2018届中考《第四部第六讲第1课时几何图形中的动点问题》同步练习.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 第六讲 运动型问题 第1课时　几何图形中的动点问题 ‎(58分)‎ 一、选择题(每题6分，共18分)‎ ‎1．[2017·安徽]如图6－1－1，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足S△PAB＝S矩形ABCD，则点P到A，B两点距离之和PA＋PB的最小值为(　D　)‎ A. B. C.5 D. ‎ ‎ 图6－1－1 　　第1题答图 ‎【解析】 令点P到AB的距离为h，由S△PAB＝S矩形ABCD，得×5h＝×5×3，解得h＝2，动点P在EF上运动，如答图，作点B关于EF的对称点B′，BB′＝4，连结AB′交EF于点P，此时PA＋PB最小，根据勾股定理求得最小值为＝，选D.‎ 图6－1－2‎ ‎2．如图6－1－2，在矩形ABCD中，AB＝2a，AD＝a，矩形边上一动点P沿A→B→C→D的路径移动．设点P经过的路径长为x，PD2＝y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是 (　D　)‎ ‎【解析】 ①当0≤x≤2a时，∵PD2＝AD2＋AP2，AP＝x，∴y＝x2＋a2；②当2a＜x≤3a时，CP＝2a＋a－x＝3a－x，∵PD2＝CD2＋CP2，∴y＝(3a－x)2‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎＋(2a)2＝x2－6ax＋13a2；③当3a＜x≤5a时，PD＝2a＋a＋2a－x＝5a－x，‎ ‎∴PD2＝y＝(5a－x)2，y＝∴能大致反映y与x的函数关系的图象是选项D中的图象．‎ 图6－1－3‎ ‎3．如图6－1－3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝8，以2为边长的正方形DEFG的一边GD在直线AB上，且点D与点A重合，现将正方形DEFG沿AB的方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点D与点B重合时停止，则在这个运动过程中，正方形DEFG与△ABC的重合部分的面积S与运动时间t之间的函数关系图象大致是 (　A　)‎ ‎【解析】 首先根据在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝8，分别求出AC，BC，以及AB边上的高线各是多少；然后根据图示，分三种情况：①当0≤t≤2时；②当2＜t≤6时；③当6＜t≤8时，分别求出正方形DEFG与△ABC的重合部分的面积S的表达式，进而判断出正方形DEFG与△ABC的重合部分的面积S与运动时间t之间的函数关系图象大致是哪个即可．‎ S＝ 二、解答题(共20分)‎ ‎4．(20分)[2017·无锡]如图6－1－4，已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝m，动点P从点D出发，在边DA上以每秒1个单位的速度向点A运动，连结CP，作点D关于直线PC的对称点E.设点P的运动时间为t(s)．‎ ‎(1)若m＝6，求当P，E，B三点在同一直线上时对应的t的值．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(2)已知m满足：在动点P从点D到点A的整个过程中，有且只有一个时刻t，使点E到直线BC的距离等于3.求所有这样的m的取值范围．‎ 图6－1－4‎ ‎【解析】 (1)如答图①，P，E，B三点在同一直线上，连结EC.①在Rt△BEC中，计算BE的值；②在Rt△ABP中，利用勾股定理列出关于t的方程，解出t值即可求；‎ ‎(2)如图②，P，E，B三点在同一直线上，连结EC，过点E作EF⊥BC于F.①在Rt△EFC中，利用勾股定理求出CF；②利用相似三角形的判定与性质求得BF；③根据m＝BC＝BF＋CF计算m的值．‎ 解：(1)如答图①，P，E，B三点在同一直线上，连结EC.