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第3课时 方法模拟型问题
(56分)
一、选择题(共6分)
1．[2016·济南]定义：点A(x，y)为平面直角坐标系内的点，若满足x＝y，则把点A叫做“平衡点”．例如：M(1，1)，N(－2，－2)都是“平衡点”．当－1≤x≤3时，直线y＝2x＋m上有“平衡点”，则m的取值范围是 ( B )
A．0≤m≤1
B．－3≤m≤1
C．－3≤m≤3
D．－1≤m≤0
【解析】 ∵x＝y，∴x＝2x＋m，即x＝－m.∵－1≤x≤3，∴－1≤－m≤3，∴－3≤m≤1.
二、填空题(每题6分，共18分)
2．[2017·临沂]在平面直角坐标系中，如果点P坐标为(m，n)，向量可以用点P坐标表示为＝(m，n)．
已知：＝(x1，y1)，(x2，y2)，如果x1x2＋y1y2＝0，那么与互相垂直，下列四组向量：
①＝(2，1)，＝(－1，2)；
②＝(cos30°，tan45°)，＝(1，sin60°)；
③＝(－，－2)，＝；
④＝(π0，2)，＝(2，－1)．
其中互相垂直的是__①③④__(填上所有正确答案的序号)．
【解析】 ①∵2×(－1)＋1×2＝0，∴与互相垂直；
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②∵cos30°×1＋tan45°·sin60°＝×1＋1×＝≠0，∴与不互相垂直；
③∵(－)(＋)＋(－2)×＝3－2－1＝0，∴与互相垂直；
④∵π0×2＋2×(－1)＝2－2＝0，∴与互相垂直．
综上所述，①③④互相垂直．
3．[2017·威海]阅读理解：如图1－3－1①，⊙O与直线a，b都相切，不论⊙O如何转动，直线a，b之间的距离始终保持不变(等于⊙O的直径)，我们把具有这一特性的图形称为“等宽曲线”，图②是利用圆的这一特性的例子，将等直径的圆棍放在物体下面，通过圆棍滚动，用较小的力就可以推动物体前进，据说，古埃及人就是利用这样的方法将巨石推到金字塔顶的．
拓展应用：如图③所示的弧三角形(也称为莱洛三角形)也是“等宽曲线”，如图④，夹在平行线c，d之间的莱洛三角形无论怎么滚动，平行线间的距离始终不变，若直线c，d之间的距离等于2 cm，则莱洛三角形的周长为__2π__cm.
图1－3－1
【解析】 由题意知AB＝BC＝AC＝2 cm，∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∴在以点C为圆心、2为半径的圆上，∴的长为＝π，则莱洛三角形的周长为π×3＝2π.
4．[2017·百色]阅读理解：用“十字相乘法”分解因式2x2－x－3的方法．
(1)二次项系数2＝1×2；
(2)常数项－3＝－1×3＝1×(－3)，验算：“交叉相乘之和”；
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(3)发现第③个“交叉相乘之和”的结果1×(－3)＋2×1＝－1，等于一次项系数－1，即(x＋1)(2x－3)＝2x2－3x＋2x－3＝2x2－x－3，则2x2－x－3＝(x＋1)(2x－3)，像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法，仿照以上方法，分解因式：3x2＋5x－12＝__(x＋3)(3x－4)__．
三、解答题(共32分)
5．(10分)[2016·郴州]设a，b是任意两个实数，规定a与b之间的一种运算“⊕”为：a⊕b＝
例如：1⊕(－3)＝＝－3，(－3)⊕2＝(－3)－2＝－5，(x2＋1)⊕(x－1)＝(因为x2＋1＞0)．
参照上面材料，解答下列问题：
(1)2⊕4＝__2__，(－2)⊕4＝__－6__；
(2)若x＞，且满足(2x－1)⊕(4x2－1)＝(－4)⊕(1－4x)，求x的值．
解：(1)2⊕4＝＝2，(－2)⊕4＝－2－4＝－6；
(2)∵x＞，(2x－1)⊕(4x2－1)＝(－4)⊕(1－4x)，
即 ＝－4－(1－4x), ＝4x－5，
4x2－1＝(4x－5)(2x－1)，4x2－1＝8x2－14x＋5，
2x2－7x＋3＝0，(2x－1)(x－3)＝0，
解得x1＝，x2＝3.经检验，x1＝是增根，x2＝3是原方程的解，故x的值是3.
6．(10分)[2016·南京]用两种方法证明“三角形的外角和等于360°”．
如图1－3－2，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角．
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图1－3－2
求证：∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝360°.
