2018届中考《第四部第五讲第4课时二次函数与圆的综合》同步练习.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 第4课时　二次函数与圆的综合 ‎(40分)‎ ‎1．(20分)[2017·株洲]已知二次函数y＝－x2＋bx＋c＋1.‎ ‎(1)当b＝1时，求这个二次函数的对称轴的方程；‎ ‎ 图5－4－1‎ ‎(2)若c＝－b2－2b，问：b为何值时，二次函数的图象与x轴相切；‎ ‎(3)如图5－4－1，若二次函数的图象与x轴交于点A(x1，0)，B(x2，0)，且x1＜x2，与y轴的正半轴交于点M，以AB为直径的半圆恰好经过点M，二次函数的对称轴l与x轴，直线BM，直线AM分别相交于点D，E，F，且满足＝，求二次函数的表达式．‎ 解： (1)二次函数的对称轴为x＝－，‎ ‎∵a＝－1，b＝1，∴x＝；‎ ‎(2)与x轴相切就是与x轴只有一个交点，即－x2＋bx－b2－2b＋1＝0有相等的实数根，∴Δ＝b2－4×(－1)×＝0‎ ‎∴－8b＋4＝0，解得b＝，即b＝时，函数图象与x轴相切；‎ ‎(3)∵AB是半圆的直径，∴∠AMB＝90°，‎ ‎∴∠OAM＋∠OBM＝90°，‎ ‎∵∠AOM＝∠MOB＝90°，∴∠OAM＋∠OMA＝90°，‎ ‎∴∠OMA＝∠OBM，∴△OAM∽△OMB，‎ ‎∴＝，∴OM2＝OA·OB，‎ ‎∵二次函数的图象与x轴交于点A(x1，0)，B(x2，0)，‎ ‎∴OA＝－x1，OB＝x2，x1·x2＝－(c＋1)，‎ ‎∵OM＝c＋1，∴(c＋1)2＝c＋1，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 解得c＝0或－1(舍去)，∴c＝0，OM＝1，‎ ‎∴y＝－x2＋bx＋1，‎ ‎∴x1·x2＝－1，x1＋x2＝b，‎ 设A(m，0)(m＜0)，则B(－，0)，b＝，对称轴为x＝＝，‎ ‎∵yAM经过点A(m，0)，M(0，1)，∴yAM＝－x＋1，‎ ‎∵yBM经过点B(－，0)，M(0，1)，∴yBM＝mx＋1，‎ ‎∵xE＝，∴yE＝，DE＝，‎ ‎∵xF＝，∴yF＝，‎ ‎∵＝，∴ ＝，‎ ‎∴＝，∴m2＝(m＜0)，解得m＝－，‎ ‎∴b＝＝，‎ ‎∴y＝－x2＋x＋1.‎ 图5－4－2‎ ‎2．(20分)如图5－4－2，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与⊙M相交于A，B，C，D四点，其中A，B两点坐标分别为(－1，0)，(0，－2)，点D在x轴上且AD为⊙M的直径，E是⊙M与y轴的另一个交点，过劣弧上的点F作FH⊥AD于点H，且FH＝1.5.‎ ‎(1)求点D的坐标及抛物线的表达式；‎ ‎(2)若P是x轴上的一个动点，试求出△PEF的周长最小时点P的坐标；‎ ‎(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QCM是等腰三角形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．‎ 解：(1)如答图，连结MB，设⊙M的半径为r.‎ ‎∵A(－1，0)，B(0，－2)，‎ ‎∴在Rt△OMB中，OB＝2，OM＝r－1，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由勾股定理，得22＋(r－1)2＝r2.‎ ‎∴r＝.∴AD＝5.‎ ‎∴点D的坐标是(4，0)．‎ ‎∵抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A(－1，0)，B(0，－2)，D(4，0)，‎ 解得 ‎∴抛物线的表达式为y＝x2－x－2；‎ 第2题答图 ‎(2)如答图，连结BF，与x轴相交于点P，则点P即为所求．连结MF.‎ ‎∵在△MFH中，MF＝2.5，FH＝1.5，‎ ‎∴MH＝＝2.‎ ‎∴OH＝3.5.‎ 由题意，得△POB∽△PHF，‎ ‎∴＝.即＝.‎ ‎∴OP＝2.‎ ‎∴△PEF的周长最小时，点P的坐标是(2，0)．‎ ‎(3)存在．Q1，Q2，Q3，‎ Q4.‎ ‎(40分)‎ 图5－4－3‎ ‎3．