2018-2019学年广东省广州市越秀区九年级（上）期中数学模拟试卷
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．下面给出的是一些产品的图案，从几何图形的角度看，这些图案既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．点A（a，3）与点B（﹣4，b）关于原点对称，则a+b=（ ）
A．﹣1 B．4 C．﹣4 D．1
3．用配方法方程x2+6x﹣5=0时，变形正确的方程为（ ）
A．（x+3）2=14 B．（x﹣3）2=14 C．（x+6）2=4 D．（x﹣6）2=4
4．若α，β是一元二次方程3x2+2x﹣9=0的两根，则+的值是（ ）
A． B．﹣ C．﹣ D．
5．将抛物线y=x2﹣6x+21向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为（ ）
A．y=（x﹣8）2+5 B．y=（x﹣4）2+5
C．y=（x﹣8）2+3 D．y=（x﹣4）2+3
6．在抛物线y=ax2﹣2ax﹣7上有A（﹣4，y1）、B（2，y2）、C（3，y3）三点，若抛物线开口向下，则y1、y2和y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y1＜y2＜y3
7．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=﹣x2﹣2x+2上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
8．如图，△ABC中，BC=8，AD是中线，将△ADC沿AD折叠至△
ADC′，发现CD与折痕的夹角是60°，则点B到C′的距离是（ ）
A．4 B． C． D．3
9．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，若设个位数字为a，则可列方程为（ ）
A．a2（a﹣4）2=10（a﹣4）+a﹣4
B．a2+（a+4）2=10a+a﹣4﹣4
C．a2+（a+4）2=10（a+4）+a﹣4
D．a2+（a﹣4）2=10a+（a﹣4）﹣4
10．已知两点A（﹣5，y1），B（3，y2）均在抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上，点C（x0，y0）是该抛物线的顶点．若y1＜y2≤y0，则x0的取值范围是（ ）
A．x0＞﹣1 B．x0＞﹣5 C．x0＜﹣1 D．﹣2＜x0＜3
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．若一元二次方程ax2﹣bx﹣2018=0有一个根为x=﹣1，则a+b= ．
12．如图，把△ABC绕C点顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC=90°，则∠A= °．
13．若二次函数y=（2﹣m）x|m|﹣3 的图象开口向下，则m的值为 ．
14．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+3=0有实数根，则实数k的取值范围为 ．
15．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：米）与小球运动时间t（单位：秒）的函数关系式是h=9.8t﹣4.9t2
．若小球的高度为4.9米，则小球的运动时间为 ．
16．如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ABE绕点A顺时针旋转90°后，得到△ACF，连接DF，下列结论中：①∠DAF=45°②△ABE≌△ACD③AD平分∠EDF④BE2+DC2=DE2；正确的有 （填序号）
三．解答题（共9小题，满分74分）
17．解方程：x2﹣4x﹣5=0．
18．如图，画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标．
19．淮北市某中学七年级一位同学不幸得了重病，牵动了全校师生的心，该校开展了“献爱心”捐款活动．第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元．
（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；
（2）按照（1）中收到捐款的增长速度，第四天该校能收到多少捐款？
20．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E，F分别在边AB和BC上，△DCM是由△ADE逆时针旋转得到的图形．
（Ⅰ）旋转中心是点 ．
（Ⅱ）旋转角是 度，∠EDM= 度．
（Ⅲ）若∠EDF=45°，求证△EDF≌△MDF，并求此时△BEF的周长．
