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2017-2018学年广西南宁市九年级（上）期末模拟数学试卷
一、选择题（共10题；共30分）
1.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A. 3（x+1）2=2（x+1） B. C. ax2+bx+c=0 D. 2x=1
2.计算2×÷3的结果是（ ）
A. B. C. D.
3.如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO的延长线交⊙O于C点，连接BC，若∠A=30°，AB=2 ，则AC等于（ ）
A. 4 B. 6 C. 4 D. 6
4.某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为128元．已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（ ）
A. 168（1+x）2=128 B. 168（1﹣x）2=128
C. 168（1﹣2x）=128 D. 168（1﹣x2）=128
5.中央电视台“幸运52”栏目中的“百宝箱”互动环节，是一种竞猜游戏，游戏规则如下：在20个商标中，有5个商标牌的背面注明了一定的奖金额，其余商标的背面是一张苦脸，若翻到它就不得奖．参加这个游戏的观众有三次翻牌的机会．某观众前两次翻牌均得若干奖金，如果翻过的牌不能再翻，那么这位观众第三次翻牌获奖的概率是（ ）
A. B. C. D.
6.在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2．那么下列说法中不正确的是（ ）
A. 当a＜1时，点B在⊙A外 B. 当1＜a＜5时，点B在⊙A内
C. 当a＜5时，点B在⊙A内 D. 当a＞5时，点B在⊙A外
7.上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元. 下列所列方程中正确的是（）
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A. 168（1+a）2=128 B. 168（1-a%）2=128
C. 168（1-2a%）=128 D. 168（1-a2%）=128
8.如果a=2+， b=那么（ ）
A. a＞b B. a=b C. a＜b D. a=
9.某校九年级（1）班50名学生中有20名团员，他们都积极报名参加成都市“文明劝导活动”。根据要求，该班从团员中随机抽取1名参加，则该班团员小亮被抽到的概率是（ ）
A. B. C. D.
10.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（4，3），将线段OA绕原点O顺时针旋转180°，得到OA′，则点A′的坐标是（ ）
A. （﹣4，3） B. （﹣3，4） C. （3，﹣4） D. （﹣4，﹣3）
二、填空题（共8题；共24分）
11.如图，A（ ，1），B（1， ）．将△AOB绕点O旋转150°得到△A′OB′，则此时点A的对应点A′的坐标为________．
12.计算： ________．
13.⊙O为△ABC的内切圆，⊙O与AB相切于D，△ABC周长为12，BC=4，则AD=________
14.已知AB、CD为⊙O的两条弦，圆心O到它们的距离分别为OM、ON，如果AB＞CD，那么OM________ON．（填“＞、=、＜”中的一种）
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15.计算：=________
16.圆的一条弦分圆成4：5两部分，则此弦所对的圆心角等于________ ．
17.小亮与小明一起玩“石头、剪刀、布”的游戏，两同学同时出“剪刀”的概率是________．
18.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠B=135°，则 的长________．
三、解答题（共6题；共36分）
19.随着市民环保意识的增强，烟花爆竹销售量逐年下降．咸宁市2011年销售烟花爆竹20万箱，到2013年烟花爆竹销售量为9.8万箱．求咸宁市2011年到2013年烟花爆竹年销售量的平均下降率．
20.设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m．n]上的“闭函数”．如函数y=﹣x+4，当x=1时，y=3；当x=3时，y=1，即当1≤x≤3时，有1≤y≤3，所以说函数y=﹣x+4是闭区间[1，3]上的“闭函数”．
（1）反比例函数y=是闭区间[1，2015]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；
（2）若二次函数y=x2﹣2x﹣k是闭区间[1，2]上的“闭函数”，求k的值；
（3）若一次函数y=kx+b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，求此函数的解析式（用含m，n的代数式表示）．
21.已知Rt△ABC的三边长分别为a，b，c，且a和b满足+b2-4b+4=0．
（1）求a、b的长；
（2）求△ABC的面积．
22.如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的半圆O交BC于点E，DE⊥AB，垂足为D．
（1）求证：点E是BC的中点；
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（2）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（3）如果⊙O的直径为9，cosB=， 求DE的长．
