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题型一 规律探索
类型一 数与式规律探索
1．(2017·百色)观察以下一列数的特点：0，1，－4，9，－16，25，…，则第11个数是(B)
A．－121 B．－100 C．100 D．121
2．(2017·武汉)按照一定规律排列的n个数：－2、4、－8、16、－32、64、…，若最后三个数的和为768，则n为(导学号 35694235)(B)
A．9 B．10 C．11 D．12
3．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，它有一定的规律性，若把第一个三角形数记为x1，第二个三角形数记为x2，…，第n个三角形数记为xn，则xn＋xn＋1＝__(n＋1)2__．
4．若x是不等于1的实数，我们把称为x的差倒数，如2的差倒数是＝－1，－1的差倒数为＝，现已知x1＝－，x2是x1的差倒数，x3是x2的差倒数，x4是x3的差倒数，…，以此类推，则x2018＝____．
5．观察下列等式：1＝12，1＋3＝22，1＋3＋5＝32，1＋3＋5＋7＝42，…，则1＋3＋5＋7＋…＋2015＝__1016064__．
6．小明写出如下一组数：，－，，－，…，请用你发现的规律，猜想第2014个数为__－__．
7．(2017·云南)观察下列各个等式的规律：
第一个等式：＝1，
第二个等式：＝2，
第三个等式：＝3，
…
请用上述等式反映出的规律解决下列问题：
(1)直接写出第四个等式；
(2)猜想第n个等式(用n的代数式表示)，并证明你猜想的等式是正确的．
解：(1)第四个等式为：＝4；
(2)第n个等式为：＝n;
证明如下：
∵＝＝＝n，
∴左边＝右边，等式成立．
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类型二 图形规律探索
1．(2017·德州)观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形(如图①)；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，…将这种做法继续下去(如图②，图③…)，则图⑥中挖去三角形的个数为(导学号 35694236)(C)
A．121 B．362 C．364 D．729
2．如图，在△ABC中，BC＝1，点P1，M1分别是AB，AC边的中点，点P2，M2分别是AP1，AM1的中点，点P3，M3分别是AP2，AM2的中点，按这样的规律下去，PnMn的长为____(n为正整数)．
3．如图，在△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2016BC和∠A2016CD的平分线交于点A2017，则∠A2017＝____°.
4．如图，是一组按照某种规律摆放成的图案，则图⑤中三角形的个数是(C)
A．8 B．9 C．16 D．17
5．如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：第1个图案需7根火柴，第2个图案需13根火柴，依此规律，第11个图案需(B)根火柴．
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A．156 B．157 C．158 D．159
6．观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第n个图形中所有点的个数为__(n＋1)2__(用含n的代数式表示)．(导学号 35694237)
类型三 与坐标系结合的规律探索
1．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺指针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…，若点A(，0)，B(0，4)，则点B2016的横坐标为(D)
A．5 B．12 C．10070 D．10080
2．如图，在平面直角坐标系中有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如(1，0)，(2，0)，(2，1)，(3，1)，(3，0)，(3，－1)…，根据这个规律探索可得第100个点的坐标为(D)
A．(14，0) B．(14，－1)
C．(14，1) D．(14，2)
3．如图，已知菱形OABC的两个顶点O(0，0)，B(2，2)，若将菱形绕点O以每秒45°的速度逆时针旋转，则第2017秒时，菱形两对角线交点D的坐标为__(0，)__．
4．(2017·赤峰)在平面直角坐标系中，点P(x，y)经过某种变换后得到点P′(－y＋1，x＋2)，我们把点P′(－y＋1，x＋2)叫做点P(x，y)的终结点．已知点P1的终结点为P2，点P2的终结点为P3，点P3的终结点为P4，这样依次得到P1、P2、P3、P4、…Pn、…，若点P1的坐标为(2，0)，则点P2017的坐标为__(2，0)__．(导学号 35694238)
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5．如图，在平面直角坐标系中有一菱形OABC，且∠A＝120°，点O、B在y轴上，OA＝1，现在把菱形向右无滑动翻转，每次翻转60°，点B的落点依次为B1、B2、B3…，连续翻转2017次，则B2017的坐标为__(1345.5，)__．
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题型二 尺规作图
类型一 作与两条直线距离有关的点
1．(2017·陕西)如图，在钝角△ABC中，过钝角顶点B作BD⊥BC交AC于点D.请用尺规作图法在BC边上求作一点P，使得点P到AC的距离等于BP的长．(保留作图痕迹，不写作法)
(导学号 35694239)
解：如解图，点P即为所求．
2．如图，两条公路OA和OB相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置．(要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论)
解：如解图所示，作CD的垂直平分线，∠AOB的平分线的交点P即为所求，
此时货站P到两条公路OA、OB的距离相等．
P和P1都是所求的点．
3．(2017·绥化)如图，A、B、C为某公园的三个景点，景点A和景点B之间有一条笔直的小路，现要在小路上建一个凉亭P，使景点B、景点C到凉亭P的距离之和等于景点B到景点A的距离，请用直尺和圆规在所给的图中作出点P.(不写作法和证明，只保留作图痕迹)
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解：如解图，连接AC，作线段AC的垂直平分线MN，直线MN交AB于点P.点P即为所求的点．
4．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，用直尺和圆规在边BC上找一点D，使D到AB的距离等于CD.(保留作图痕迹，不写作法)
解：如解图，点D即为所求．
类型二 作角平分线和垂直平分线
1．(2017·福建)如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，求作∠ABC的平分线，分别交AD，AC于P，Q两点；并证明AP＝AQ.(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
解：BQ就是所求的∠ABC的平分线，P、Q就是所求作的点．
证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，
∴∠BPD＋∠PBD＝90°.
