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4.3 简单线性规划的应用
课后篇巩固探究
A组
1.已知点(x,y)构成的平面区域如图阴影部分,z=mx+y(m为常数)在平面区域内取得最大值的最优解有无数多个,则m的值为 ( )
A.- B.
C. D.
解析:观察平面区域可知直线y=-mx+z与直线AC重合,则-m=kAC==-,解得m=.
答案:B
2.如图,目标函数z=ax-y的可行域为四边形OACB(含边界),若C是该目标函数z=ax-y唯一的最优解,则a的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
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解析:最优解为点C,则目标函数表示的直线斜率在直线BC与AC的斜率之间.
因为kBC=-,kAC=-,所以a∈.
答案:B
3.若直线y=2x上存在点(x,y)满足约束条件则实数m的最大值为 .
解析:由约束条件作出其可行域如图.
由图可知,当直线x=m过直线y=2x与x+y-3=0的交点(1,2)时,m取得最大值,此时m=1.
答案:1
4.某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元.现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件,则所需租赁费最少为 元.
解析:设甲种设备需要生产x天,乙种设备需要生产y天,此时该公司所需租赁费为z元,
则z=200x+300y.
又因为
画出该不等式组表示的平面区域,如图阴影部分所示.
解即点A(4,5).
由z=200x+300y,
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得直线y=-x+过点A(4,5)时,
z=200x+300y取得最小值,为2 300元.
答案:2 300
5.导学号33194075设不等式组表示的平面区域为D.若指数函数y=ax的图像上存在区域D上的点,则a的取值范围是 .
解析:画出可行域如图阴影部分,易知当a∈(0,1)时不符合题意,故a>1.
由得交点A(2,9).
由图像可知,当y=ax的图像经过该交点A时,a取最大值,此时a2=9,所以a=3.
故a∈(1,3].
答案:(1,3]
6.某养鸡场有1万只鸡,用动物饲料和谷物饲料混合喂养.每天每只鸡平均吃混合饲料0.5 kg,其中动物饲料不能少于谷物饲料的.动物饲料每千克0.9元,谷物饲料每千克0.28元,饲料公司每周仅保证供应谷物饲料50 000 kg,问饲料怎样混合,才使成本最低?
解设每周需用谷物饲料x kg,动物饲料y kg,每周总的饲料费用为z元,则
而z=0.28x+0.9y,如图,作出不等式组所表示的平面区域,即可行域.作一组平行直线0.28x+0.9y=t.其中经过可行域内的点A时,z最小,又直线x+y=35 000和直线y=x的交点A
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.
即x=,y=时,饲料费用最低.
答:谷物饲料和动物饲料应按5∶1的比例混合,此时成本最低.
B组
1.某学校用800元购买A,B两种教学用品,A种用品每件100元,B种用品每件160元,两种用品至少各买一件,要使剩下的钱最少,A,B两种用品应各买的件数为 ( )
A.1件,4件 B.3件,3件
C.4件,2件 D.不确定
解析:设买A种用品x件,B种用品y件,剩下的钱为z元,
则
求z=800-100x-160y取得最小值时的整数解(x,y),用图解法求得整数解为(3,3).
答案:B
2.已知x,y满足条件(k为常数),若目标函数z=x+3y的最大值为8,则k=( )
A.-16 B.-6 C.- D.6
解析:由z=x+3y得y=-x+.
先作出的图像,因为目标函数z=x+3y的最大值为8,
所以直线2x+y+k=0过直线x+3y=8与直线y=x的交点A,由解得A(2,2),代入直线2x+y+k=0,得k=-6.故选B.
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答案:B
3.已知在图中的可行域内(阴影部分,且包括边界),目标函数z=x+ay取得最小值的最优解有无数个,则a的值为( )
A.-3 B.3
C.-1 D.1
解析:当a=0时,z=x.仅当直线x=z过点A(1,1)时,
目标函数z有最小值1,与题意不符.
当a>0时,y=-x+.
斜率k=-
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