23.已知y1=x2﹣2x+3，y2=3x﹣k．
（1）当x=1时，求出使等式y1=y2成立的实数k；
（2）若关于x的方程y1+k=y2有实数根，求k的取值范围．
24.两枚正四面体骰子的各面上分别标有数字1，2，3，4，现在同时投掷这两枚骰子，并分别记录着地的面所得的点数为a、b．
（1）假设两枚正四面体都是质地均匀，各面着地的可能性相同，请你在下面表格内列举出所有情形（例如（1，2），表示a=1，b=2），并求出两次着地的面点数相同的概率．
b
a
1
2
3
4
1
（1，2）
2
3
4
（2）为了验证试验用的正四面体质地是否均匀，小明和他的同学取一枚正四面体进行投掷试验．试验中标号为1的面着地的数据如下：
试验总次数
50
100
150
200
250
500
“标号1”的面着地的次数
15
26
34
48
63
125
“标号1”的面着地的频率
0.3
0.26
0.23
0.24
请完成表格（数字精确到0.01），并根据表格中的数据估计“标号1的面着地”的概率是多少？
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四、综合题（共10分）
25.如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB、AB，∠PBA=∠C．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）连接OP，若OP∥BC，且OP=8，⊙O的半径为2 ，求BC的长．
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2017-2018学年广西南宁市第二十六中学九年级（上）期末模拟数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1.【答案】A
【考点】一元二次方程的定义
【解析】【解答】解：A、符合一元二次方程的定义，正确； B、不是整式方程，故错误；
C、方程二次项系数可能为0，故错误；
D、方程未知数的次数为1次，故不是一元二次方程，故错误．
故选A．
【分析】根据一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数进行分析即可．
2.【答案】B
【考点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：2×÷3
=3÷3
=
故选B．
【分析】根据二次根式的运算法则，按照运算顺序进行计算即可．
3.【答案】B
【考点】切线的性质
【解析】【解答】解：连接OB．
∵AB是⊙O的切线，B为切点，
∴OB⊥AB，
在直角△OAB中，OB=AB•tanA=2 × =2，
则OA=2OB=4，
∴AC=4+2=6．
故选B．
【分析】连接OB，则△AOB是直角三角形，利用三角函数即可求得OA的长，则AC即可求解．
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4.【答案】B
【考点】一元二次方程的应用
【解析】试题【分析】设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1-降价的百分率），则第一次降价后的价格是168（1-x），第二次后的价格是168（1-x）2， 据此即可列方程求解。
【解答】根据题意得：168（1-x）2=128，
故选B．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可。
5.【答案】D
【考点】列表法与树状图法
【解析】【分析】先计算出此观众前两次翻牌均获得若干奖金后，现在还有多少个商标牌，其中有奖的有多少个，它们的比值即为所求．
∵某观众前两次翻牌均获得若干奖金，即现在还有18个商标牌，其中有奖的有3个，
∴他第三次翻牌获奖的概率是,
故选D.
【点评】解答本题的关键是掌握如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．
6.【答案】C
【考点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：A、a＜1时，d＞2，点B在⊙A外，故A正确； B、当1＜a＜5时，点B在⊙A内，故B正确；
C、当1＜a＜5时，点B在⊙A内，故C错误；
D、当a＞5时，点B在⊙A外，故D正确；
故选：C．
【分析】根据当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内，可得答案．
7.【答案】B
【考点】一元二次方程的应用
【解析】当商品第一次降价a%时，其售价为168-168a%=168（1-a%)；
当商品第二次降价a%后，其售价为168（1-a%)-168（1-a%)a%=168（1-a%)2．
∴168（1-a%)2=128．故选B．
8.【答案】B
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【考点】分母有理化
【解析】【解答】解： ．
∵a=2+，
∴a=b．
故选：B．
【分析】b=的分子、分母同时乘以（2+），然后对以下选项进行判断．
9.【答案】D
【考点】概率公式
【解析】【分析】全部是20名团员，抽取1名，所以被抽到的概率是．
10.【答案】D
【考点】坐标与图形变化-旋转
【解析】【解答】解：∵线段OA绕原点O顺时针旋转180°，得到OA′，
∴点A与点A′关于原点对称，
而点A的坐标为（4，3），
∴点A′的坐标为（﹣4，﹣3）．