∵∠BAC＝90°，
∴∠AQP＋∠ABQ＝90°.
∵∠ABQ＝∠PBD，
∴∠BPD＝∠AQP.
∵∠BPD＝∠APQ，
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∴∠APQ＝∠AQP，
∴AP＝AQ.
2．(2017·赤峰)已知平行四边形ABCD.
(1)尺规作图：作∠BAD的平分线交直线BC于点E，交DC延长线于点F(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在(1)的条件下，求证：CE＝CF.
(1)解：如解图所示，AF即为所求；
(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AD∥BC，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.
∵AF平分∠BAD，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠4，
∴CE＝CF.
3．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°.
(1)作边AB的垂直平分线MN；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)在已知的图中，若MN交AC于点D，连接BD，求∠DBC的度数．
(导学号 35694240)
解：(1)如解图①即为所求垂直平分线MN；
(2)如解图②，连接BD，
∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，
∴AD＝BD，
∵∠A＝40°，∴∠ABD＝∠A＝40°，
∵AB＝AC，
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∴∠ABC＝∠C＝(180°－∠A)＝70°，
∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝70°－40°＝30°.
4．如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°.
(1)尺规作图：按下列要求完成作图(保留作图痕迹，请标明字母)
①作线段AC的垂直平分线l，交AC于点O；
②连接BO并延长，在BO的延长线上截取OD，使得OD＝OB；
③连接DA、DC；
(2)判断四边形ABCD的形状，并说明理由．
(1)①②③如解图所示；
(2)四边形ABCD是矩形，
理由：∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BO是AC边上的中线，
∴BO＝AC，
∵BO＝DO，AO＝CO，
∴AO＝CO＝BO＝DO，∴四边形ABCD是矩形．
类型三 作圆
1．如图，在图中求作⊙P，使⊙P满足以线段MN为弦且圆心P到∠AOB两边的距离相等．(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑)
解：如解图所示，⊙P即为所作的圆．
2．如图，已知在△ABC中，∠A＝90°.
(1)请用圆规和直尺作出⊙P，使圆心P在AC边上，且与AB，BC两边都相切(保留作图痕迹，不写作法和证明)；
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(2)若∠B＝60°，AB＝3，求⊙P的面积．
解：(1)如解图所示，
⊙P为所求作的圆；
(2)∵∠B＝60°，
BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝30°，
∵tan∠ABP＝，
∴AP＝，
∴S⊙P＝3π.
3．(2017·舟山)如图，已知△ABC，∠B＝40°.
(1)在图中，用尺规作出△ABC的内切圆O，并标出⊙O与边AB，BC，AC的切点D，E，F(保留痕迹，不必写作法)；
(2)连接EF，DF，求∠EFD的度数．
解：(1)如解图①，⊙O即为所求；
(2)如解图②，连接OD，OE，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，
∴∠ODB＝∠OEB＝90°，
∵∠B＝40°，
∴∠DOE＝140°，∴∠EFD＝70°.
4．已知△ABC中，∠A＝25°，∠B＝40°.
(1)求作：⊙O，使得⊙O经过A、C两点，且圆心O落在AB边上(要求尺规作图，
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保留作图痕迹，不必写作法)；
(2)求证：BC是(1)中所作⊙O的切线．
(1)解：作图如解图①；
(2)证明：如解图②，连接OC，
∵OA＝OC，∠A＝25°，∴∠BOC＝50°，
又∵∠B＝40°，∴∠BOC＋∠B＝90°，
∴∠OCB＝90°，∴OC⊥BC，
∴BC是⊙O的切线．
5．如图，在直角三角形ABC中，∠ABC＝90°.
(1)先作∠ACB的平分线，设它交AB边于点O，再以点O为圆心OB为半径作⊙O(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；
(2)证明：AC是所作⊙O的切线；
(3)若BC＝，sinA＝，求△AOC的面积．
(1)解：作图如解图所示：
(2)证明：过点O作OE⊥AC于点E，
∵FC平分∠ACB，
∴OB＝OE，∴AC是所作⊙O的切线；
(3)解：∵sinA＝，∠ABC＝90°，
∴∠A＝30°，
∴∠ACO＝∠OCB＝∠ACB＝30°，
∵BC＝，
∴AC＝2，BO＝BCtan30°＝×＝1，
∴S△AOC＝AC·OE＝×2×1＝.
