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第06章 数列
班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________
一．填空题：
1. 【2016-2017学年度江苏苏州市高三期中调研考试】已知等比数列的各项均为正数，且满足：，则数列的前9项之和为__________．
【答案】9
【解析】∵，∴，
∴，
2. 【2016-2017学年度江苏苏州市高三期中调研考试】已知数列满足：，数列满足：，则数列的前10项的和__________．
【答案】
3. 【江苏省泰州中学2017届高三摸底考试】设等比数列满足公比，，且中的任意两项之积也是该数列中的一项，若，则的所有可能取值的集合为 ．
【答案】
【解析】由题意，，设该数列中任意两项为，它们的积为，则，即，故必须是81的正约数，即的可能取值为，所以的所有可能取值的集合为
4. 【南京市2017届高三年级学情调研】各项均为正数的等比数列，其前项和为
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，若，，则数列的通项公式 .
【答案】3n－1
【解析】由题意得
5. 【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测文科】若等差数列的前项和，且，则 ．
【答案】
【解析】，所以
6. 【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测文科】数列定义如下：，，，…．若，则正整数的最小值为 ．
【答案】8069
，所以正整数的最小值为8069.
7. 【苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中】设是等差数列的前项和，且，， 则的值为 ▲ ．
【答案】81
【解析】由，得，所以
8. 【江苏省南通中学2017届高三上学期期中考试】设是等比数列的前项的和，若，则的值是 ▲ ．
【答案】2
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【解析】，因此
9. 【江苏省南通中学2017届高三上学期期中考试】已知为数列的前项和，，，若关于正整数的不等式的解集中的整数解有两个，则正实数的取值范围为 ▲ ．
【答案】
10. 【2017届高三七校联考期中考试】设等差数列的前项和为，若，则 ▲ ．【答案】
【解析】，所以
11. 【2017届高三七校联考期中考试】设为数列的前项和，，其中是常数．若对于任意的成等比数列，则的值为 ▲ ．
【答案】0或1
【解析】∵ ∴ 数列是首项为，公差为的等差数列，
又对于任意的都有，∴ ，解得0或1.
又时，显然对于任意的成等比数列；时
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，显然对于任意的也成等比数列．综上所述，0或1.
12. 【泰州中学2017届高三上学期期中考试】设数列首项,前项和为，且满足，则满足的所有的和为_________.
【答案】
【解析】因,故代入已知可得,即,也即,故数列是公比为的等比数列,所以,即.所以,则,由此可解得,故应填答案.
13. 【无锡市普通高中2017届高三上学期期中基础性检测】设数列的前项和为，已知，则______________．
【答案】
14. 【南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟】如图，在平面直角坐标系中，分别在轴与直线上从左向右依次取点、，，其中是坐标原点，使都是等边三角形，则的边长是 ▲ .
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【答案】512
【解析】设与轴交点为P，则依次类推得的边长为
二．解答题:
. 15. 【2016-2017学年度江苏苏州市高三期中调研考试】（本题满分14分）
已知等比数列的公比，且满足：，且是的等差中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求使成立的正整数的最小值．
【答案】（1）；（2）6．
【解析】
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②—①得．．．．．．．．．．．．．12分
∵，∴，∴，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分
∴使成立的正整数的最小值为6．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分
16. 【2016-2017学年度江苏苏州市高三期中调研考试】（本题满分16分）
已知数列的前项和为，对任意满足，且，数列满足，其前9项和为63．
（1）求数列和的通项公式；
（2）令，数列的前项和为，若对任意正整数，都有，求实数的取值范围；
（3）将数列的项按照“当为奇数时，放在前面；当为偶数时，
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放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新的数列：，求这个新数列的前项和．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
∴
，
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∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
设，则，
特别地，当时，也符合上式；
③当时，．
综上：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．16分
17. 【江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试】（本小题满分16分）
在数列中，已知，．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）记，且数列的前项和为,若为数列中的最小项，求的取值范围．
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【答案】（1）详见解析（2）
【解析】
当时，有；
当时,有； ………………12分
当时，恒成立,
对恒成立.
令，则对恒成立,
在时为单调递增数列.
，即. ………………………15分
综上，. ………………………16分
18. 【江苏省泰州中学2017届高三摸底考试】已知数列的前项和满足：
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（为常数，且，）．
（1）求的通项公式；
（2）设，若数列为等比数列，求的值；
（3）在满足条件（2）的情形下，设，数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）（2）（3）
【解析】
若数列为等比数列，则有，
而，，，
故，解得，
再将代入，得，
由，知为等比数列，∴．
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（3）由，知，∴，
19. 【南京市2017届高三年级学情调研】（本小题满分12分）
已知数列是公差为正数的等差数列，其前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）数列满足，.
①求数列的通项公式；
②是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）an＝2n－1（2）①bn＝，n∈N*．②m＝3，n＝8
【解析】
（1）设数列{an}的公差为d，则d＞0．
由a2·a3＝15，S4＝16，得
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解得或（舍去）
所以an＝2n－1． …………………… 4分
（2）①因为b1＝a1，bn＋1－bn＝，
所以b1＝a1＝1，
bn+1－bn＝＝， …………………… 6分
即 b2－b1＝，
b3－b2＝，
……
bn－bn－1＝，（n≥2）
累加得：bn－b1＝， …………………… 9分
所以bn＝b1＋＝1＋＝．
b1＝1也符合上式．
故bn＝，n∈N*． …………………… 11分
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20. 【苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中】（本小题满分16分）
在数列中，已知，，，设为的前项和．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求；
（3）是否存在正整数，，，使成等差数列？若存在，求出，，的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）详见解析（2）（3），，的值为，，．
【解析】
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所以．…………………………………………………………………10分
（3）假设存在正整数，，，使成等差数列，
则，即．
由于当时，，所以数列单调递减．
又，所以且至少为2，所以， ………………12分
．
①当时，，又，
所以，等式不成立．…………………………………………14分
②当时，，
所以，所以，所以(单调递减，解唯一确定)．
综上可知，，，的值为，，． ………………………………16分
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