证法1：∵__平角等于180°__，
∴∠BAE＋∠1＋∠CBF＋∠2＋∠ACD＋∠3＝180°×3＝540°，
∴∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝540°－(∠1＋∠2＋∠3)．
∵__∠1＋∠2＋∠3＝180°__，
∴∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝540°－180°＝360°.
请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2.
证明：证法1：∵平角等于180°，
∴∠BAE＋∠1＋∠CBF＋∠2＋∠ACD＋∠3＝180°×3＝540°，
∴∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝540°－(∠1＋∠2＋∠3)．
∵∠1＋∠2＋∠3＝180°，
∴∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝540°－180°＝360°.
证法2：∵∠BAE＝∠2＋∠3，∠CBF＝∠1＋∠3，∠ACD＝∠1＋∠2，
∴∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝2(∠1＋∠2＋∠3)，
∵∠1＋∠2＋∠3＝180°，
∴∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝360°.
7．(12分)先阅读下列材料，然后解答问题：
材料1：从三张不同的卡片中选出两张排成一列，有6种不同的排法，抽象成数学问题就是从3个不同的元素中选取2个元素的排列，排列数记为A＝3×2＝6.
一般地，从n个不同的元素中选取m个元素的排列数记做A.A＝n(n－1)(n－2)(n－3)…(n－m＋1)(m≤n)．
例：从5个不同的元素中选取3个元素排成一列的排列数为：A＝5×4×3＝60.
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材料2：从三张不同的卡片中选取两张，有3种不同的选法，抽象成数学问题就是从3个元素中选取2个元素的组合，组合数为C＝＝3.
例如，从6个不同的元素选3个元素的组合数为：C＝＝20.
问：(1)从某个学习小组8人中选取3人参加活动，有__56__种不同的选法；
(2)从7个人中选取4人，排成一列，有多少种不同的排法．
解：(1)C＝＝56(种)；
(2)A＝7×6×5×4＝840(种)．
(28分)
8．(14分)[2017·自贡]【探究函数y＝x＋的图象与性质】
(1)函数y＝x＋的自变量x取值范围是__x≠0__；
(2)下列四个函数图象中函数y＝x＋的图象大致是 ( C )
(3)对于函数y＝x＋，求当x＞0时y的取值范围．
请将下列的求解过程补充完整．
解：∵x＞0，
∴y＝x＋＝()2＋＝＋__4__，
∵≥0，∴y≥__4__．
【拓展运用】
(4)若函数y＝，则y的取值范围是__y≥1或y≤－11__．
【解析】 (4)①当x＞0时，y＝ ＝x＋－5＝()2＋－5＝＋1，∵≥0，∴y≥1；
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②当x＜0时，y＝＝x＋－5
＝－
＝－－11，
∵－≤0，∴y≤－11.综上所述，y≥1或y≤－11.
9．(14分)[2017·德州]有这样一个问题：探究同一平面直角坐标系中系数互为倒数的正、反比例函数y＝x与y＝(k≠0)的图象性质．
小明根据学习函数的经验，对函数y＝x与y＝，当k＞0时的图象性质进行了探究．
下面是小明的探究过程：
(1)如图1－3－3所示，设函数y＝x与y＝图象的交点为A，B.已知A点的坐标为(－k，－1)，则B点的坐标为__(k，1)__．
(2)若点P为第一象限内双曲线上不同于点B的任意一点．
①设直线PA交x轴于点M，直线PB交x轴于点N.
求证：PM＝PN.
证明：设P，直线PA的表达式为y＝ax＋b(a≠0)，则解得
∴直线PA的表达式为__y＝x＋－1__．
请你把上面的解答过程补充完整，并完成剩余的证明．
②当P点坐标为(1，k)(k≠1)时，判断△PAB的形状，并用k表示出△PAB的面积．
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图1－3－3 备用图
【解析】 (1)根据反比例函数的对称性可知点A与点B关于原点O对称，据此可求B点的坐标；
(2)①利用加减消元法易求a，b的值(用含m，k的式子表示)；利用直线PA的表达式，确定点M的坐标，过点P作PH⊥x轴于H，利用点的坐标表示MN与PH的长，再利用勾股定理求得PM的长，同理求得PN长，可得结论PM＝PN.
②当P点坐标为(1，k)(k≠1)时，有MH＝HN＝PH，从而可求∠APB＝90°，故△PAB为直角三角形．分k＞1，0＜k＜1两种情况，利用相关三角形的面积和差计算△PAB的面积．
第9题答图①
解：(1)B点的坐标为(k，1)；
(2)①证明过程如下：设P，
直线PA的表达式为y＝ax＋b(a≠0)，
则 解得
所以直线PA的表达式为y＝x＋－1.