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题型三 与三角形、四边形有关的证明与计算
类型一 与三角形有关的证明与计算
1．(2017·黄冈)已知：如图，∠BAC＝∠DAM，AB＝AN，AD＝AM，求证：∠B＝∠ANM.
证明：∵∠BAC＝∠DAM，∠BAC＝∠BAD＋∠DAC，∠DAM＝∠DAC＋∠NAM，
∴∠BAD＝∠NAM，
在△BAD和△NAM中，
∴△BAD≌△NAM(SAS)，
∴∠B＝∠ANM.
2．(2017·孝感)如图，已知AB＝CD，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，BF＝DE，求证：AB∥CD.
证明：∵AE⊥BD，
CF⊥BD，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，
∵BF＝DE，
∴BF＋EF＝DE＋EF，
∴BE＝DF.
在Rt△AEB和Rt△CFD中，
∴Rt△AEB≌Rt△CFD(HL)，
∴∠B＝∠D，∴AB∥CD.
3．(2017·连云港)如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD＝AE，连接BE、CD，交于点F.
(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；
(2)求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC.
(1)解：∠ABE＝∠ACD；理由如下：
在△ABE和△ACD中，
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∴△ABE≌△ACD(SAS)，
∴∠ABE＝∠ACD；
(2)证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
由(1)可知∠ABE＝∠ACD，
∴∠FBC＝∠FCB，
∴FB＝FC，
∵AB＝AC，
∴点A、F均在线段BC的垂直平分线上，
即直线AF垂直平分线段BC.
4．(2017·荆门)已知：如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，点E是CD的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F.
(1)求证：△ADE≌△FCE；
(2)若∠DCF＝120°，DE＝2，求BC的长．
(1)证明：∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE，
∵AB∥CF，
∴∠BAF＝∠AFC，
在△ADE与△FCE中，
∴△ADE≌△FCE(AAS)；
(2)解：由(1)得，CD＝2DE，
∵DE＝2，
∴CD＝4.
∵点D为AB的中点，∠ACB＝90°，
∴AB＝2CD＝8，AD＝CD＝AB.
∵AB∥CF，
∴∠BDC＝180°－∠DCF＝180°－120°＝60°，
∴∠DAC＝∠ACD＝∠BDC＝×60°＝30°，
∴BC＝AB＝×8＝4.
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5．(2017·重庆A)在△ABM中，∠ABM＝45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC.
(1)如图①，若AB＝3，BC＝5，求AC的长；
(2)如图②，点D是线段AM上一点，MD＝MC，点E是△ABC外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF.(导学号 35694241)
(1)解：AC＝；
(2)证明：如解图，延长EF到点G，使得FG＝EF，连接BG.
∵DM＝MC，∠BMD＝∠AMC，
BM＝AM，
∴△BMD≌△AMC(SAS)，
∴AC＝BD，
又∵CE＝AC，∴BD＝CE，
∵BF＝FC，∠BFG＝∠CFE，
FG＝FE，
∴△BFG≌△CFE(SAS)，
∴BG＝CE，∠G＝∠CEF，∴BD＝CE＝BG，
∴∠BDG＝∠G＝∠CEF.
6．(2017·呼和浩特)如图，等腰三角形ABC中，BD，CE分别是两腰上的中线．
(1)求证：BD＝CE；
(2)设BD与CE相交于点O，点M，N分别为线段BO和CO的中点，当△ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等时，判断四边形DEMN的形状，无需说明理由．
(1)证明：由题意得，AB＝AC，
∵BD，CE分别是两腰上的中线，
∴AD＝AC，AE＝AB，
∴AD＝AE，
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在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(SAS)．∴BD＝CE；
(2)解：四边形DEMN是正方形，
证明：略
7．△ABC的三条角平分线相交于点I，过点I作DI⊥IC，交AC于点D.
(1)如图①，求证：∠AIB＝∠ADI；
(2)如图②，延长BI，交外角∠ACE的平分线于点F.
①判断DI与CF的位置关系，并说明理由；
②若∠BAC＝70°，求∠F的度数．
(1)证明：∵AI、BI分别平分∠BAC，∠ABC，
∴∠BAI＝∠BAC，∠ABI＝∠ABC，
∴∠BAI＋∠ABI＝(∠BAC＋∠ABC)＝(180°－∠ACB)＝90°－∠ACB，
∴在△ABI中，∠AIB＝180°－(∠BAI＋∠ABI)＝180°－(90°－∠ACB)＝90°＋∠ACB，
∵CI平分∠ACB，∴∠DCI＝∠ACB，
∵DI⊥IC，∴∠DIC＝90°，
∴∠ADI＝∠DIC＋∠DCI＝90°＋∠ACB，
∴∠AIB＝∠ADI；
(2)解：①结论：DI∥CF.
