2018-2019学年上学期高一第二次月考
数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．圆柱的侧面展开图是边长为2和4的矩形，则圆柱的体积是（ ）
A． B． C． D．或
3．已知两个平面垂直，下列命题：
①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线．
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线．
③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面．
其中错误命题的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
4．如图，是的直观图，其中，那么是（ ）
A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形
5．函数，在上不单调，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．直三棱柱中，若，，则异面直线与所成的角等于（ ）
A． B． C． D．
7．设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
8．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
9．函数的值域为，则实数的范围（ ）
A． B． C． D．
10．某几何体的三视图如右图所示，数量单位为，它的体积是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，平面四边形中，，，，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，若四面体的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
12．如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形为正方形，，，，为全等的等边三角形，、分别为、的中点，在此几何体中，下列结论中错误的为（ ）
A．平面平面 B．直线与直线是异面直线
C．直线与直线共面 D．面与面的交线与平行
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知，则__________．
14．一个由棱锥和半球体组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为__________．
15．在正方形中，，分别在线段，上，且，以下结论：
①；
②；
③平面；
④与异面，其中有可能成立的是__________．
16．如图，在矩形中，，，为边的中点．将沿翻折，得到四棱锥．设线段的中点为，在翻折过程中，有下列三个命题：
①总有平面；
②三棱锥体积的最大值为；
③存在某个位置，使与所成的角为．
其中正确的命题是____．（写出所有正确命题的序号）
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知，．
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性，并予以证明．
18．（12分）（1）求下列代数式值：，
（2）求函数的最值．
19．（12分）如图，圆柱的底面半径为，球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面．
（1）计算圆柱的表面积；
（2）计算图中圆锥、球、圆柱的体积比．
20．（12分）如图，长方体中，，，，
（1）求异面直线和所成的角；
（2）求证：直线平面．
21．（12分）如图，三棱柱，底面，且为正三角形，为中点．
（1）求证：直线平面；
（2）求证：平面平面；
22．（12分）如图，四边形和均是边长为2的正方形，它们所在的平面互相垂直，，分别为，的中点，点为线段的中点．
（1）求证：直线平面；
（2）求点到平面的距离．
2018-2019学年上学期高一第二次月考
数学答案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】B
【解析】，，所以，故选B．
2．【答案】D
【解析】圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，
当母线为4时，圆柱的底面半径是，此时圆柱体积是；
当母线为2时，圆柱的底面半径是，此时圆柱的体积是，
综上所求圆柱的体积是或，故选D．
3．【答案】B
【解析】如果两个平面垂直，则：
①，若一个平面内的已知直线与交线垂直，则垂直于另一个平面的任意一条直线，故①不成立；
②，一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条与该平面垂直的直线，故②成立；
③，若一个平面内的任一条直线不与交线垂直，则不垂直于另一个平面，故③不成立，故选B．
4．【答案】D
【解析】因为水平放置的的直观图中，，，且，，所以，，所以是直角三角形，故选D．
5．【答案】B
【解析】由题意，二次函数的开口向上，对称轴的方程为，
又因为函数在区间上不是单调函数，所以，解得，
即实数的取值范围是，故选B．
6．【答案】C
【解析】延长到，使得，则为平行四边形，
就是异面直线与所成的角，
又，则三角形为等边三角形，∴，故选C．
7．【答案】A
【解析】对于A，根据线面平行性质定理即可得A选项正确；
对于B，当，时，若，，则，但题目中无条件，
故B不一定成立；
对于C，若，，，则与相交或平行，故C错误；
对于D，若，，则与平行或异面，则D错误，故选A．
8．【答案】D
【解析】，，，，
故答案为D．
9．【答案】C
【解析】因为函数的值域为，
所以，解得，故选C．
10．【答案】C
【解析】根据三视图可将其还原为如下直观图，
，答案选C．
11．【答案】A
【解析】设的中点是，连接，，
因为，，由勾股定理得，
又因为，即三角形为直角三角形，
所以为球体的半径，，，故选A．
12．【答案】A
【解析】
由展开图恢复原几何体如图所示：
折起后围成的几何体是正四棱锥，每个侧面都不与底面垂直，A不正确；
由点不在平面内，直线不经过点，根据异面直线的定义可知：
直线与直线异面，所以B正确；在中，由，，
根据三角形的中位线定理可得，又，，
故直线与直线共面，所以C正确；，面，
由线面平行的性质可知面与面的交线与平行，D正确，故选A．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．【答案】
【解析】由题意，函数，所以，
所以．
14．【答案】
【解析】由三视图可得，该几何体是一个组合体，
其上半部分是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个对角线长度为2的菱形，高为2，
其体积为，
下半部分是半个球，球的半径，其体积为，
据此可得，该几何体的体积为．
15．【答案】①②③④
【解析】
当，分别是线段，的中点时，连结，，则为的中点，
∵在中，，分别为和的中点，∴，故②有可能成立，
∵，平面，平面，∴平面，
故③有可能成立，∵平面，平面，∴，又，∴，故①有可能成立．当与重合，与重合时，与异面，故④有可能成立，综上所述，结论中有可能成立的是①②③④，故答案为①②③④．
16．【答案】①②
【解析】取的中点为，连结，，可得，，
可得平面平面，所以平面，所以①正确；
当平面与底面垂直时，三棱锥体积取得最大值，
最大值为，所以②正确．
存在某个位置，使与所成的角为．因为，所以平面，
可得，即，矛盾，所以③不正确；故答案为①②．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1）；（2）奇函数．
【解析】（1）由于，，
故，
由，求得，故函数的定义域为．
（2）由于，它的定义域为，
令，
可得，故函数为奇函数．
18．【答案】（1）（2），．
【解析】（1）．
（2），，
令原函数可变为，
当时，当时．
19．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）已知圆柱的底面半径为，则圆柱和圆锥的高为，圆锥和球的底面半径为，
则圆柱的表面积为．
（2）由（1）知，，，
．
20．【答案】（1）异面直线和所成的角为．（2）证明见解析．
【解析】（1）解：∵长方体中，，
∴是异面直线和所成的角，
∵长方体中，，，，，
∴，∴，∴异面直线和所成的角为．
（2）解：证明：连结，
∵长方体中，，
又平面，平面，∴直线平面．
21．【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】（1）连结交于，连结，在中，为中点，为中点，
所以，又平面，∴直线平面．
（2）∵底面，∴．
又，∴平面，
又平面，∴平面平面．
22．【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）取的中点，连接和，
则易知，又因为，，所以为的中位线，所以，
且，，
所以平面平面，又平面，所以平面．
（2）设点到平面的距离为，由题可知，面，所以，
由勾股定理可知，，
所以的面积，
经过计算，有，
由，和，
所以．
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