故选D．
【分析】根据中心对称的定义得到点A与点A′关于原点对称，然后根据关于原点对称的点的坐标特征求解．
二、填空题
11.【答案】（﹣1，﹣ ）或（﹣2，0）
【考点】坐标与图形变化-旋转
【解析】【解答】解：过A作AC⊥x轴于C，∵A（ ，1），
∴OC= ，AC=1，
由勾股定理得：OA=2，
tan∠AOC= = ，
∴∠AOC=30°，
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分两种情况：
①将△AOB绕点O逆时针旋转150°得到△A′OB′，如图1，
此时OA在x轴上，则A′的坐标为（﹣2，0），
②将△AOB绕点O顺时针旋转150°得到△A′OB′，如图2，
过A′作A′D⊥x轴于D，
∵∠AOC=30°，∠AOA′=150°，
∴∠A′OC=150°﹣30°=120°，
∴∠A′OD=60°，
在Rt△A′OD中，∠DA′O=30°，A′O=2，
∴OD=1，A′D= ，
∴A′的坐标为（﹣1，﹣ ），
则点A的对应点A′的坐标为：（﹣2，0）或（﹣1，﹣ ）；
故答案为：（﹣2，0）或（﹣1，﹣ ）．
【分析】作辅助线，构建直角三角形，根据点A的坐标求直角△AOC三边的长，再分两种情况讨论：逆时针旋转150°或顺时针旋转150°，根据旋转角得特殊角，由30°角的直角三角形的性质可以依次求出A′的坐标．
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12.【答案】
【考点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】 ．
故答案为： ．
【分析】直接利用二次根式除法运算法则化简求出即可．
13.【答案】2
【考点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：根据切线长定理得：AD=AE，BD=BF，CE=CF，
设AE=AD=x，CF=CE=y，
则BD=BF=4﹣y，
根据题意得：x+4﹣y+4﹣y+y+y+x=12，
解得：x=2，
即AD=2．
故答案为：2．
【分析】由切线长定理得出AD=AE，BD=BF，CE=CF，设AE=AD=x，CF=CE=y，则BD=BF=4﹣y，根据题意得出方程，解方程求出x即可．
14.【答案】＜
【考点】垂径定理
【解析】【解答】解：如图，连接OD、OB．
∵OM⊥AB，ON⊥CD，
∴AM=BM，CN=DN，
∵AB＞CD，
∴BM＞DN，
∵OD=OB，
OM= ，ON= ，
∴OM＜ON．
故答案为＜
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【分析】如图，连接OD、OB．根据勾股定理可得OM= ，ON= ，因为BM＞DN，OB=OD即可判断．
15.【答案】
【考点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：
故答案为：．
【分析】根据分母有理化的法则计算即可．
16.【答案】160°
【考点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵弦AB把⊙O分成4：5的两部分，
∴的度数=360°×=160°，
∴所对圆心角的度数=160°，
故答案为：160°．
【分析】先根据弦把圆分成3：7的两部分求出的度数，再求出所对圆心角的度数即可．
17.【答案】
【考点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两同学同时出“剪刀”的有1种情况，
∴两同学同时出“剪刀”的概率是： ．
故答案为： ．
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【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两同学同时出“剪刀”的情况，再利用概率公式即可求得答案．
18.【答案】π
【考点】圆内接四边形的性质，弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OA、OC，
∵∠B=135°，
∴∠D=180°﹣135°=45°，
∴∠AOC=90°，
则 的长= =π．
故答案为：π．
【分析】要求弧AC的长，因此连接OA、OC，知道圆的半径，只需求出圆心角∠AOC的度数，再根据弧长公式即可求解。
三、解答题
19.【答案】解：设咸宁市2011年到2013年烟花爆竹年销售量的平均下降率是x，依题意得
20（1﹣x）2=9.8，
解这个方程，得x1=0.3，x2=1.7，
由于x2=1.7不符合题意，即x=0.3=30%．
答：咸宁市2011年到2013年烟花爆竹年销售量的平均下降率为30%．
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【分析】若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的量是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(其中增长取“+”,降低取“-”)，注意舍去不符合实际问题的解。
20.【答案】解：（1）反比例函数y=是闭区间[1，2015]上的“闭函数”．理由如下：
反比例函数y=在第一象限，y随x的增大而减小，
当x=1时，y=2015；
当x=2015时，y=1，
即图象过点（1，2015）和（2015，1）
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∴当1≤x≤2015时，有1≤y≤2015，符合闭函数的定义，