理由：∵∠IDC＝90°－∠DCI＝90°－∠ACB，
∵CF平分∠ACE，
∴∠ACF＝∠ACE＝(180°－∠ACB)＝90°－∠ACB，
∴∠IDC＝∠ACF，∴DI∥CF；
②∵∠ACE＝∠ABC＋∠BAC，
∴∠ACE－∠ABC＝∠BAC＝70°，
∵∠FCE＝∠FBC＋∠F，
∴∠F＝∠FCE－∠FBC，
∵∠FCE＝∠ACE，∠FBC＝∠ABC，
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∴∠F＝∠ACE－∠ABC＝(∠ACE－∠ABC)＝35°.
8．(8分)(2017·北京)在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P是线段BC上一动点(与点B、C不重合)，连接AP，延长BC至点Q，使得CQ＝CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M.
(1)若∠PAC＝α，求∠AMQ的大小(用含α的式子表示)；
(2)用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明．(导学号 35694242)
解：(1)∠AMQ＝45°＋α；理由如下：
∵∠PAC＝α，△ACB是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝∠B＝45°，∠PAB＝45°－α，
∵QH⊥AP，
∴∠AHM＝90°，
∴∠AMQ＝180°－∠AHM－∠PAB＝45°＋α；
(2)PQ＝MB.理由如下：
如解图，连接AQ，作ME⊥QB，
∵AC⊥QP，CQ＝CP，
∴∠QAC＝∠PAC＝α，
∴∠QAM＝45°＋α＝∠AMQ，∴AP＝AQ＝QM，
在△APC和△QME中，
∴△APC≌△QME(AAS)，∴PC＝ME，
∴△MEB是等腰直角三角形，∴PQ＝MB，
∴PQ＝MB.
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类型二 与四边形有关的证明与计算
1．在▱ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且AE＝CF.
(1)求证：△ADE≌△CBF；
(2)若DF＝BF，求证：四边形DEBF为菱形．
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∠A＝∠C，
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF(SAS)；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵AE＝CF，∴DF＝EB，
∴四边形DEBF是平行四边形，
又∵DF＝FB，∴四边形DEBF为菱形．
2．如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点F，E为四边形ABCD外一点，且∠ADE＝∠BAD，AE⊥AC.
(1)求证：四边形ABDE是平行四边形；
(2)如果DA平分∠BDE，AB＝5，AD＝6，求AC的长．
(导学号 35694243)
(1)证明：∵AE⊥AC，BD垂直平分AC，
∴AE∥BD，
∵∠ADE＝∠BAD，
∴DE∥AB，
∴四边形ABDE是平行四边形；
(2)解：∵DA平分∠BDE，
∴∠BAD＝∠ADB，
∴AB＝BD＝5，
设BF＝x，则52－x2＝62－(5－x)2，
解得x＝，
∴AF＝＝，
∴AC＝2AF＝.
3．(2017·上海)已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且EA＝EC.
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(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)如果BE＝BC，且∠CBE∶∠BCE＝2∶3，求证：四边形ABCD是正方形．
证明：(1)在△ADE和△CDE中，
∴△ADE≌△CDE(SSS)，
∴∠ADE＝∠CDE，
∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBD，
∴∠CDE＝∠CBD，∴BC＝CD，
∵AD＝CD，∴BC＝AD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AD＝CD，∴四边形ABCD是菱形；
(2)∵BE＝BC，∴∠BCE＝∠BEC，
∵∠CBE∶∠BCE＝2∶3，
∴∠CBE＝180°×＝45°，
∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABE＝45°，
∴∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是正方形．
4．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，∠F＝45°.
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)若AB＝14，DE＝8，求sin∠AEB的值．
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAF＝∠F＝45°.
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠EAB＝∠DAE＝45°，
∴∠DAB＝90°，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形；
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(2)解：如解图，过点B作BH⊥AE于点H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∠DCB＝∠D＝90°，
∵AB＝14，DE＝8，∴CE＝6.
在Rt△ADE中，∠DAE＝45°，
∴AD＝DE＝8，∴BC＝8.
在Rt△BCE中，
由勾股定理得BE＝＝10，
在Rt△AHB中，∠HAB＝45°，
∴BH＝AB·sin45°＝7，
∵在Rt△BHE中，∠BHE＝90°，
∴sin∠AEB＝＝.
5．(2017·大庆)如图，以BC为底边的等腰△ABC，点D，E，G分别在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延长GE至点F，使得BE＝BF.