‎ 第4题答图①‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC.‎ ‎∵PD＝t，m＝6，∴PA＝6－t.‎ ‎∵点D，点E关于直线PC对称．‎ ‎∴PE＝t，EC＝DC＝AB＝4，∠CEP＝∠CDP＝90°.‎ 在Rt△BCE中，∵BC＝6，CE＝4，‎ ‎∴BE＝＝＝2.‎ 在Rt△ABP中，∵AB2＋AP2＝BP2，即42＋(6－t)2＝(2＋t)2，‎ 解得t＝6－2.‎ ‎(2)如答图②，当点P与A重合时，点E在BC的下方，点E到BC的距离为3.‎ 作EQ⊥BC于Q，EM⊥DC于M.则EQ＝3，CE＝DC＝4.易证四边形EMCQ是矩形，∴CM＝EQ＝3，∠M＝90°，‎ ‎∴EM＝＝，‎ ‎∵∠DAC＝∠EDM，∠ADC＝∠M，‎ ‎∴△ADC∽△DME，∴＝，即＝，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴AD＝4.‎ ‎ ‎ 第4题答图② 　　　 第4题答图③‎ 如答图③，当点P与A重合时，点E在BC的上方，点E到BC的距离为3.‎ 作EQ⊥BC于Q，延长QE交AD于M.则EQ＝3，CE＝DC＝4.‎ 在Rt△ECQ中，QC＝DM＝＝，由△DME∽△CDA，‎ ‎∴＝，即＝，∴AD＝，‎ 综上所述，在动点P从点D到点A的整个运动过程中，有且只有一个时刻t，使点E到直线BC的距离等于3，这样的m的取值范围是≤m＜4.‎ ‎5．(20分)[2017·丽水]如图6－1－5，在矩形ABCD中，点E是AD上的一个动点，连结BE，作点A关于BE的对称点F，且点F落在矩形ABCD的内部．连结AF，BF，EF，过点F作GF⊥AF交AD于点G，设＝n.‎ 图6－1－5‎ ‎(1)求证：AE＝GE；‎ ‎(2)当点F落在AC上时，用含n的代数式表示的值；‎ ‎(3)若AD＝4AB，且以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形，求n的值．‎ ‎【解析】 设AE＝a，则AD＝na.(1)由轴对称性质得到AE＝FE，结合“等边对等角”得到∠EAF＝∠EFA.由垂直得到两个角的互余关系，根据“等角的余角相等”可得到结论；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(2)由对称性质得BE⊥AF，先证∠ABE＝∠DAC，进而证得△ABE∽△DAC，根据相似三角形的对应边成比例建立关系式，通过适当变形求解；‎ ‎(3)由特例点F落在线段BC上，确定n＝4，根据条件点F落在矩形内部得到n＞4，判断出∠FCG＜90°.然后分∠CFG＝90°和∠CGF＝90°两种情况，由(2)的结论和相似三角形的性质分别建立关于n的等式，求得n的值．‎ 解：设AE＝a，则AD＝na.‎ ‎(1)证明：由对称得AE＝FE，∴∠EAF＝∠EFA.‎ ‎∵GF⊥AF，∴∠EAF＋∠FGA＝∠EFA＋∠EFG＝90°.‎ ‎∴∠FGA＝∠EFG，∴FG＝EF，∴AE＝GE.‎ 第5题答图①‎ ‎(2)当点F落在AC上时(如答图①)，由对称得BE⊥AF，‎ ‎∴∠ABE＋∠BAC＝90°，‎ ‎∵∠DAC＋∠BAC＝90°，‎ ‎∴∠ABE＝∠DAC.‎ 又∵∠BAE＝∠D＝90°，‎ ‎∴△ABE∽△DAC，∴＝.‎ ‎∵AB＝DC，∴AB2＝AD·AE＝na·a＝na2.‎ ‎∵AB＞0，∴AB＝a，∴＝＝.‎ ‎(3)若AD＝4AB，则AB＝a.当点F落在线段BC上时(如答图②)，EF＝AE＝AB＝a.此时a＝a，‎ ‎∴n＝4.∴当点F落在矩形内部时，n＞4.‎ ‎∵点F落在矩形的内部，点G在AD上，‎ ‎∴∠FCG＜∠BCD，∴∠FCG＜90°.‎ ‎ ‎ 第5题答图② 　第5题答图③‎ ‎①若∠CFG＝90°，则点F落在AC上，由(2)得＝，∴n＝16.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎②若∠CGF＝90°(如答图③)，‎ 则∠CGD＋∠AGF＝90°.‎ ‎∵∠FAG＋∠AGF＝90°，‎ ‎∴∠CGD＝∠FAG＝∠ABE，‎ ‎∵∠BAE＝∠D＝90°，‎ ‎∴△ABE∽△DGC.