2018届中考《第四部分第四讲第4课时操作探究型问题》同步练习.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 第4课时　操作探究型问题 ‎(60分)‎ ‎1．(15分)[2017·北京]如图4－4－1，P是所对弦AB上一动点，过点P作PM⊥AB交于点M，连结MB，过点P作PN⊥MB于点N.已知AB＝6 cm，设A，P两点间的距离为x cm，P，N两点间的距离为y cm(当点P与点A或点B重合时，y的值为0)．‎ 小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：‎ 图4－4－1‎ ‎(1)通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：(说明：补全表格时相关数值保留一位小数)‎ x/cm ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ y/cm ‎0‎ ‎2.0‎ ‎2.3‎ ‎2.1‎ ‎1.6‎ ‎0.9‎ ‎0‎ ‎(2)建立平面直角坐标系，描出己补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；‎ 第1题答图 ‎(3)结合画出的函数图象，解决问题：当△PAN为等腰三角形时，AP的长度约为__2.2(答案不唯一)__cm.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解析】 (3)如答图，作y＝x与函数图象交点即为所求．则AP≈2.2(答案不唯一)．‎ ‎2．(15分)[2017·襄阳]如图4－4－2，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是中线，AC＝BC.一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC，BC的延长线相交，交点分别为点E，F，DF与AC交于点M，DE与BC交于点N.‎ 图4－4－2‎ ‎(1)如图①，若CE＝CF，求证：DE＝DF；‎ ‎(2)如图②，在∠EDF绕点D旋转的过程中：‎ ‎①探究三条线段AB，CE，CF之间的数量关系，并说明理由；‎ ‎②若CE＝4，CF＝2，求DN的长．‎ 解：(1)证明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，AD＝BD，‎ ‎∴∠BCD＝∠ACD＝45°，∠BCE＝∠ACF＝90°.‎ ‎∴∠DCE＝∠DCF＝135°.‎ 又∵CE＝CF，CD＝CD，∴△DCE≌△DCF.‎ ‎∴DE＝DF；‎ ‎(2)①∵∠DCF＝∠DCE＝135°，‎ ‎∴∠CDF＋∠F＝180°－135°＝45°.‎ ‎ 第2题答图 又∵∠CDF＋∠CDE＝45°，∴∠F＝∠CDE.‎ ‎∴△CDF∽△CED，∴＝，即CD2＝CE·CF.‎ ‎∵∠ACB＝90°，AC＝BC，AD＝BD，∴CD＝AB.‎ ‎∴AB2＝4CE·CF.‎ ‎②如答图，过点D作DG⊥BC于G，则∠DGN 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎＝∠ECN＝90°，CG＝DG.‎ 当CE＝4，CF＝2时，由CD2＝CE·CF，得CD＝2 .‎ ‎∴在Rt△DCG中，CG＝DG＝CD·sin∠DCG＝2×sin45°＝2.‎ ‎∵∠ECN＝∠DGN，∠ENC＝∠DNG，∴△CEN∽△GDN.‎ ‎∴ ＝＝2，∴GN＝CG＝.‎ ‎∴DN＝ ＝ ＝.‎ ‎3．(15分)(1)问题发现与探究：‎ 如图4－4－3①，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM⊥AE于点M，连结BD，则：‎ ‎①线段AE，BD之间的大小关系是__AE＝BD__，∠ADB＝__90°__，并说明理由．‎ ‎②求证：AD＝2CM＋BD；‎ ‎(2)问题拓展与应用：‎ 如图②、图③，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，过点A作直线，在直线上取点D，∠ADC＝45°，连结BD，BD＝1，AC＝，则点C到直线的距离是____或____，写出计算过程．