令y＝0，得x＝m－k.∴M点的坐标为(m－k，0)．
如答图①，过点P作PH⊥x轴于H，∴点H的坐标为(m，0)．
∴MH＝xH－xM＝m－(m－k)＝k.
同理可得HN＝k，∴PM＝PN.
②由①知，在△PMN中，PM＝PN，
∴△PMN为等腰三角形，且MH＝HN＝k.
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当P点坐标为(1，k)时，PH＝k，∴MH＝HN＝PH.
∴∠PMH＝∠MPH＝45°，∠PNH＝∠NPH＝45°.
∴∠MPN＝90°，即∠APB＝90°.∴△PAB为直角三角形．
当k＞1时，如答图①，S△PAB＝ S△PMN－S△OBN＋ S△OAM
＝MN·PH－ON·yB＋OM·|yA|
第9题答图②
＝×2k·k－(k＋1)×1＋(k－1)×1＝k2－1.
当0＜k＜1时，如答图②，
S△PAB＝ S△OBN－S△PMN＋ S△OAM
＝ON·yB－k2＋OM·|yA|
＝(k＋1)×1－k2＋(1－k)×1＝1－k2.
(16分)
10．(16分)[2017·江西]我们定义：如图1－3－4①，在△ABC中，把AB点绕点A顺时针旋转α(0°＜α＜180°)得到AB′，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连结B′C′.当α＋β＝180°时，我们称△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，△AB′C′边B′C′上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．
特例感知：
(1)在图②，图③中，△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．
①如图②，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD＝____BC；
②如图③，当∠BAC＝90°，BC＝8时，则AD长为__4__．
猜想论证：
(2)在图①中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．
拓展应用
(3)如图④，在四边形ABCD中，∠C＝90°，∠D＝150°，BC＝12，CD＝2，DA＝6.在四边形内部是否存在点P，使△PDC是△PAB的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求△PAB的“旋补中线”长；若不存在，
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请说明理由．
图1－3－4
解：(1)∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝AB′＝AC′，∵DB′＝DC′，∴AD⊥B′C′，
∵∠BAC＝60°，∠BAC＋∠B′AC′＝180°，
∴∠B′AC′＝120°，∴∠B′＝∠C′＝30°，
∴AD＝AB′＝BC.故答案为.
②∵∠BAC＝90°，∠BAC＋∠B′AC′＝180°，
∴∠B′AC′＝∠BAC＝90°，∵AB＝AB′，AC＝AC′，
∴△BAC≌△B′AC′，∴BC＝B′C′，
∵B′D＝DC′，∴AD＝B′C′＝BC＝4.故答案为4.
(2)结论：AD＝BC.理由：
如答图①，延长AD到M，使得AD＝DM，连结B′M，C′M，
∵B′D＝DC′，AD＝DM，
∴四边形AC′MB′是平行四边形，∴AC′＝B′M＝AC，
∵∠BAC＋∠B′AC′＝180°，∠B′AC′＋∠AB′M＝180°，
∴∠BAC＝∠MB′A，∵AB＝AB′，∴△BAC≌△AB′M，
∴BC＝AM，∴AD＝BC.
第10题答图① 第10题答图②
(3)存在．理由：
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如答图②，延长AD交BC的延长线于M，作BE⊥AD于E，作线段BC的垂直平分线交BE于P，交BC于F，连结PA，PD，PC，作△PCD的中线PN.连结DF交PC于O.
∵∠ADC＝150°，∴∠MDC＝30°，
在Rt△DCM中，∵CD＝2，∠DCM＝90°，∠MDC＝30°，
∴CM＝2，DM＝4，∠M＝60°，
在Rt△BEM中，∵∠BEM＝90°，BM＝14，∠MBE＝30°，
∴EM＝BM＝7，∴DE＝EM－DM＝3，
∵AD＝6，∴AE＝DE，∵BE⊥AD，PE⊥PC，BF＝FC，∴PA＝PD，PB＝PC，
在Rt△CDF中，∵CD＝2，CF＝6，
∴tan∠CDF＝，∴∠CDF＝60°＝∠CPF，
易证△FCP≌△CFD，∴CD＝PF，∵CD∥PF，
∴四边形CDPF是矩形，∴∠CDP＝90°，
∴∠ADP＝∠ADC－∠CDP＝60°，
∴△ADP是等边三角形，
∴∠ADP＝60°，∵∠BPF＝∠CPF＝60°，
∴∠BPC＝120°，∴∠APD＋∠BPC＝180°，
又∵PB＝PC，PA＝PD，
∴△PDC是△PAB的“旋补三角形”，
在Rt△PDN中，∵∠PDN＝90°，PD＝AD＝6，DN＝，
∴PN＝＝＝.
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