(1)求证：四边形BDEF为平行四边形；
(2)当∠C＝45°，BD＝2时，求D，F两点间的距离．(导学号 35694244)
(1)证明：∵△ABC是等腰三角形，
∴∠ABC＝∠C，
∵EG∥BC，DE∥AC，
∴∠AEG＝∠ABC＝∠C，
∴四边形CDEG是平行四边形，
∴∠DEG＝∠C，
∵BE＝BF，
∴∠BFE＝∠BEF＝∠AEG＝∠ABC，
∴∠F＝∠DEG，∴BF∥DE，
∴四边形BDEF为平行四边形；
(2)解：∵∠C＝45°，
∴∠ABC＝∠BFE＝∠BEF＝45°，
∴△BDE、△BEF是等腰直角三角形，
∴BF＝BE＝BD＝，
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作FM⊥BD于点M，连接DF，如解图所示，
则△BFM是等腰直角三角形，
∴FM＝BM＝BF＝1，
∴DM＝3，
在Rt△DFM中，由勾股定理得：
DF＝＝，
即D，F两点间的距离为.
6．(2017·张家界)如图，在平行四边形ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，连接AF，BE.
(1)求证：△AGE≌△BGF；
(2)试判断四边形AFBE的形状，并说明理由.
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEG＝∠BFG，
∵EF垂直平分AB，
∴AG＝BG，
在△AGE和△BGF中，
∴△AGE≌△BGF(AAS)；
(2)解：四边形AFBE是菱形，理由如下：
∵△AGE≌△BGF，∴AE＝BF，
∵AD∥BC，∴四边形AFBE是平行四边形，
又∵EF⊥AB，∴四边形AFBE是菱形.
7．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC＋∠ADC＝180°.
(1)求证：四边形ABCD是矩形．
(2)若∠ADF∶∠FDC＝3∶2，DF⊥AC，则∠BDF的度数是多少？
(1)证明：∵AO＝CO，
BO＝DO
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∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC，
∵∠ABC＋∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
(2)解：∵∠ADC＝90°，∠ADF∶∠FDC＝3∶2，
∴∠FDC＝36°，
∵DF⊥AC，∴∠DCO＝90°－36°＝54°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC＝OD，∴∠ODC＝54°，
∴∠BDF＝∠ODC－∠FDC＝18°.
8．(2017·娄底)如图，在▱ABCD中，各内角的平分线分别相交于点E，F，G，H.
(1)求证：△ABG≌△CDE；
(2)猜一猜：四边形EFGH是什么样的特殊四边形？证明你的猜想；
(3)若AB＝6，BC＝4，∠DAB＝60°，求四边形EFGH的面积．
(1)证明：∵GA平分∠BAD，EC平分∠BCD，
∴∠BAG＝∠BAD，∠DCE＝∠DCB，
∵在▱ABCD中，∠BAD＝∠DCB，AB＝CD，
∴∠BAG＝∠DCE，
同理可得，∠ABG＝∠CDE，
∵在△ABG和△CDE中，
∴△ABG≌△CDE(ASA)；
(2)解：四边形EFGH是矩形．
证明：∵GA平分∠BAD，GB平分∠ABC，
∴∠GAB＝∠BAD，∠GBA＝∠ABC，
∵在▱ABCD中，∠DAB＋∠ABC＝180°，
∴∠GAB＋∠GBA＝(∠DAB＋∠ABC)＝90°，
即∠AGB＝90°，
同理可得，∠DEC＝90°，∠AHD＝90°＝∠EHG，
∴四边形EFGH是矩形；
(3)解：依题意得：∠BAG＝∠BAD＝30°，
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∵AB＝6，∴BG＝AB＝3，AG＝3＝CE，
∵BC＝4，∠BCF＝∠BCD＝30°，
∴BF＝BC＝2，CF＝2，
∴EF＝3－2＝，GF＝3－2＝1，
∴S矩形EFGH的面积＝EF·GF＝.
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题型四 解直角三角形的实际应用
1．(2017·镇江)如图，小明在教学楼A处分别观测对面实验楼CD底部的俯角为45°，顶部的仰角为37°，已知教学楼和实验楼在同一平面上，观测点距地面的垂直高度AB为15 m，求实验楼的垂直高度即CD长．(精确到1 m，参考值：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)
解：作AE⊥CD于E，如解图，
∵AB＝15 m，
∴DE＝AB＝15 m，
∵∠DAE＝45°，
∴AE＝DE＝15 m，
在Rt△ACE中，tan∠CAE＝，
则CE＝AE·tan37°＝15×0.75≈11 m，
∴CD＝CE＋DE＝11＋15＝26 m.
答：实验楼的垂直高度CD长为26 m.
2．(2017·宜宾)如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A，又在河的另一岸边取两点B、C测得∠α＝30°，∠β＝45°，量得BC长为100米，求河的宽度．(结果保留根号)
解：过点A作AD⊥BC于点D，如解图，
∵∠β＝45°，
∠ADC＝90°，
∴AD＝DC，
设AD＝DC＝x m，
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则tan30°＝＝，
解得x＝50(＋1)．
答：河的宽度为50(＋1) m.