∴＝，‎ ‎∴AB·DC＝DG·AE，即＝(n－2)a·a，‎ 解得n1＝8＋4，n2＝8－4＜4(不合题意，舍去)．∴当n＝16或8＋4时，以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形．‎ ‎(20分)‎ ‎6．(20分)[2017·菏泽]如图6－1－6，正方形ABCD的边长为6 cm，点E，M分别是线段BD，AD上的动点，连结AE并延长，交边BC于F，过M作MN⊥AF，垂足为H，交边AB于点N.‎ ‎(1)如图①，若点M与点D重合，求证：AF＝MN；‎ ‎(2)如图②，若点M从点D出发，以1 cm/s的速度沿DA向点A运动，同时点E从点B出发，以 cm/s的速度沿BD向点D运动，设运动时间为t s.‎ ‎①设BF＝y cm，求y关于t的函数表达式；‎ ‎②当BN＝2AN时，连结FN，求FN的长．‎ 图6－1－6‎ ‎【解析】 (1)由正方形性质和垂直的性质就可以得出∠ADN＝∠BAF，利用“AAS”可以得出△ADN≌△BAF就可以得到结论AF＝MN；‎ ‎(2)①由AD∥BF可得△ADE∽△FBE，利用＝可以构造y关于t的函数表达式；②由(1)可知△MAN∽△ABF，∴＝，又∵BN＝2AN，∴＝，用含t 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 的代数式表示BF，结合①中的关系式，可以构造关于t的方程求出t的值，从而求出BF，最后利用勾股定理求FN 的长．‎ 解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AD＝DC＝AB＝BC，∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°.‎ ‎∵MN⊥AF，∴∠DHA＝∠NHA＝90°，‎ ‎∴∠ADH＋∠HAD＝90°，∠NAH＋∠HAD＝90°，‎ ‎∴∠ADH＝∠NAH.在△ADN与△BAF中，‎ ‎ ∴△ADN≌△BAF，‎ ‎∴AF＝DN，即AF＝MN.‎ ‎(2)①∵正方形的边长为6 cm，∴BD＝＝AD＝6 cm，‎ ‎∵设运动时间为t s，根据题意，得BE＝t cm，‎ ‎∴DE＝ BD－BE＝(6－t)cm，‎ ‎∵AD∥BF，∴△ADE∽△FBE，∴ ＝，‎ ‎∵BF＝y cm，∴＝，即y＝，‎ ‎∴y关于t的函数表达式为y＝.‎ ‎②∵BN＝2AN，AB＝6 cm，∴AN＝2 cm，BN＝4 cm，由(1)得△MAN∽△ABF，又∵DM＝t cm，AM＝(6－t)cm，‎ ‎∴＝，即＝，∴BF＝，‎ 又∵y＝，∴，＝ 解得t＝2，‎ 当t＝2时，BF＝y＝＝3 cm，在Rt△NBF中，FN＝＝＝5，‎ ‎∴当BN＝2AN时，FN的长为5 cm.‎ ‎(22分)‎ ‎7．(22分)[2017·温州]如图6－1－7，已知线段AB＝2，MN⊥AB于点M，且AM＝BM，P是射线MN上一动点，E，D分别是PA，PB的中点，过点A，M，D的圆与BP的另一交点为C(点C 在线段BD上)，连结AC，DE.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(1)当∠APB＝28°时，求∠B和的度数；‎ ‎(2)求证：AC＝AB；‎ ‎(3)在点P的运动过程中．‎ ‎①当MP＝4时，取四边形ACDE一边的两端点和线段MP上一点Q，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且Q为锐角顶点，求所有满足条件的MQ的值；‎ ‎②记AP与圆的另一个交点为F，将点F绕点D旋转90°得点G，若点G恰好落在MN上，连结AG，CG，DG，EG，直接写出△ACG与△DEG的面积比．‎ 图6－1－7‎ ‎【解析】 (1)由垂直平分线的性质得到等腰△PAB，由三线合一得 ∠APM＝∠BPM＝∠APB＝14°，∠B＝90°－∠BPM＝90°－14°＝ 76°，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得∠MDB＝∠BAC ＝2∠DPM＝28°，以此求得弧CD的度数为2∠MDB＝56°；‎ ‎(2)由同角的余角相等，得 ∠ACB＝∠B，AC＝AB；‎ ‎(3)由垂直分线的性质，分类讨论符合条件的点Q的个数，利用相似和勾股定理分别求出MQ的长度；利用旋转的性质，平行四边形的性质，锐角三角比求出各边的长度，用面积公式求出比值．