21．从甲、乙两题中选做一题．如果两题都做，只以甲题计分．
题甲：若关于x一元二次方程x2﹣2（2﹣k）x+k2+12=0有实数根a，β．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设，求t的最小值．
题乙：如图所示，在矩形ABCD中，P是BC边上一点，连接DP并延长，交AB的延长线于点Q．
（1）若=，求的值；
（2）若点P为BC边上的任意一点，求证：﹣=．
我选做的是 题．
22．小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=﹣10x+500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．
（1）设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．
（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？
（3）如果小明想要每月获得的利润不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？（成本=进价×销售量）
23．（12分）如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点．
（1）抛物线与x轴的交点坐标为 ；
（2）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S△PAB=6，并求出此时P点的坐标．
24．如图所示，已知在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C．A（1，1）、B（3，1）．动点P从O点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过P点作PQ垂直于直线OA，垂足为Q，设P点移动的时间为t秒（0＜t＜4），△OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S．
（1）求经过O、A、B三点的抛物线解析式；
（2）求S与t的函数关系式；
（3）将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°，是否存t，使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
25．已知：二次函数y=ax2﹣2x+c的图象与x于A、B，A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线x=1，平移一个单位后经过坐标原点O
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）直线交y轴于D点，E为抛物线顶点．若∠DBC=α，∠CBE=β，求α﹣β的值；
（3）在（2）问的前提下，P为抛物线对称轴上一点，且满足PA=PC，在y轴右侧的抛物线上是否存在点M，使得△BDM的面积等于PA2？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题
1．下面给出的是一些产品的图案，从几何图形的角度看，这些图案既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形．
故选：C．
2．点A（a，3）与点B（﹣4，b）关于原点对称，则a+b=（ ）
A．﹣1 B．4 C．﹣4 D．1
【解答】解：∵点A（a，3）与点B（﹣4，b）关于原点对称，
∴a=4，b=﹣3，
∴a+b=1，
故选：D．
3．用配方法方程x2+6x﹣5=0时，变形正确的方程为（ ）
A．（x+3）2=14 B．（x﹣3）2=14 C．（x+6）2=4 D．（x﹣6）2=4
【解答】解：方程移项得：x2+6x=5，
配方得：x2+6x+9=14，即（x+3）2=14，
故选：A．
4．若α，β是一元二次方程3x2+2x﹣9=0的两根，则+的值是（ ）
A． B．﹣ C．﹣ D．
【解答】解：∵α、β是一元二次方程3x2+2x﹣9=0的两根，
∴α+β=﹣，αβ=﹣3，
∴+====﹣．
故选：C．
5．将抛物线y=x2﹣6x+21向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为（ ）
A．y=（x﹣8）2+5 B．y=（x﹣4）2+5
C．y=（x﹣8）2+3 D．y=（x﹣4）2+3
【解答】解：y=x2﹣6x+21
=（x2﹣12x）+21
= [（x﹣6）2﹣36]+21
=（x﹣6）2+3，
故y=（x﹣6）2+3，向左平移2个单位后，
得到新抛物线的解析式为：y=（x﹣4）2+3．
故选：D．
