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第五章 四边形
第18讲 平行四边形与多边形
(时间80分钟 满分80分)
A卷
一、选择题(本大题共6小题 ，每小题4分，共24分)
1．(2017·北京)若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是(B)
A．6 B．12 C．16 D．18
2．在下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是(A)
A．一组对边平行，另一组对边相等
B．一组对边平行且相等
C．两组对边分别平行
D．对角线互相平分
3．(2017·贵阳)如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE，若△CED的周长为6，则▱ABCD的周长为(导学号 35694185)(B)
A．6 B．12 C．18 D．24
4．(2017·乌鲁木齐)如果n边形每一个内角等于与它相邻外角的2倍，则n的值是(C)
A．4 B．5 C．6 D．7
5．(2017·辽阳)如图，在▱ABCD中，∠BAD＝120°，连接BD，作AE∥BD交CD延长线于点E，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，且CF＝1，则AB的长是(B)
A．2 B．1 C. D.
6．(2017·龙东地区)在平行四边形ABCD中，∠A的平分线把BC边分成长度是3和4的两部分，则平行四边形ABCD周长是(C)
A．22 B．20 C．22或20 D．18
二、填空题(本大题共5小题 ，每小题3分，共15分)
7．(2017·南京)如图，∠1是五边形ABCDE的一个外角，若∠1＝65°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝__425__°.(导学号 35694186)
第7题图
第8题图
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8．(2017·连云港)如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F.若∠EAF＝56°，则∠B＝__56°__．
9．如图，将平行四边形ABCO放置在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，若点A的坐标是(6，0)，点C的坐标是(1，4)，则点B的坐标是__(7，4)__．
第9题图
第10题图
10．(2017·怀化)如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，OE＝5 cm，则AD的长是__10__cm.
11．(2017·临沂)在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB＝4，BD＝10，sin∠BDC＝，则▱ABCD的面积是__24__.(导学号 35694187)
三、解答题(本大题共3小题，共21分)
12．(7分)(2017·南京)如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE＝CF，EF，BD相交于点O，求证：OE＝OF.
证明：如解图，连接BE、DF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵AE＝CF，
∴DE＝BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴OF＝OE.
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13．(7分)(2017·菏泽)如图，E是▱ABCD的边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于F，若CD＝6，求BF的长．
解：∵E是▱ABCD的边AD的中点，
∴AE＝DE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝6，AB∥CD，∴∠F＝∠DCE，
在△AEF和△DEC中，，
∴△AEF≌△DEC(AAS)，
∴AF＝CD＝6，∴BF＝AB＋AF＝12.
14．(7分)(2017·西宁)如图，四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，O是AC的中点，AD∥BC，AC＝8，BD＝6.
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)若AC⊥BD，求▱ABCD的面积．
(1)证明：∵O是AC的中点，
∴OA＝OC，
∵AD∥BC，
∴∠ADO＝∠CBO，
在△AOD和△COB中，，
∴△AOD≌△COB，∴OD＝OB，
∴四边形ABCD是平行四边形；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴S▱ABCD＝AC·BD＝24.
B卷
1．(4分)(2016·绵阳)如图，平行四边形ABCD的周长是26 cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3 cm，则AE的长度为(B)
A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．8 cm
第1题图
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第2题图
2．(4分)(2017·孝感)如图，六边形ABCDEF的内角都相等，∠DAB＝60°，AB＝DE，则下列结论成立的个数是(导学号 35694188)(D)
①AB∥DE；②EF∥AD∥BC；③AF＝CD；④四边形ACDF是平行四边形；⑤六边形ABCDEF既是中心对称图形，又是轴对称图形．
A．2 B．3 C．4 D．5
3．(3分)如图，四边形纸片ABCD中，∠A＝70°，∠B＝80°，将纸片折叠，使C，D落在AB边上的C′，D′处，折痕为MN，则∠AMD′＋∠BNC′＝__60°__.
4．(9分)(2017·大庆)如图，以BC为底边的等腰△ABC，点D，E，G分别在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延长GE至点F，使得BE＝BF.
(1)求证：四边形BDEF为平行四边形；
(2)当∠C＝45°，BD＝2时，求D，F两点间的距离．
(1)证明：∵△ABC是等腰三角形，∴∠ABC＝∠C，
∵EG∥BC，DE∥AC，
∴∠AEG＝∠ABC＝∠C，四边形CDEG是平行四边形，
∴∠DEG＝∠C，
∵BE＝BF，
∴∠BFE＝∠BEF＝∠AEG＝∠ABC，
∴∠F＝∠DEG，∴BF∥DE，
∴四边形BDEF为平行四边形；
(2)解：∵∠C＝45°，
∴∠ABC＝∠BFE＝∠BEF＝45°，
∴△BDE、△BEF是等腰直角三角形，
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∴BF＝BE＝BD＝，
作FM⊥BD于M，连接DF，如解图所示，
则△BFM是等腰直角三角形，
∴FM＝BM＝BF＝1，
∴DM＝3，
在Rt△DFM中，由勾股定理得：
DF＝＝，
即D，F两点间的距离为.