3．(2017·宿迁)如图所示，飞机在一定高度上沿水平直线飞行，先在点A处测得正前方小岛C的俯角为30°，面向小岛方向继续飞行10 km到达B处，发现小岛在其正后方，此时测得小岛的俯角为45°，如果小岛高度忽略不计，求飞机飞行的高度．(结果保留根号)(导学号 35694245)
解：过点C作CD⊥AB于点D，如解图，
设CD＝x，
∵∠CBD＝45°，
∴BD＝CD＝x，
在Rt△ACD中，
∵tan∠CAD＝，
∴AD＝＝＝＝x，
由AD＋BD＝AB可得x＋x＝10，
解得x＝5－5.
答：飞机飞行的高度为(5－5) km.
4．(2016·菏泽)南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至B处时，测得该岛位于正北方向20(1＋)海里的C处，为了防止某国海巡警干扰，就请求我A处的渔监船前往C处护航，已知C位于A处的北偏东45°方向上，A位于B的北偏西30°的方向上，求A、C之间的距离．
解：如解图，作AD⊥BC，垂足为D，
由题意得，∠ACD＝45°，
∠ABD＝30°.
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设CD＝x，在Rt△ACD中，
可得AD＝x，
在Rt△ABD中，可得BD＝x，
又∵BC＝20(1＋)，
CD＋BD＝BC，
即x＋x＝20(1＋)，
解得：x＝20，
∴AC＝x＝20(海里)．
答：A、C之间的距离为20 海里．
5．(2017·荆门)金桥学校“科技体艺节”期间，八年级数学活动小组的任务是测量学校旗杆AB的高，他们在旗杆正前方台阶上的点C处，测得旗杆顶端A的仰角为45°，朝着旗杆的方向走到台阶下的点F处，测得旗杆顶端A的仰角为60°，已知升旗台的高度BE为1米，点C距地面的高度CD为3米，台阶CF的坡角为30°，且点E、F、D在同一条直线上，求旗杆AB的高度．(计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73)
解：如解图，过点C作CM⊥AB于M.则四边形MEDC是矩形，
∴ME＝DC＝3，
CM＝ED，
在Rt△AEF中，
∠AFE＝60°，设EF＝x，则AF＝2x，AE＝x，
在Rt△FCD中，CD＝3，∠CFD＝30°，
∴DF＝3，
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在Rt△AMC中，
∠ACM＝45°，
∴∠MAC＝∠ACM＝45°，∴MA＝MC，
∵ED＝CM，∴AM＝ED，
∵AM＝AE－ME，ED＝EF＋DF，
∴x－3＝x＋3，解得x＝6＋3，
∴AE＝(6＋3)＝6＋9，
∴AB＝AE－BE＝9＋6－1≈18.4米．
答：旗杆AB的高度约为18.4米．
6．(2016·贺州)如图，是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC是10米，坡面10米处有一建筑物HQ，为了方便使行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC的倾斜角∠BDC＝30°，若新坡面下D处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除(计算最后结果保留一位小数．参考数据：≈1.414，≈1.732)(导学号 35694246)
解：由题意得，AH＝10米，BC＝10米，
在Rt△ABC中，∠CAB＝45°，
∴AB＝BC＝10，
在Rt△DBC中，∠CDB＝30°，
∴DB＝＝10，
∴DH＝AH－AD＝AH－(DB－AB)＝10－10＋10＝20－10≈2.7(米)，
∵2.7米＜3米，∴该建筑物需要拆除．
7．(2017·鄂州)小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底M处出发，向前走3米到达A处，测得树顶端E的仰角为30°，他又继续走下台阶到达C处，测得树的顶端E的仰角是60°，再继续向前走到大树底D处，测得食堂楼顶N的仰角为45°.已知A点离地面的高度AB＝2米，∠BCA＝30°，且B、C、D三点在同一直线上．
(1)求树DE的高度；
(2)求食堂MN的高度．
解：(1)如解图，设DE＝x，
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∵AB＝DF＝2，∴EF＝DE－DF＝x－2，
∵∠EAF＝30°，
∴AF＝＝＝(x－2)，
又∵CD＝＝＝x，
BC＝＝＝2，
∴BD＝BC＋CD＝2＋x，
由AF＝BD可得(x－2)＝2＋x，
解得：x＝6，∴树DE的高度为6米；
(2)延长NM交DB延长线于点P，如解图，则AM＝BP＝3，
由(1)知CD＝x＝×6＝2，BC＝2，
∴PD＝BP＋BC＋CD＝3＋2＋2＝3＋4，
∵∠NDP＝45°，且MP＝AB＝2，
∴NP＝PD＝3＋4，
∴NM＝NP－MP＝3＋4－2＝1＋4，
∴食堂MN的高度为1＋4 米．
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题型五 与圆有关的证明与计算
类型一 与切线判定有关的证明与计算
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC、AC交于点D、E，过点D作DF⊥AC于点F.