6．在抛物线y=ax2﹣2ax﹣7上有A（﹣4，y1）、B（2，y2）、C（3，y3）三点，若抛物线开口向下，则y1、y2和y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y1＜y2＜y3
【解答】解：
∵A（﹣4，y1）、B（2，y2）、C（3，y3）三点在抛物线y=ax2﹣2ax﹣7上，
∴y1=16a+8a﹣7=24a﹣7，y2=4a﹣4a﹣7=﹣7，y3=9a﹣6a﹣7=3a﹣7，
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴24a＜3a＜0，
∴24a﹣7＜3a﹣7＜﹣7，
∴y1＜y3＜y2，
故选：A．
7．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=﹣x2﹣2x+2上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
【解答】解：
∵A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=﹣x2﹣2x+2上的三点，
∴y1=﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+2=2，y2=﹣1﹣2+2=﹣1，y3=﹣22﹣2×2+2=﹣6，
∴y1＞y2＞y3，
故选：A．
8．如图，△ABC中，BC=8，AD是中线，将△ADC沿AD折叠至△ADC′，发现CD与折痕的夹角是60°，则点B到C′的距离是（ ）
A．4 B． C． D．3
【解答】解：∵△ABC中，BC=8，AD是中线，
∴BD=DC=4，
∵将△ADC沿AD折叠至△ADC′，发现CD与折痕的夹角是60°，
∴∠C′DA=∠ADC=60°，DC=DC′，
∴∠C′DB=60°，
∴△BDC′是等边三角形，
∴BC′=BD=DC′=4．
故选：A．
9．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，若设个位数字为a，则可列方程为（ ）
A．a2（a﹣4）2=10（a﹣4）+a﹣4
B．a2+（a+4）2=10a+a﹣4﹣4
C．a2+（a+4）2=10（a+4）+a﹣4
D．a2+（a﹣4）2=10a+（a﹣4）﹣4
【解答】解：依题意得：十位数字为：a+4，这个数为：a+10（x+4）
这两个数的平方和为：a2+（a+4）2，
∵两数相差4，
∴a2+（a+4）2=10（a+4）+a﹣4．
故选：C．
10．已知两点A（﹣5，y1），B（3，y2）均在抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上，点C（x0，y0）是该抛物线的顶点．若y1＜y2≤y0，则x0的取值范围是（ ）
A．x0＞﹣1 B．x0＞﹣5 C．x0＜﹣1 D．﹣2＜x0＜3
【解答】解：∵点C（x0，y0）是该抛物线的顶点．且y1＜y2≤y0，
∴a＜0，x0﹣（﹣5）＞|3﹣x0|，
∴x0＞﹣1．
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．若一元二次方程ax2﹣bx﹣2018=0有一个根为x=﹣1，则a+b= 2018 ．
【解答】解：把x=﹣1代入方程有：
a+b﹣2018=0，
即a+b=2018．
故答案是：2018．
12．如图，把△ABC绕C点顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC=90°，则∠A= 55 °．
【解答】解：∵三角形△ABC绕着点C时针旋转35°，得到△AB′C′
∴∠ACA′=35°，∠A'DC=90°
∴∠A′=55°，
∵∠A的对应角是∠A′，即∠A=∠A′，
∴∠A=55°；
故答案为：55°．
13．若二次函数y=（2﹣m）x|m|﹣3 的图象开口向下，则m的值为 5 ．
【解答】解：
∵y=（2﹣m）x|m|﹣3 是二次函数，
∴|m|﹣3=2，解得m=5或m=﹣5，
∵抛物线图象开口向下，
∴2﹣m＜0，解得m＞2，
∴m=5，
故答案为：5．
14．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+3=0有实数根，则实数k的取值范围为 k≤4且k≠1 ．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+3=0有实数根，
∴，
解得：k≤4且k≠1．
故答案为：k≤4且k≠1．
15．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：米）与小球运动时间t（单位：秒）的函数关系式是h=9.8t﹣4.9t2．若小球的高度为4.9米，则小球的运动时间为 1s ．
【解答】解：由题意知，
小球的高度h与小球运动时间t的函数关系式是：
h=9.8t﹣4.9t2．
令h=4.9，
解得t=1s，