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第19讲 矩形、菱形与正方形
(时间80分钟 满分90分)
A卷
一、选择题(本大题共7小题 ，每小题4分，共28分)
1．(2017·上海)已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是(C)
A．∠BAC＝∠DCA B．∠BAC＝∠DAC
C．∠BAC＝∠ABD D．∠BAC＝∠ADB
2．(2017·聊城)如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是(导学号 35694189)(D)
A．AB＝AC B．AD＝BD
C．BE⊥AC D．BE平分∠ABC
第2题图
第4题图
3．在四边形ABCD中，AC、BD相交于O点，下列条件能判断四边形ABCD是正方形的是(D)
A．OA＝OC，OB＝OC
B．OA＝OB＝OC＝OD
C．OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD
D．OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD
4．(2017·怀化)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AC＝6 cm，则AB的长是(A)
A．3 cm B．6 cm C．10 cm D．12 cm
5．(2017·长沙)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6 cm，8 cm，则这个菱形的周长为(D)
A．5 cm B．10 cm C．14 cm D．20 cm
第5题图
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第6题图
6．(2017·株洲)如图，点E、F、G、H分别为四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA的中点，则关于四边形EFGH，下列说法正确的为(C)
A．一定不是平行四边形
B．一定不是中心对称图形
C．可能是轴对称图形
D．当AC＝BD时它是矩形
7．(2017·呼和浩特)如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，E，F为BD所在直线上的两点，若AE＝，∠EAF＝135°，则下列结论正确的是(C)
A．DE＝1
B．tan∠AFO＝
C．AF＝
D．四边形AFCE的面积为
二、填空题(本大题共6小题 ，每小题3分，共18分)
8．(2017·徐州)如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点Q在对角线AC上，且AQ＝AD，连接DQ并延长，与边BC交于点P，则线段AP＝____．
第8题图
第9题图
9．(2017·十堰)如图，菱形ABCD中，AC交BD于O，DE⊥BC于E，连接OE，若∠ABC＝140°，则∠OED＝__20°__．(导学号 35694190)
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10．(2017·齐齐哈尔)矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件__AB＝BC(答案不唯一)__，使其成为正方形(只填一个即可)．
11．(2016·成都)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为__3__．
第11题图
第12题图
12．(2017·六盘水)如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在边BC和CD上，则∠AEB＝__75__度．
13．(2017·哈尔滨)四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝6，对角线AC与BD相交于点O，点E在AC上，若OE＝，则CE的长为__4或2__．
三、解答题(本大题共3小题，共27分)
14．(8分)(2017·南宁)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE＝DF.
(1)求证：AE＝CF；
(2)若AB＝6，∠COD＝60°，求矩形ABCD的面积．
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝DF，∴OE＝OF，
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF(SAS)，∴AE＝CF；
(2)解：∵OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝∠COD＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝AB＝6，∴AC＝2OA＝12，
在Rt△ABC中，BC＝＝6，
∴S矩形ABCD＝AB·BC＝6×6＝36.
15．(8分)(2017·盐城)如图，矩形ABCD中，∠ABD、∠CDB的平分线BE、DF分别交边AD、BC于点E、F.
(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；
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(2)当∠ABE为多少度时，四边形BEDF是菱形？请说明理由．
(导学号 35694191)
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，AD∥BC，∴∠ABD＝∠CDB，
∵BE平分∠ABD，DF平分∠BDC，
∴∠EBD＝∠ABD，∠FDB＝∠BDC，
∴∠EBD＝∠FDB，∴BE∥DF，
又∵AD∥BC，
∴四边形BEDF是平行四边形；
(2)解：当∠ABE＝30°时，四边形BEDF是菱形．
∵BE平分∠ABD，
∴∠ABD＝2∠ABE＝60°，
∠EBD＝∠ABE＝30°，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，
∴∠EDB＝90°－∠ABD＝30°，
∴∠EDB＝∠EBD＝30°，∴EB＝ED，
又∵四边形BEDF是平行四边形，
∴四边形BEDF是菱形．
16．(11分)(2017·玉林)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中点，E，F分别是AC，BC上的点(点E不与端点A，C重合)，且AE＝CF，连接EF并取EF的中点O，连接DO并延长至点G，使GO＝OD，连接DE，DF，GE，GF.
(1)求证：四边形EDFG是正方形；
(2)当点E在什么位置时，四边形EDFG的面积最小？并求四边形EDFG面积的最小值．
(1)证明：∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D是AB的中点，如解图①，连接DC，
∴∠A＝∠DCF＝45°，AD＝CD.
在△ADE和△CDF中，
∴△ADE≌△ADE(SAS)，
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∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF.
∵∠ADE＋∠EDC＝90°，
∴∠EDC＋∠CDF＝∠EDF＝90°，
∴△EDF为等腰直角三角形．
∵O为EF的中点，GO＝OD，
∴GD⊥EF，且GD＝2OD＝EF，∴四边形EDFG是正方形；
(2)解：过点D作DE′⊥AC于点E′，如解图②所示．
∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，
∴DE′＝BC＝2，AB＝4，点E′为AC的中点，
∴2≤DE≤2(点E与点E′重合时取等号)．
∴4≤S四边形EDFG＝DE2
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