‎ 解：(1)如答图①，连结MD.‎ ‎∵AB⊥MN，AM＝BM，‎ ‎∴PM垂直平分线段AB，∴PA＝PB，‎ 在等腰三角形PAB中，∵∠APB＝28°，∴∠APM＝∠BPM＝∠APB＝14°，‎ ‎ ∴∠B＝90°－∠BPM＝90°－14°＝ 76°，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 在Rt△MPB中，点D为斜边BP的中点，‎ ‎∴DM＝DP，∴∠MPD＝∠DMP＝14°，‎ ‎∴∠MDB＝∠BAC ＝2∠DPM＝28°，‎ ‎∴的度数＝2∠MDB＝56°；‎ ‎(2)证明：由(1)可得 ‎∠B＝90°－∠BPM＝90°－∠BAC，‎ 在△ABC中，∠ACB＝180°－∠B－∠BAC＝180°－(90°－∠BAC)－∠BAC ＝90°－∠BAC，‎ ‎∴∠ACB＝∠B, ∴AC＝AB.‎ ‎ ‎ 第7题答图① 　　第7题答图②‎ ‎(3)①若要满足题意，则点Q必为过点A，C，E，D的垂线与线段MN的交点，分析图形可得只有过点C，E，D的垂线与线段MN的交点满足题意．‎ ‎(Ⅰ)若CQ⊥CP(如答图②点Q1)，AM＝BM＝1，MP＝4，由勾股定理，得BP＝＝，由(1)(2)可得∠BAC＝∠APB，‎ 又∵∠B＝∠B，‎ ‎∴△ABC∽△PBA，‎ ‎∴＝，得BC＝，‎ ‎∴CP＝.‎ ‎ 由△PCQ1∽△PMB，得＝，解得PQ1＝，‎ ‎∴ MQ1＝4－PQ1＝.‎ ‎(Ⅱ)若QD⊥BP，由EP＝DP可知 △EPQ2≌△DPQ2(如答图②点Q2)，∴ ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 EQ2⊥EP.(即过点E，D的垂线与线段MN的交点重合)‎ ‎∵点D为线段BP的中点，且Q2D⊥BP，‎ ‎∴Q2D垂直平分线段BP，则Q2P＝Q2B，‎ 设Q2M＝x，则Q2B＝Q2P＝4－x, 由勾股定理，得BM2＋M2Q2＝B2Q2，12＋x2＝(4－x)2，解得x＝.‎ ‎(Ⅲ)若AC⊥CQ(如答图②点Q3)，‎ ‎∵∠ACQ3＝90°，∴Q3A为该圆的直径，‎ ‎∴点Q3为MP与圆的交点，‎ ‎∵∠MAC＝∠MQ3C＝2∠MPC，∠MQ3C＝∠MPC＋∠Q3CP，∴PQ3＝ CQ3，‎ 设MQ3＝x，则PQ3＝4－x，AC＝AB＝2，‎ ‎∵A3Q2＝AM2＋M3Q2＝AC2＋C3Q2，‎ ‎∴12＋x2＝22＋(4－x)2，解得x＝.‎ 综上所述，MQ的值为或或.‎ 第7题答图③‎ ‎②如答图③，过点E作AP的中垂线，交MP于点K.过点C作CJ⊥AB于点J，连结AK，KE，DM.‎ ‎∵点M，D分别为AB，BP的中点，∴MD为△ABP的中位线，‎ ‎∴MD∥AP，AM＝DF.‎ 又∵AM∥ED，∴四边形MAED为平行四边形，‎ ‎∴AM＝DE，∠MDE＝∠MAP，∴DE＝DF，‎ ‎∵△GHE≌△GHD，∴ GE＝GD，‎ ‎∴GE＝GD＝DE＝DF，则△GDE为正三角形，∠GDE＝60°.‎ ‎∵∠EDF＝90°－60°－30°，∴∠DEF＝(180°－∠EDF)＝75°，‎ ‎∴∠APM＝15°，则∠AKM＝2∠APM＝30°，‎ ‎∴MK＝，AK＝KP＝2，tan75°＝tan∠MAP＝＝＝2＋，‎ ‎∴tan∠MAP＝tan∠HEP＝tan75°＝2＋，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∵EH为△AMP的中位线，∴EH＝，GH＝，‎ ‎∴tan∠HEP＝＝2＋，HP＝(2＋)，∴MG＝1，‎ ‎∵∠MAC＝2∠MPA＝30°，AM＝1，CJ＝AC＝AB＝1，‎ ‎∴MI＝，IG＝1－，AJ＝，‎ ‎∴S△ACG＝IG·AJ＝××＝，S△EDG＝ED·GH＝×1×＝，‎ ‎∴＝＝.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费