‎ 图4－4－3‎ 解：(1)①∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，‎ ‎∴AC＝BC，CE＝CD，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACE＋∠ECB＝∠BCD＋∠ECB，∴∠ACE＝∠BCD，在△ACE与△BCD中，‎ ∴△ACE≌△BCD(SAS)，∴AE＝BD，∠AEC＝∠BDC，∵∠‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 CED＝∠CDE＝45°，∴∠AEC＝135°，∴∠BDC＝135°，‎ ‎∴∠ADB＝90°；‎ ‎②证明：在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高，‎ ‎∴CM＝DM＝ME，∴DE＝2CM.∴AD＝DE＋AE＝2CM＋BD；‎ ‎(2)如答图①，过点C作CH⊥AD于点H，CE⊥CD交AD于点E，则△CDE是等腰直角三角形，由(1)知，AE＝BD＝1，∠ADB＝90°，∵AB＝AC＝2，∴AD＝＝，∴DE＝AD－AE＝－1，∵△CDE是等腰直角三角形，∴CH＝DE＝；‎ 如答图②，过点C作CH⊥AD于点H，CE⊥CD交AD于点E，则△CDE是等腰直角三角形，由(1)知，AE＝BD＝1，∠ADB＝90°，∵AB＝AC＝2，∴AD＝＝，∴DE＝AE＋AD＝1＋，∵△CDE是等腰直角三角形，∴CH＝DE＝.‎ 综上，点C到直线的距离是或.‎ 第3题答图 ‎4．(15分)在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，点D是线段BC的中点，∠EDF＝120°，DE与线段AB相交于点E，DF与线段AC(或AC的延长线)相交于点F.‎ ‎(1)如图4－4－4①，若DF⊥AC，垂足为F，AB＝4，求BE的长；‎ ‎(2)如图②，将(1)中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F.求证：BE＋CF＝AB；‎ ‎(3)如图③，将(2)中的∠EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 与线段AC的延长线相交于点F，作DN⊥AC于点N，若DN＝FN，求证：BE＋CF＝(BE－CF)．‎ 图4－4－4‎ 解：(1)∵AB＝AC，∠A＝60°，‎ ‎∴△ABC是等边三角形，‎ ‎∴∠B＝∠C＝60°，BC＝AC＝AB＝4.‎ ‎∵点D是线段BC的中点，‎ ‎∴BD＝DC＝BC＝2.‎ ‎∵DF⊥AC，即∠AFD＝90°，‎ ‎∴∠AED＝360°－60°－90°－120°＝90°，‎ ‎∴∠BED＝90°，∴BE＝BD·cosB＝2×＝1；‎ ‎(2)证明：如答图①，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，则有∠AMD＝∠BMD＝∠AND＝∠CND＝90°.‎ 第4题答图①‎ ‎∵∠A＝60°，∴∠MDN＝360°－60°－90°－90°＝120°.‎ ‎∵∠EDF＝120°，‎ ‎∴∠MDE＝∠NDF.‎ 在△MBD和△NCD中，‎ ‎ ∴△MBD≌△NCD，∴BM＝CN，DM＝DN.‎ 在△EMD和△FND中，‎ ‎∴△EMD≌△FND，∴EM＝FN，‎ ‎∴BE＋CF＝BM＋EM＋CF＝BM＋FN＋CF＝BM＋CN＝2BM＝2BD·cos60°＝‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 BD＝BC＝AB；‎ ‎(3)如答图②，过点D作DM⊥AB于M，‎ 同(1)可得∠B＝∠ACD＝60°.‎ 第4题答图②‎ 同(2)可得BM＝CN，DM＝DN，EM＝FN.‎ ‎∵DN＝FN，∴DM＝DN＝FN＝EM，‎ ‎∴BE＋CF＝BM＋EM＋CF＝CN＋DM＋CF＝NF＋DM＝2DM，‎ BE－CF＝BM＋EM－CF＝BM＋NF－CF ‎＝BM＋NC＝2BM.‎ 在Rt△BMD中，DM＝BM·tanB＝BM，‎ ‎∴BE＋CF＝ (BE－CF)．‎ ‎(20分)‎ ‎5．(20分)[2017·天门]在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D与点B在AC同侧，∠DAC＞∠BAC，且DA＝DC，过点B作BE∥DA交DC于点E，M为AB的中点，连结MD，ME.‎ ‎(1)如图4－4－5①，当∠ADC＝90°时，线段MD与ME的数量关系是__MD＝ME；__；‎ 图4－4－5‎ ‎(2)如图②，当∠ADC＝60°时，试探究线段MD与ME的数量关系，并证明你的结论；‎ ‎(3)如图③，当∠ADC＝α时，求的值．