(20分)[2016·齐齐哈尔]如图5－4－3，对称轴为直线x＝2的抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点A的坐标为(－1，0)．‎ ‎(1)求抛物线的表达式；‎ ‎(2)直接写出B，C两点的坐标；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(3)求过O，B，C三点的圆的面积(结果用含π的代数式表示)．‎ 解：(1)由A(－1，0)，对称轴为x＝2，可得 解得 ‎∴抛物线表达式为y＝x2－4x－5；‎ ‎(2)由A点坐标为(－1，0)，且对称轴方程为x＝2，可知AB＝6，‎ ‎∴OB＝5，‎ ‎∴B点坐标为(5，0)，‎ 第3题答图 ‎∵y＝x2－4x－5，‎ ‎∴C点坐标为(0，－5)；‎ ‎(3)如答图，连结BC，则△OBC是直角三角形，‎ ‎∴过O，B，C三点的圆的直径是线段BC的长度，‎ 在Rt△OBC中，OB＝OC＝5，‎ ‎∴BC＝5，‎ ‎∴圆的半径为，∴S＝π＝π.‎ 图5－4－4‎ ‎4．(20分)[2017·绵阳]如图5－4－4，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的顶点坐标是(2，1)，并且经过点(4，2)．直线y＝x＋1与抛物线交于B，D两点，以BD为直径作圆，圆心为点C，⊙C与直线m交于对称轴右侧的点M(t，1)．直线m上每一点的纵坐标都等于1.‎ ‎(1)求抛物线的表达式；‎ ‎(2)证明：⊙C与x轴相切；‎ ‎(3)过点B作BE⊥m，垂足为E，再过点D作DF⊥m，垂足为F.求BE∶MF的值．‎ 解： (1)设抛物线顶点式为y＝a(x－h)2＋k，‎ ‎∵抛物线的顶点坐标是(2，1)，∴y＝a(x－2)2＋1，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 又∵抛物线经过点(4，2)，‎ ‎∴2＝a(4－2)2＋1，解得a＝，‎ ‎∴抛物线的表达式y＝(x－2)2＋1＝x2－x＋2.‎ ‎(2)证明：联立消去y，整理得x2－6x＋4＝0，解得x1＝3－，x2＝3＋，代入直线方程，解得y1＝－，y2＝＋，‎ ‎∴B，D，‎ ‎∵点C是BD的中点，‎ ‎∴点C的纵坐标为＝，利用勾股定理，可算出BD＝＝5，即半径R＝，即圆心C到x轴的距离等于半径R，∴⊙C与x轴相切．‎ ‎(3)法一：如答图①，连结BM和DM，∵BD为直径，∴∠BMD＝90°，‎ ‎∴∠BME＋∠DMF＝90°，‎ 又∵BE⊥m于点E，DF⊥m于点F，‎ ‎∴∠BME＝∠MDF，‎ ‎∴△BME∽△MDF，∴＝，即＝，‎ 代入得＝，‎ 化简得(t－3)2＝4，解得t＝5或1，‎ ‎∵点M在对称轴右侧，∴t＝5，‎ ‎∴＝.‎ ‎ 法二：如答图②，过点C作CH⊥m，垂足为H，连结DM，由(2)知CM＝‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 R＝，CH＝R－1＝，‎ 由勾股定理，得MH＝2，∵HF＝＝，‎ ‎∴MF＝HF－MH＝－2，又∵BE＝y1－1＝－，∴＝.‎ ‎ ‎ 第4题答图① 　　　第4题答图②‎ ‎(20分)‎ 图5－4－5‎ ‎5．(20分)[2017·鄂州]如图5－4－5，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3(a＜0)与x轴交于A(3，0)，B两点，与y轴交于点C.抛物线的对称轴是直线x＝1，D为抛物线的顶点，点E在y轴C点的上方，且CE＝.‎ ‎(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标；‎ ‎(2)求证：直线DE是△ACD外接圆的切线；‎ ‎(3)在直线AC上方的抛物线上找一点P，使S△PAC＝S△ACD，求点P的坐标；‎ ‎(4)在坐标轴上找一点M，使以点B，C，M为顶点的三角形与△ACD相似，直接写出点M的坐标．‎ ‎【解析】 (1)利用点A(3，0)及对称轴是直线x＝1即可求解；‎ ‎(2)先证明△ACD是直角三角形，再证明∠ADE＝90°；‎ ‎(3)设P(t，－t2＋2t＋3)先求出△ACD的面积，再用含t的式子表示△PAC的面积，最后解方程求得t的值，从而得到点P的坐标；‎ ‎(4)∵△ACD是直角三角形，∴△BCM也为直角三角形，分B为直角顶点，C为直角顶点，M为直角顶点三种情形求解．