故答案为：1s．
16．如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ABE绕点A顺时针旋转90°后，得到△ACF，连接DF，下列结论中：①∠DAF=45°②△ABE≌△ACD③AD平分∠EDF④BE2+DC2=DE2；正确的有 ①③④ （填序号）
【解答】解：∵在Rt△ABC中，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
①由旋转，可知：∠CAF=∠BAE，
∵∠BAD=90°，∠DAE=45°，
∴∠CAD+∠BAE=45°，
∴∠CAF+∠BAE=∠DAF=45°，故①正确；
②由旋转，可知：△ABE≌△ACF，不能推出△ABE≌△ACD，故②错误；
③∵∠EAD=∠DAF=45°，
∴AD平分∠EAF，故③正确；
④由旋转可知：AE=AF，∠ACF=∠B=45°，
∵∠ACB=45°，
∴∠DCF=90°，
由勾股定理得：CF2+CD2=DF2，
即BE2+DC2=DF2，
在△AED和△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（SAS），
∴DE=DF，
∴BE2+DC2=DE2，
故答案为：①③④．
三．解答题（共9小题，满分74分）
17．（10分）解方程：x2﹣4x﹣5=0．
【解答】解：（x+1）（x﹣5）=0，
则x+1=0或x﹣5=0，
∴x=﹣1或x=5．
18．（9分）如图，画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标．
【解答】解：如图所示，△A1B1C1即为所求，
A1（3，﹣2），B1（2，1），C1（﹣2，﹣3）．
19．（9分）淮北市某中学七年级一位同学不幸得了重病，牵动了全校师生的心，该校开展了“献爱心”捐款活动．第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元．
（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；
（2）按照（1）中收到捐款的增长速度，第四天该校能收到多少捐款？
【解答】解：（1）捐款增长率为x，根据题意得：
10000（1+x）2=12100，
解得：x1=0.1，x2=﹣2.1（舍去）．
则x=0.1=10%．
答：捐款的增长率为10%．
（2）根据题意得：12100×（1+10%）=13310（元），
答：第四天该校能收到的捐款是13310元．
20．（10分）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E，F分别在边AB和BC上，△DCM是由△ADE逆时针旋转得到的图形．
（Ⅰ）旋转中心是点 D ．
（Ⅱ）旋转角是 90 度，∠EDM= 90 度．
（Ⅲ）若∠EDF=45°，求证△EDF≌△MDF，并求此时△BEF的周长．
【解答】解：（Ⅰ）∵△DCM是由△ADE逆时针旋转得到的图形，
∴旋转中心是点D．
故答案为D；
（Ⅱ）∵△DCM是由△ADE逆时针旋转得到的图形，
∴∠ADC=∠EDM=90°
∴旋转角是90度，∠EDM=90度．
故答案为90，90；
（Ⅲ）∵∠EDF=45°，∠EDM=90°，
∴∠MDF=45°．
∵△DCM是由△ADE逆时针旋转得到的图形，
∴△DCM≌△DAE，
∴DM=DE，CM=AE．
在△EDF与△MDF中，
，
∴△EDF≌△MDF，
∴EF=MF=MC+CF，
∴△BEF的周长=BE+EF+BF
=BE+MC+CF+BF
=（BE+AE）+（CF+BF）
=AB+BC
=2．
21．（12分）从甲、乙两题中选做一题．如果两题都做，只以甲题计分．
题甲：若关于x一元二次方程x2﹣2（2﹣k）x+k2+12=0有实数根a，β．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设，求t的最小值．
题乙：如图所示，在矩形ABCD中，P是BC边上一点，连接DP并延长，交AB的延长线于点Q．
（1）若=，求的值；
（2）若点P为BC边上的任意一点，求证：﹣=．
我选做的是 甲 题．
【解答】题甲
解：（1）∵一元二次方程x2﹣2（2﹣k）x+k2+12=0有实数根a，β，
∴△≥0，
即4（2﹣k）2﹣4（k2+12）≥0，
得k≤﹣2．
（2）由根与系数的关系得：a+β=﹣[﹣2（2﹣k）]=4﹣2k，
∴，
∵k≤﹣2，
∴﹣2≤＜0，
∴，
即t的最小值为﹣4．
题乙：
（1）解：∵AB∥CD，∴==，即CD=3BQ，
∴===；
（2）证明：四边形ABCD是矩形
∵AB=CD，AB∥DC
∴△DPC∽△QPB
∴=
﹣=﹣=1+﹣=1
∴﹣=1．
22．（12分）小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=﹣10x+500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．