‎ 解：(2)MD＝ ME.‎ 证明：如答图①，延长EM交DA于点F，‎ ‎∵BE∥DA，∴∠FAM＝∠EBM，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 又∵AM＝BM，∠AMF＝∠BMF，‎ ‎∴△AMF≌△BME，∴AF＝BE，MF＝ME，‎ ‎∵DA＝DC，∠ADC＝60°，‎ ‎∴∠BED＝∠ADC＝60°，∠ACD＝60°，‎ ‎∵∠ACB＝90°，∴∠ECB＝30°，‎ ‎∴∠EBC＝30°，∴CE＝BE，∴DF＝DE，∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，‎ ‎∴∠MDE＝30°.‎ 在Rt△MDE中，tan∠MDE＝＝.‎ ‎∴MD＝ ME；‎ 第5题答图 ‎(3)如答图②，延长EM交DA于点F，‎ ‎∵BE∥DA，∴∠FAM＝EBM，‎ 又∵AM＝BM，∠AMF＝∠BME，‎ ‎∴△AMF≌△BME，∴AF＝BE，MF＝ME，‎ 延长BE交AC于点N，∴∠BNC＝∠DAC，‎ ‎∵DA＝DC，∴∠DCA＝∠DAC，∴∠BNC＝∠DCA，‎ ‎∵∠ACB＝90°，∴∠ECB＝∠EBC，‎ ‎∴CE＝BE，∴AF＝CE，‎ ‎∴DF＝DE，∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，‎ ‎∵∠ADC＝α，∴∠MDE＝，‎ ‎∴在Rt△MDE中，＝tan∠MDE＝tan.‎ ‎(20分)‎ 图4－4－6‎ ‎6．(20分)[2017·衡阳]如图4－4－6，正方形ABCD的边长为1，点E为边AB上一动点，连结CE并将其绕点C顺时针旋转得到CF，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 连结DF，以CE，CF为邻边作矩形CFGE，GE与AD，AC分别交于点H，M，GF交CD延长线于点N.‎ ‎(1)证明：点A，D，F在同一条直线上；‎ ‎(2)随着点E的移动，线段DH是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由；‎ ‎(3)连结EF，MN，当MN∥EF时，求AE的长．‎ ‎【解析】(1)证明三点共线，一般是证明中间点与另两点连线的夹角等于180°.由旋转不改变图形的形状和大小，可证△CBE≌△CDF，得到∠CDF＝∠CBE＝90°，所以可证∠ADF＝180°，问题得证．‎ ‎(2)求AE的最值，需要建立适当的函数模型，考虑AE，AH是同一个直角三角形的边，所以设AH＝y，AE＝x，由图直观看出△CBE∽△EAH，利用对应边成比例，可以得出y与x的函数关系式，从而最值问题可解．‎ ‎(3)连结CG，根据正方形是轴对称图形，对角线所在的直线是对称轴，EF∥MN，所以NG＝GM，所以CN＝CM，从而可推出∠EFD＝∠ECA＝∠1＝∠3，所以Rt△CBE∽Rt△FAE，所以＝，因此AE可求．‎ ‎　　　‎ 第6题答图 解：(1)证明：如答图①，由旋转的性质知，CF＝CE，‎ 又∵∠1＋∠2＝∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3，‎ 又∵ CD＝CB，∴△CBE≌△CDF，‎ ‎∴∠CDF＝∠CBE＝90°，∴∠ADF＝180°.‎ 故点A，D，F三点共线；‎ ‎(2)设DH＝y，AH＝1－y，AE＝x，在Rt△CBE和Rt△EAH中，∠4＋∠5＝90°，‎ ‎∴Rt△CBE∽Rt△EAH，‎ ‎∴＝，即＝，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴y＝x2－x＋1＝＋，‎ 即当点E是AB的中点时，DH最小，最小值为；‎ ‎(3)如答图②，连结CG.∵矩形∠FGE是正方形，对角线CG所在的直线是其对称轴，‎ 又∵FG＝GE，EF∥MN，∴GN＝GM，‎ ‎∴CN＝CM，‎ 又∵∠CNM＝45°＋∠3，∠NMC＝45°＋∠ECM，‎ 又∵∠ECM＝∠EFH，∴∠3＝∠EFH＝∠1，‎ ‎∴Rt△CBE∽Rt△FAE，∴＝，‎ BC＝1，BE＝1－AE，AF＝1＋1－AE＝2－AE，‎ 即有＝，∴AE2－4AE＋2＝0，‎ 解得AE＝2＋ >1(不合题意，舍去)，AE＝2－.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费