(1)求证：DF是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为2，BC＝2，求DF的长．
(导学号 35694247)
(1)证明：连接OD，如解图，
∵OB＝OD，∴∠ABC＝∠ODB，
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，∴DF⊥OD，
∴DF是⊙O的切线；
(2)解：连接AD，如解图，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
又∵AB＝AC，∴BD＝DC＝，
∴AD＝＝＝，
∵DF⊥AC，∴△ADC∽△DFC，
∴＝，∴＝，∴DF＝.
2．如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AC于点D，∠ABD＝∠ACB.
(1)求证：AB是⊙O的切线；
(2)若点E是BC上一点，已知BE＝4，tan∠AEB＝，AB∶BC＝2∶3，求⊙O的直径．
(1)证明：∵BC是直径，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ACB＋∠DBC＝90°，
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∵∠ABD＝∠ACB，
∴∠ABD＋∠DBC＝90°，
∴∠ABC＝90°，
∴AB⊥BC，
∴AB是⊙O的切线；
(2)解：在Rt△AEB中，tan∠AEB＝，
∴＝，即AB＝BE＝，
在Rt△ABC中，＝，
∴BC＝AB＝10，∴⊙O的直径为10.
3．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，点D是的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F.
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若OF＝2，求AC的长度．
(导学号 35694248)
(1)证明：如解图①，连接OD、AD，
∵点D是的中点，
∴＝，∴∠DAO＝∠DAC，
∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ODA，
图①
∴∠DAC＝∠ODA，∴OD∥AE，
∵DE⊥AE，∴∠AED＝90°，
∴∠AED＝∠ODE＝90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
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图②
(2)解：如解图②，连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OD∥AE，∴∠DOB＝∠EAB，
∵∠DFO＝∠ACB＝90°，
∴△DFO∽△BCA，
∴＝＝，即＝，
∴AC＝4.
4．(2017·张家界)在等腰△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O分别与AB，AC相交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F.
(1)求证：DF是⊙O的切线；
(2)分别延长CB，FD，相交于点G，∠A＝60°，⊙O的半径为6，求阴影部分的面积．
(1)证明：连接OD，如解图所示，
∵AC＝BC，OB＝OD，
∴∠ABC＝∠A，
∠ABC＝∠ODB，
∴∠A＝∠ODB，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，∴DF⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线；
(2)解：∵AC＝BC，
∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵OD＝OB，∴△OBD是等边三角形，
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∴∠BOD＝60°，
∵DF⊥OD，∴∠ODG＝90°，∴∠G＝30°，
∴DG＝OD＝6，
∴S阴影部分＝S△ODG－S扇形OBD＝×6×6－＝18－6π.
5．(2017·安顺)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE.
(1)求证：BE与⊙O相切；
(2)设OE交⊙O于点F，若DF＝1，BC＝2，求阴影部分的面积．
(1)证明：连接OC，如解图，
∵CE为切线，∴OC⊥CE，
∴∠OCE＝90°，
∵OD⊥BC，∴CD＝BD，
即OD垂中平分BC，
∴EC＝EB，
在△OCE和△OBE中，
∴△OCE≌△OBE，∴∠OBE＝∠OCE＝90°，
∴OB⊥BE，∴BE与⊙O相切；
(2)解：设⊙O的半径为r，则OD＝r－1，
在Rt△OBD中，BD＝CD＝BC＝，
∴(r－1)2＋()2＝r2，解得r＝2，
∵tan∠BOD＝＝，∴∠BOD＝60°，
∴∠BOC＝2∠BOD＝120°，
在Rt△OBE中，BE＝OB＝2，
∴S阴影部分＝S四边形OBEC－S扇形BOC
＝2S△OBE－S扇形BOC
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＝2××2×2－
＝4－π.
类型二 与切线性质有关的证明与计算
1．(2017·绵阳)如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，与AC平行的⊙O的一条切线交CD的延长线于点M，交AB的延长线于点E，切点为F，连接AF交CD于点N.
(1)求证：CA＝CN；
(2)连接OF，若cos∠DFA＝，AN＝2，求⊙O的直径的长度．
(1)证明：连接OF，则∠OAF＝∠OFA，如解图①所示，
∵ME与⊙O相切，
∴OF⊥ME.
∵CD⊥AB，
∴∠M＋∠FOH＝180°.
∵∠BOF＝∠OAF＋∠OFA＝2∠OAF，∠FOH＋∠BOF＝180°，
∴∠M＝2∠OAF.
∵ME∥AC，
∴∠M＝∠C＝2∠OAF.
∵CD⊥AB，∴∠ANC＋∠OAF＝∠BAC＋∠C＝90°，
∴∠ANC＝90°－∠OAF，∠BAC＝90°－∠C＝90°－2∠OAF，
∴∠CAN＝∠OAF＋∠BAC＝90°－∠OAF＝∠ANC，
∴CA＝CN；
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(2)解：连接OC，如解图②所示．
∵cos∠DFA＝，
∠DFA＝∠ACH，
∴＝.