（1）设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．
（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？
（3）如果小明想要每月获得的利润不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？（成本=进价×销售量）
【解答】解：（1）由题意，得：w=（x﹣20）•y=（x﹣20）•（﹣10x+500）=﹣10x2+700x﹣10000，即w=﹣10x2+700x﹣10000（20≤x≤32）
（2）对于函数w=﹣10x2+700x﹣10000的图象的对称轴是直线．
又∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下．∴当20≤x≤32时，W随着X的增大而增大，
∴当x=32时，W=2160
答：当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元．
（3）取W=2000得，﹣10x2+700x﹣10000=2000
解这个方程得：x1=30，x2=40．
∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下．
∴当30≤x≤40时，w≥2000．
∵20≤x≤32
∴当30≤x≤32时，w≥2000．
设每月的成本为P（元），由题意，得：P=20（﹣10x+500）=﹣200x+10000
∵k=﹣200＜0，
∴P随x的增大而减小．
∴当x=32时，P的值最小，P最小值=3600．
答：想要每月获得的利润不低于2000元，小明每月的成本最少为3600元．
23．（12分）如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点．
（1）抛物线与x轴的交点坐标为 （﹣1，0）或（3，0） ；
（2）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S△PAB=6，并求出此时P点的坐标．
【解答】解：（1）当y=0时，
x2﹣2x﹣3=0，
解得，x1=﹣1，x2=3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）或（3，0），
故答案为：（﹣1，0）或（3，0）；
（2）∵点A（﹣1，0），点B（3，0），y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴此抛物线有最小值，此时y=﹣4，AB=3﹣（﹣1）=4，
∵S△PAB=6，抛物线上有一个动点P，
∴点P的纵坐标的绝对值为：，
∴x2﹣2x﹣3=3或x2﹣2x﹣3=﹣3，
解得，x1=1+，x2=1﹣，x3=0，x4=2，
∴点P的坐标为（1+，3）、（1﹣，3）、（0，﹣3）、（2，﹣3）．
24．如图所示，已知在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C．A（1，1）、B（3，1）．动点P从O点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过P点作PQ垂直于直线OA，垂足为Q，设P点移动的时间为t秒（0＜t＜4），△OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S．
（1）求经过O、A、B三点的抛物线解析式；
（2）求S与t的函数关系式；
（3）将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°，是否存t，使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）解法一：由图象可知：抛物线经过原点，
设抛物线解析式为y=ax2+bx（a≠0）．
把A（1，1），B（3，1）代入上式得，
解得，
∴所求抛物线解析式为y=﹣x2+x；
解法二：∵A（1，1），B（3，1），∴抛物线的对称轴是直线x=2．
设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+h（a≠0），
把O（0，0），A（1，1）代入得
解得∴所求抛物线解析式为：y=﹣（x﹣2）2+．
（2）分三种情况：
①当0＜t≤2，重叠部分的面积是S△OPQ，过点A作AF⊥x轴于点F，
∵A（1，1），在Rt△OAF中，AF=OF=1，∠AOF=45°，
在Rt△OPQ中，OP=t，∠OPQ=∠QOP=45°，
∴PQ=OQ=tcos45°=t，
∴S=（t）2=t2．
②当2＜t≤3，设PQ交AB于点G，
