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吉安市2019届五校联考理科数学试题
命题人：泰和二中 林德民 考试时间：120分钟
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合， ，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数满足（是虚数单位），则的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
3．双曲线 的离心率是，过右焦点作渐近线的垂线，垂足为，若的面积是1，则双曲线的实轴长是（ ）
A． 1 B． 2 C． D．
4．偶函数在上为增函数，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．下列说法中，说法正确的是（ ）．
A． 若，则.
B． 向量 垂直的充要条件是m=1
C． 命题“”，”的否定是“”
D． 已知函数f(x)在区间上的图象是连续不断的，则命题“若，则在区间内至少有一个零点”的逆命题为假命题
6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为( )
A.
B.
C..
D.
7．函数其中的图象如图所示，为了得到的图象，则只需将的图象（ ）
A． 向右平移个长度单位 B． 向右平移个长度单位
C． 向左平移个长度单位 D． 向左平衡个长度单位
8．设,则（ ）
A． B． C． D．
9．设的三内角A、B、C成等差数列, 成等比数列,则这个三角形的形状是（ ）
A． 直角三角形 B． 钝角三角形 C． 等腰直角三角形 D． 等边三角形
10．设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by（a>0，b>0）的最大值为12，则＋的最小值为 （ ）
A． B． C． D． 4
11．已知，是双曲线的左，右焦点，若双曲线左支上存在一点与点关于直线对称，则该双曲线的离心率为 （ ）
A． B． C． D．
12．已知函数，关于x的方程，有5个不同的实数解，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知向量=(,2)与向量=(,1)互相平行，则的值为_______。
14．__________．
15．已知四面体ABCD的顶点都在的球的球面上，且，，平面ABD垂直平面BCD，则球O的体积为 .
16．太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图
展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：能够将圆的周长
和面积同时等分成两个部分的函数称为圆的一个“太极函数”，
则下列有关说法中：
①对于圆的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数；
②函数是圆的一个太极函数；
③存在圆，使得是圆的一个太极函数；
④直线所对应的函数一定是圆的太极函数；
⑤若函数是圆的太极函数，则
所有正确的是__________．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（本题12分）已知等比数列中， ， ．
（）若为等差数列，且满足， ，求数列的通项公式．
（）若数列满足，求数列的前项和．
18．（本题12分）如图，锐角三角形中，角所对的边分别为，若
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若线段上存在一点使得，且, ，求的面积.
19．（本题12分）如图，四边形是直角梯形， ， ，又，直线与直线所成的角为.
（1）求证： ；
（2）求二面角的余弦值.
20．（本题12分）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是,以为圆心、3为半径的圆与以为圆心、1为半径的圆相交，交点在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线与椭圆C交于A,B两点，点M是椭圆C的右顶点直线AM与直线BM分别与y轴交于点PQ，试问以线段PQ为直径的圆是否过x轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．
21．（本题12分）已知函数，，．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数在区间上的最小值是，求的值
（3）设是函数图象上任意不同的两点，线段的中点为直线的斜率为，证明：
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（本题10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，直线过点且倾斜角为.
（1）求曲线的直角坐标方程和直线的参数方程；
（2）设直线与曲线交于, 两点，求的值.
23.（本题10分）设函数.
（1）解不等式；
（2）若对恒成立，求实数a的取值范围.
五校联考理科数学答案
选择题：ACBB DBAD DABC
填空题：13. 14． 15． 16．②④⑤
解答题17.(Ⅰ)在等比数列中, .
所以,由得,即,
因此, 3分
在等差数列中,根据题意,
可得,
所以, 6分
(Ⅱ)若数列满足,则, 8分
因此有
12分
18.解法一：（1）在中， ，
，
，
解法二：（1）在中， ，
，
，
， ， ． 5分
（2）在中，由余弦定理可得
，7分
, ，8分
在中，由正弦定理可得
， ， ．10分
12分
19.（1）∵，
∴平面，∵平面，
∴. 4分
（2）在平面内，过点作的垂线，建立空间直角坐标系，如图所示
设
∴
∵，且，
∴，
∴，∴ 8分
设平面的一个法向量为，
则由，
∴∴
又平面的一个法向量为，
显然，二面角为锐二面角
所以二面角的余弦值为. 12分
20.（1）由题意知，则．又，，可得，
椭圆的方程为． 5 分
（2）以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点．
由得．
设，，则有，． 7 分
又点M是椭圆的右顶点，点．
由题意可知直线AM的方程为，故点．
直线BM的方程为，故点．
若以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点，则等价于恒成立．9分
又，，恒成立．
又，
．解得．
故以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点． 12分
21.（1）解：，则，，∴函数的单调增区间是； 3分
（2）解：在上，分如下情况讨论：
1．当时，，函数单调递增，其最小值为，这与函数在上的最小值是相矛盾；
2．当时，函数在单调递增，其最小值为，同样与最小值是相矛盾；
3．当时，函数在上有，单调递减，在上有，单调递增，
∴函数的最小值为，得．
4．当时，函数在上有，单调递减，其最小值为，与最小值是相矛盾；
5．当时，显然函数在上单调递减，其最小值为，与最小值是相矛盾．
综上所述，的值为． 7分
（3）证明：当时，,
又,不妨设，要比较与的大小，
即比较与的大小，又因为，
所以即比较与的大小．
令，则∴在上是增函数．
又，∴，，即． 12分
22.（1）曲线，
所以，即，
得曲线的直线坐标方程为，
直线的参数方程为为参数）. 5分
（2）将为参数）代入圆的方程，得，
整理得，所以. 10分
24.（1）因为，
当时，解得；当时，，无解；
当时，，解得.
所以不等式的解集为. 5 分
（2）依题意只需，而 .
所以，所以或，故实数的取值范围是. 10分
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