‎ 解：(1)把A(3，0)代入y＝ax2＋bx＋3，得 ‎0＝9a＋3b＋3.①‎ ‎∵抛物线的对称轴为x＝1.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴－＝1.②‎ 解①②组成的方程组，得a＝－1，b＝2.∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3.‎ ‎∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，‎ ‎∴D的坐标是(1，4)．‎ ‎(2)证明：在y＝－x2＋2x＋3中，当x＝0时，y＝3.∴C(0，3)，OC＝3.‎ ‎∵A(3，0)，∴OA＝3.‎ 在△OAC中，由勾股定理得AC2＝18.‎ 如答图①，过点D作DF⊥y轴，垂足为点F，则DF＝4，AF＝2.‎ 在△ADF中，同理可求AD2＝20.过点D作DG⊥y轴，垂足为点G，则DG＝1，CG＝1.‎ 在△CDG中，同理可求CD2＝2.‎ ‎∵AC2＋CD2＝18＋2＝20，‎ ‎∴AC2＋CD2＝AD2.‎ ‎∴△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°.‎ ‎∴AD是△ACD外接圆的直径．‎ ‎∵CG＝DG＝1，DG⊥y轴，‎ ‎∴∠GCD＝45°.‎ 第5题答图①‎ 过点E作EH⊥CD，垂足为点H.则EH＝CH＝＝＝.‎ ‎∵CD2＝2，AC2＝18，‎ ‎∴CD＝，AC＝3.‎ ‎∴DH＝－＝.‎ 在△DEH中，tan∠EDH＝＝＝.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 在△ACD中，tan∠DAC＝＝＝.‎ ‎∴∠EDH＝∠DAC.‎ ‎∵∠ACD＝90°，∴∠DAC＋∠ADC＝90°.‎ ‎∴∠EDH＋∠ADC＝90°，即∠ADE＝90°.‎ ‎∴AD⊥DE.∴DE是△ACD外接圆的切线．‎ ‎ (3)∵CD＝，AC＝3.‎ ‎∴S△ACD＝AC·CD＝3.‎ 设直线AC的函数表达式为y＝mx＋n.‎ 把A(3，0)，C(0，3)代入，得 解得m＝－1，n＝3.‎ ‎∴直线AC的函数表达式为y＝－x＋3.‎ 第5题答图②‎ 设P(t，－t2＋2t＋3)，如答图②，过点P作PK∥y轴交AC于点K，交x轴于点Q.‎ ‎∴K(t，－t＋3)．∴PK＝－t2＋2t＋3－(－t＋3)‎ ‎＝－t2＋3t.‎ ‎∵S△PAC＝S△PCK＋S△PAK＝PK·OQ＋PK·AQ＝PK(OQ＋AQ)＝PK·OA＝(－t2＋3t)×3＝－t2＋t.‎ ‎∵S△PAC＝S△ACD，∴－t2＋t＝，‎ 解得t1＝，t2＝.当t＝时，－t2＋2t＋3＝；‎ 当t＝时，－t2＋2t＋3＝.‎ ‎∴P或.‎ 第5题答图③‎ ‎(4)，(9，0)，(0，0)．‎ 提示：∵△ACD是直角三角形，△ACD与△BCM相似，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴△BCM是直角三角形．‎ ‎∵抛物线的对称轴是直线x＝1，A(3，0)，∴B(－1，0)，OB＝1.‎ 连结BC.∵＝，＝，‎ 又∵∠ACD＝∠BOC，∴△ACD∽△COB.∴△BCM与△COB相似．‎ 当点B为直角顶点时，如答图③，过点B作BM1⊥BC交x轴于点M1.‎ ‎∴∠CBO＋∠OBM1＝90°.∵∠BOC＝90°，‎ ‎∴∠CBO＋∠OCB＝90°.‎ 第5题答图④‎ ‎ ∴∠OBM1＝∠OCB.‎ 又∵∠COB＝∠BOM1＝90°，‎ ‎∴△OBC∽△OM1B.‎ ‎∴＝，即＝.‎ ‎∴OM1＝.∴M1.‎ 当点C为直角顶点时，如答图④，过点C作CM2⊥BC交x轴于点M2.‎ 同理可求OM2＝9.∴M2(9，0)．‎ 第5题答图⑤‎ 当点M为直角顶点时，如答图⑤，以BC为直径作⊙N.‎ ‎∵∠BOC＝90°，‎ ‎∴点O在⊙N上，此时点M3在点O处，即M3(0，0)．‎ 综上所述，点M的坐标为，(9，0)，(0，0)．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费