作GH⊥x轴于点H，∠OPQ=∠QOP=45°，则四边形OAGP是等腰梯形，
重叠部分的面积是S梯形OAGP．
∴AG=FH=t﹣2，
∴S=（AG+OP）AF=（t+t﹣2）×1=t﹣1．
③当3＜t＜4，设PQ与AB交于点M，交BC于点N，
重叠部分的面积是S五边形OAMNC．
因为△PNC和△BMN都是等腰直角三角形，
所以重叠部分的面积是S五边形OAMNC=S梯形OABC﹣S△BMN．
∵B（3，1），OP=t，
∴PC=CN=t﹣3，
∴BM=BN=1﹣（t﹣3）=4﹣t，
∴S=（2+3）×1﹣（4﹣t）2 S=﹣t2+4t﹣；
（3）存在t1=1，t2=2．
将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°，此时Q（t+，），O（t，t）
①当点Q在抛物线上时， =×（t+）2+×（t+），解得t=2；
②当点O在抛物线上时，t=﹣t2+t，解得t=1．
25．已知：二次函数y=ax2﹣2x+c的图象与x于A、B，A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线x=1，平移一个单位后经过坐标原点O
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）直线交y轴于D点，E为抛物线顶点．若∠DBC=α，∠CBE=β，求α﹣β的值；
（3）在（2）问的前提下，P为抛物线对称轴上一点，且满足PA=PC，在y轴右侧的抛物线上是否存在点M，使得△BDM的面积等于PA2？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意，A（﹣1，0），
∵对称轴是直线x=1，
∴B（3，0）；（1分）
把A（﹣1，0），B（3，0）分别代入y=ax2﹣2x+c
得；（2分）
解得．
∴这个二次函数的解析式为y=x2﹣2x﹣3．
（2）∵直线与y轴交于D（0，1），
∴OD=1，
由y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4得E（1，﹣4）；
连接CE，过E作EF⊥y轴于F（如图1），则EF=1，
∴OC=OB=3，CF=1=EF，
∴∠OBC=∠OCB=∠45°，
BC==，
；
∴∠BCE=90°=∠BOD，，
，
∴，
∴△BOD∽△BCE，（6分）
∴∠CBE=∠DBO，
∴α﹣β=∠DBC﹣∠CBE=∠DBC﹣∠DBO=∠OBC=45°．（7分）
（3）设P（1，n），
∵PA=PC，
∴PA2=PC2，即（1+1）2+（n﹣0）2=（1+0）2+（n+3）2
解得n=﹣1，
∴PA2=（1+1）2+（﹣1﹣0）2=5，
∴S△EDW=PA2=5；（8分）
法一：设存在符合条件的点M（m，m2﹣2m﹣3），则m＞0，
①当M在直线BD上侧时，连接OM（如图1），
则S△BDM=S△OBM+S△ODM﹣S△BOD=5，
即，
，
整理，得3m2﹣5m﹣22=0，
解得m1=﹣2（舍去），，
把代入y=m2﹣2m﹣3得；
∴；（10分）
②当M在直线BD下侧时，不妨叫M1，连接OM1（如图1），
则S△BDM1=S△BOD+S△BOM1﹣S△DOM1=5，
即，
，
整理，得3m2﹣5m﹣2=0，
解得\，（舍去）
把m=2代入y=m2﹣2m﹣3得y=﹣3，
∴M1（2，﹣3）；
综上所述，存在符合条件的点M，其坐标为或（2，﹣3）．（12分）
法二：设存在符合条件的点M（m，m2﹣2m﹣3），则m＞0，
①当M在直线BD上侧时，过M作MG∥y轴，
交DB于G；（如图2）
设D、B到MG距离分别为h1，h2，则
S△BDM=S△DMG﹣S△BMG=5，
即，
，]
，
整理，得3m2﹣5m﹣22=0；
解得m1=﹣2（舍去），；
把代入y=m2﹣2m﹣3
得；
∴．（10分）
②当M在直线BD下侧时，不妨叫M1，过M1作M1G1∥y轴，交DB于G1（如图2）
设D、B到M1G1距离分别为h1、h2，则S△BDM=S△DM1G1+S△BM1G1=5，
即，
，
，
整理，得3m2﹣5m﹣2=0，
解得，（舍去）
把m=2代入y=m2﹣2m﹣3得y=﹣3，
∴M1（2，﹣3）；
综上所述，存在符合条件的点M，其坐标为或（2，﹣3）．（12分）
法三：①当M在直线BD上侧时，过M作MH∥BD，交y轴于H，连接BH；（如图3）
则S△DHB=S△BDM=5，
即，，
∴DH=，
∴；
∴直线MH解析式为；
联立
得或；
∵M在y轴右侧，
∴M坐标为．（10分）
②当M在直线BD下侧时，不妨叫M1，过M1作M1H1∥BD，交y轴于H1，
连接BH1（如图3），同理可得，
∴，
∴直线M1H1解析式为，
联立
得或；
∵M1在y轴右侧，
∴M1坐标为（2，﹣3）
综上所述，存在符合条件的点M，其坐标为或（2，﹣3）．（12分）
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