∴反比例函数y=是闭区间[1，2015]上的“闭函数”；
（2）由于二次函数y=x2﹣2x﹣k的图象开口向上，
对称轴为x=1，
∴二次函数y=x2﹣2x﹣k在闭区间[1，2]内，y随x的增大而增大．
当x=1时，y=1，
∴k=﹣2；
当x=2时，y=2，
∴k=﹣2；
即图象过点（1，1）和（2，2），
∴当1≤x≤2时，有1≤y≤2，符合闭函数的定义，
∴k=﹣2．
（3）因为一次函数y=kx+b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，
根据一次函数的图象与性质，有：
（Ⅰ）当k＞0时，即图象过点（m，m）和（n，n），
，
解得，
∴y=x；
（Ⅱ）当k＜0时，即图象过点（m，n）和（n，m），
可得：，
解得，
∴y=﹣x+m+n，
∴一次函数的解析式为y=x或y=﹣x+m+n．
【考点】二次函数的性质
【解析】【分析】（1）根据反比例函数y=的单调区间进行判断；
（2）由于二次函数y=x2﹣2x﹣k的图象开口向上，对称轴为x=1，所以二次函数y=x2﹣2x﹣k在闭区间[1，2]内，y随x的增大而增大．当x=1时，y=1，所以k=﹣2．当x=2时，y=2，所以k=﹣2．即图象过点（1，1）和（2，2），所以当1≤x≤2时，有1≤y≤2，符合闭函数的定义，所以k=﹣2．
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（3）根据新定义运算法则，分两种情况：k＞0，k＜0，列出关于系数k、b的方程组，通过解该方程组即可求得系数k、b的值，即可解答．
21.【答案】解：（1）+b2﹣4b+4=0，
配方得，+（b﹣2）2=0，
所以，a﹣3=0，b﹣2=0，
解得a=3，b=2；
（2）a=3是直角边时，2是直角边，△ABC的面积=×3×2=3，
a=3是斜边时，另一直角边==，
△ABC的面积=××2=，
综上所述，△ABC的面积为3或．
【考点】二次根式的应用
【解析】【分析】（1）根据完全平方公式整理，然后利用非负数的性质列式求解即可得到a、b的值；
（2）分a是直角边和斜边两种情况，利用勾股定理求出另一直角边，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
22.【答案】
【考点】圆周角定理，直线与圆的位置关系
【解析】【分析】
（1）连接AE，根据等腰三角形的性质易证.
（2）相切，连接OE，证明OE⊥DE即可，根据三角形中位线定理证明.
（3）在Rt△ABE中，可由锐角三角函数定义可求BE的长；在Rt△BDE中，可由锐角三角函数定义和勾股定理可求DE的长.
23.【答案】解：（1）当x=1时，y1=2，y2=3﹣k，
根据题意，得：2=3﹣k，
解得：k=1；
（2）由题意，x2﹣2x+3+k=3x﹣k，即x2﹣5x+3+2k=0有实数根，
∴△=（﹣5）2﹣4（3+2k）≥0，
解得：k≤．
【考点】根的判别式，根与系数的关系
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【解析】【分析】（1）把x=1代入y1=y2即x2﹣2x+3=3x﹣k，得关于k的方程，解方程可得k的值；
（2）由方程y1+k=y2即x2﹣2x+3+k=3x﹣k有实数根，可得△≥0，解不等式可得k的范围．
24.【答案】解：（1）填表如下：
b
a
1
2
3
4
1
（1，1）
（1，2）
（1，3）
（1，4）
2
（2，1）
（2，2）
（2，3）
（2，4）
3
（3，1）
（3，2）
（3，3）
（3，4）
4
（4，1）
（4，2）
（4，3）
（4，4）
从图表可知，共有16种等可能的情况，其中两次着地的面点数相同的情况有4种，分别是（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），
所以，两次着地的面点数相同的概率为
（2）填表如下：
试验总次数
50
100
150
200
250
500
“标号1”的面着地的次数
15
26
34
48
63
125
“标号1”的面着地的频率
0.3
0.26
0.23
0.24
0.25
0.25
由各组实验的频率可估计“标号1的面着地”的概率是0.25．
【考点】利用频率估计概率
【解析】【分析】（1）根据题意先在表格内列举出所有情形，再用两次着地的面点数相同的情况数除以总情况数即可；
（2）用“标号1”的面着地的次数除以试验总次数得到“标号1”的面着地的频率，再利用频率估计概率即可估计“标号1的面着地”的概率．
四、综合题
25.【答案】（1）证明：连接OB，如图所示： ∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∴∠C+∠BAC=90°，
∵OA=OB，
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∴∠BAC=∠OBA，
∵∠PBA=∠C，
∴∠PBA+∠OBA=90°，
即PB⊥OB，
∴PB是⊙O的切线
（2）解：∵⊙O的半径为2 ， ∴OB=2 ，AC=4 ，
∵OP∥BC，
∴∠C=∠BOP，
又∵∠ABC=∠PBO=90°，
∴△ABC∽△PBO，
∴ ，
即 ，
∴BC=2
【考点】切线的判定
【解析】【分析】（1）连接OB，由圆周角定理得出∠ABC=90°，得出∠C+∠BAC=90°，再由OA=OB，得出∠BAC=∠OBA，证出∠PBA+∠OBA=90°，即可得出结论；（2）证明△ABC∽△PBO，得出对应边成比例，即可求出BC的长．
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