⊙O的切线知∠PBD+∠ABD=90°，据此可得答案；
（2）连接OC，设圆的半径为r，则OA=OB=OC=r，证△ADE∽△CBE得DE•CE=AE•BE=r2﹣OE2，由=知∠AOC=∠
BOC=90°，根据勾股定理知CE2=OE2+r2、BC2=2r2，据此得BC2﹣CE2=r2﹣OE2，从而得证；
（3）先求出BC=4、CE=2，根据BC2﹣CE2=CE•DE计算可得．
【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即∠BAD+∠ABD=90°，
∵PB是⊙O的切线，
∴∠ABP=90°，即∠PBD+∠ABD=90°，
∴∠BAD=∠PBD；
（2）∵∠A=∠C、∠AED=∠CEB，
∴△ADE∽△CBE，
∴=，即DE•CE=AE•BE，
如图，连接OC，
设圆的半径为r，则OA=OB=OC=r，
则DE•CE=AE•BE=（OA﹣OE）（OB+OE）=r2﹣OE2，
∵=，
∴∠AOC=∠BOC=90°，
∴CE2=OE2+OC2=OE2+r2，BC2=BO2+CO2=2r2，
则BC2﹣CE2=2r2﹣（OE2+r2）=r2﹣OE2，
∴BC2﹣CE2=DE•CE；
（3）∵OA=4，
∴OB=OC=OA=4，
∴BC==4，
又∵E是半径OA的中点，
∴AE=OE=2，
则CE===2，
∵BC2﹣CE2=DE•CE，
∴（4）2﹣（2）2=DE•2，
解得：DE=．
【点评】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是熟练掌握圆的切线的性质、圆心角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点．
24．【分析】（1）首先可得点A的坐标为（m， m2），继而可得点E的坐标及BE、OE的长度，易得△ABE∽△CBO，利用对应边成比例求出CO，根据轴对称的性质得出DO，继而可求解S的值；
（2）分两种情况讨论，（I）当0＜m＜2时，将BE•DO转化为AE•BO，求解；（II）当m＞2时，由（I）的解法，可得S关于m的函数解析式；
（3）①首先可确定点A的坐标，根据===k，可得S△ADF=k•S△BDF•S△AEF=k•S△BEF，从而可得===k，代入即可得出k的值；
②可得===k，因为点A的坐标为（m， m2），S=m，代入可得k与m的关系．
【解答】解：（1）∵点A在二次函数y=x2的图象上，AE⊥y轴于点E，且AE=m，
∴点A的坐标为（m， m2），
当m=时，点A的坐标为（，1），
∵点B的坐标为（0，2），
∴BE=OE=1．
∵AE⊥y轴，
∴AE∥x轴，
∴△ABE∽△CBO，
∴==，
∴CO=2，
∵点D和点C关于y轴对称，
∴DO=CO=2，
∴S=BE•DO=×1×2=；
（2）（I）当0＜m＜2时（如图1），
∵点D和点C关于y轴对称，
∴△BOD≌△BOC，
∵△BEA∽△BOC，
∴△BEA∽△BOD，
∴=，即BE•DO=AE•BO=2m．
∴S=BE•DO=×2m=m；
（II）当m＞2时（如图2），
同（I）解法得：S=BE•DO=AE•OB=m，
由（I）（II）得，
S关于m的函数解析式为S=m（m＞0且m≠2）．
（3）①如图3，连接AD，
∵△BED的面积为，
∴S=m=，
∴点A的坐标为（，），
∵===k，
∴S△ADF=k•S△BDF，S△AEF=k•S△BEF，
∴===k，
∴k===；
②k与m之间的数量关系为k=m2，
如图4，连接AD，
∵===k，
∴S△ADF=k•S△BDF，S△AEF=k•S△BEF，
∴===k，
∵点A的坐标为（m， m2），S=m，
∴k===m2（m＞2）．
【点评】本题考查了二次函数的综合应用，涉及了三角形的面积、比例的性质及相似三角形的判定与性质、全等三角形的性质，解答本题的关键是熟练数形结合思想及转化思想的运用，难度较大．
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