设CH＝4a，则AC＝5a，AH＝3a，
∵CA＝CN，∴NH＝a，
∴AN＝＝＝a＝2，
∴a＝2，AH＝3a＝6，CH＝4a＝8.
设⊙O的半径为r，则OH＝r－6，
在Rt△OCH中，OC＝r，CH＝8，OH＝r－6，
∴OC2＝CH2＋OH2，r2＝82＋(r－6)2，
解得：r＝，∴⊙O的直径的长度为2r＝.
2．(2017·大连)如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，AD平分∠CAB，BD是⊙O的切线，AD与BC相交于点E.
(1)求证：BD＝BE；
(2)若DE＝2，BD＝，求CE的长．
(导学号 35694249)
(1)证明：设∠BAD＝α，
∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD＝α，
∵AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°－2α，
∵BD是⊙O的切线，∴BD⊥AB，
∴∠DBE＝2α，∠BED＝∠BAD＋∠ABC＝90°－α，
∴∠D＝180°－∠DBE－∠BED＝90°－α，
∴∠D＝∠BED，∴BD＝BE；
(2)解：设AD交⊙O于点F，
CE＝x，则AC＝2x，连接BF，如解图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∵BD＝BE，DE＝2，
∴FE＝FD＝1，
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∵BD＝，∴BF＝2，
∵∠BAD＋∠D＝90°，∠D＋∠FBD＝90°，
∴∠FBD＝∠BAD＝α，∴tanα＝＝，
∴AB＝＝＝2，
在Rt△ABC中，由勾股定理可知(2x)2＋(x＋)2＝(2)2，
解得x＝－(舍去)或x＝，∴CE＝.
3．(2017·南京)如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D.
(1)求证：PO平分∠APC；
(2)连接DB，若∠C＝30°，求证：DB∥AC.
证明：(1)如解图，连接OB，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP，
又OA＝OB，
∴PO平分∠APC；
(2)∵OA⊥AP，OB⊥BP，
∴∠CAP＝∠OBP＝90°，
∵∠C＝30°，
∴∠APC＝90°－30°＝60°，
∵PO平分∠APC，
∴∠OPC＝∠APC＝×60°＝30°，
∴∠POB＝90°－∠OPC＝90°－30°＝60°，
又∵OD＝OB，∴△ODB是等边三角形，
∴∠OBD＝60°，
∴∠DBP＝∠OBP－∠OBD＝90°－60°＝30°，
∴∠DBP＝∠C，∴DB∥AC.
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4．如图，直线l经过点A(4，0)，B(0，3)．
(1)求直线l的函数表达式；
(2)若圆M的半径为2，圆心M在y轴上，当圆M与直线l相切时，求点M的坐标．
(1)∵A(4，0)，B(0，3)，
∴直线l的解析式为：y＝－x＋3；
(2)作MH⊥AB，垂足为H，如解图所示，
∵M在y轴上，∴设M(0，t)，
2S△ABM＝BM·AO＝AB·MH，
∴|3－t|×4＝5×2，
解得t1＝，t2＝，
∴M1(0，)，M2(0，)．
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题型六 二次函数与几何图形综合题
类型一 探究特殊三角形的存在性问题
1．(2017·乌鲁木齐)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与直线y＝x＋1相交于A(－1，0)，B(4，m)两点，且抛物线经过点C(5，0)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线上的一个动点(不与点A、点B重合)，过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E.
①当PE＝2ED时，求P点坐标；
②是否存在点P，使△BEC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．(导学号 35694250)
解：(1)∵点B(4，m)在直线y＝x＋1上，
∴m＝4＋1＝5，∴B(4，5)，
把A、B、C三点坐标代入抛物线解析式可得
解得
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋4x＋5；
(2)①设P(x，－x2＋4x＋5)，则E(x，x＋1)，D(x，0)，
则PE＝|－x2＋4x＋5－(x＋1)|＝|－x2＋3x＋4|，DE＝|x＋1|，
∵PE＝2ED，∴|－x2＋3x＋4|＝2|x＋1|，
当－x2＋3x＋4＝2(x＋1)时，解得x＝－1或x＝2，但当x＝－1时，P与A重合不合题意，舍去，
∴P(2，9)；
当－x2＋3x＋4＝－2(x＋1)时，解得x＝－1或x＝6，但当x＝－1时，P与A重合，不合题意，舍去，
∴P(6，－7)；
综上可知，P点坐标为(2，9)或(6，－7)；
②点P的坐标为(，)或(4＋，－4－8)或(4－，4－8)或(0，5)时，△BEC为等腰三角形．
2．(2017·阜新)如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴交于A(－5，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D.
(1)求抛物线的函数表达式；
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(2)如图①，点E(x，y)为抛物线上一点，且－5
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