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海淀区高三年级第一学期期末练习 数学（文科） 2018.1‎ 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。‎ ‎（1）已知是虚数单位，若，则实数的值为 A. B. C. D. ‎ ‎（2）已知，若，则 A. B. C. D. ‎ ‎（3）执行如图所示的程序框图，输出的值为 A.4 ‎ B.5 ‎ C.6 ‎ D.7‎ ‎（4）下面的茎叶图记录的是甲、乙两个班级各5各同学在一次 数学测试中的选择题的成绩（单位：分，每道题5分，共8道题）：‎ 已知两组数据的平均数相等，则的值分别为 A. B. C. D. ‎ ‎（5）已知直线与圆相交于两点，且为正三角形，则实数的值为 A. B. C. 或 D. 或 ‎（6）设，则“”是“直线与直线平行”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,‎ ‎（7）在中，是的中点，则的取值范围是 13‎ A. B. C. D. ‎ ‎（8）已知正方体的棱长为2，点分别是棱的中点，点在平面内，点在线段上，若，则长度的最小值为 A. B. C. D. ‎ 第二部分（非选择题 共110分）‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。‎ ‎（9）已知双曲线的一条渐近线方程为，则实数的值为 .‎ ‎（10）若变量满足约束条件，则的最大值是 .‎ ‎（11）中， 且的面积为，则 .‎ ‎（12）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中最大的值是 .‎ 13‎ ‎（13）函数的最大值为 ；若函数的图像与直线有且只有一个公共点，则实数的取值范围是 .‎ ‎（14）某次高三英语听力考试中有5道选择题，每题1分，每道题在三个选项中只有一个是正确的.下表是甲、乙、丙三名同学每道题填涂的答案和这5道题的得分：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 得分 甲 C C A B B ‎4‎ 乙 C C B B C ‎3‎ 丙 B C C B B ‎2‎ 则甲同学答错的题目的题号是 ，其正确的选项是 .‎ 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。‎ ‎（15）（本小题13分）‎ 已知等差数列的前项和，且.‎ ‎（Ⅰ）数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，求数列前项和.‎ ‎（16）（本小题13分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数的定义域；‎ ‎（Ⅱ）求函数的值域.‎ 13‎ ‎（17）（本小题14分）‎ 据中国日报网报道：2017年11月13日，TOP500发布的最新一期全球超级计算机500强榜单显示，中国超算在前五名中占据两席，其中超算全球第一“神威太湖之光”完全使用了国产品牌处理器。为了了解国产品牌处理器打开文件的速度，某调查公司对两种国产品牌处理器进行了12次测试，结果如下（数值越小，速度越快，单位是MIPS）‎ 测试1‎ 测试2‎ 测试3‎ 测试4‎ 测试5‎ 测试6‎ 测试7‎ 测试8‎ 测试9‎ 测试10‎ 测试11‎ 测试12‎ 品牌A ‎3‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎12‎ ‎17‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎14‎ 品牌B ‎2‎ ‎8‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎8‎ ‎15‎ ‎5‎ ‎12‎ ‎10‎ ‎21‎ 设分别表示第次测试中品牌A和品牌B的测试结果，记 ‎（Ⅰ）求数据的众数；‎ ‎（Ⅱ）从满足的测试中随机抽取两次，求品牌A的测试结果恰好有一次大于品牌B的测试结果的概率；‎ ‎（Ⅲ）经过了解，前6次测试是打开含有文字和表格的文件，后6次测试是打开含有文字和图片的文件.请你依据表中数据，运用所学的统计知识，对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价.‎ ‎（18）（本小题13分）‎ 如图，三棱柱侧面底面，‎ ‎，分别为棱的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求三棱柱的体积；‎ ‎（Ⅲ）在直线上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的长；若不存在，说明理由.‎ 13‎ ‎（19）（本小题14分）‎ 已知椭圆，直线与椭圆相交于两点，与轴交于点，点与点不重合.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的离心率；‎ ‎（Ⅱ）当时，求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅲ）过原点作直线的垂线，垂足为.若，求的值.‎ ‎（20）（本小题13分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求证：“”是“函数有且只有一个零点” 的充分必要条件.‎ 13‎ 海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案 数学（文科）‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 选项 A D B B D C A C 二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.(有两空的小题第一空3分)‎ ‎9.10.11.或 ‎12.13.114.5 A 三、解答题: 本大题共6小题，共80分.‎ ‎15（本题共13分）‎ 解：（Ⅰ）设等差数列的首项为，公差为 ‎，解得，------------------------3分 由，则------------------------5分 因此，通项公式为.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：，则 ‎------------------------7分 因为，------------------------8分 所以是首项为8，公比为的等比数列.------------------------9分 记的前项和为，则 ‎------------------------10分 ‎------------------------12分 ‎---------------------13分 13‎ ‎16（本题共13分）‎ 解：（Ⅰ），------------------------2分 解得：，------------------------3分 所以，函数的定义域为------------------------4分 ‎（Ⅱ）‎ ‎------------------------6分 ‎------------------------8分 ‎------------------------9分 因为，所以，‎ 所以，------------------------11分 所以，函数的值域为.------------------------13分 ‎17.（本题共13分）‎ 解：（Ⅰ）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎7‎ 所以等于1有2次，=2有3次，=4有4次，=6有2次，=7有1次，‎ 则数据的众数为4------------------------5分 ‎（Ⅱ）设事件D=“品牌的测试结果恰有一次大于品牌的测试结果”.‎ 满足的测试共有4次，其中品牌的测试结果大于品牌的测试结果有2次即测试3和测试7，不妨用M，N表示.品牌的测试结果小于品牌的测试结果有2次即测试6和测试11，不妨用P，Q表示.从中随机抽取两次，共有MN,MP,MQ,NP,NQ,PQ六种情况，其中事件D发生，指的是MP,MQ,NP,NQ四种情况.‎ 故. ------------------------10分 ‎（Ⅲ）本题为开放问题，答案不唯一，在此给出评价标准，并给出可能出现的答案情况，阅卷时按照标准酌情给分.‎ 给出明确结论，1分，结合已有数据，能够运用以下两个标准中的任何一个陈述得出该结论的理由，2分.‎ 标准1: 分别比较两种不同测试的结果，根据数据进行阐述 13‎ 标准2：会用测试结果的平均数进行阐述 ‎------------------------13分 可能出现的作答情况举例，及对应评分标准如下：‎ 结论一：，品牌处理器对含有文字与表格的文件的打开速度快一些，品牌处理器对含有文字与图片的文件的打开速度快一些。‎ 理由如下：从前6次测试（打开含有文字与表格的文件）来看，对于含有文字与表格的相同文件，品牌的测试有两次打开速度比品牌快(数值小），品牌有四次比品牌快，从后6次测试（打开含有文字与图片的文件）来看，对于含有文字与图片的相同文件，品牌有四次打开速度比品牌快（数值小）.‎ 结论二：从测试结果看，这两种国产品牌处理器的文件的打开速度结论：品牌打开文件速度快一些 理由如下：品牌处理器对文件打开的测试结果的平均数估计为，品牌处理器对文件打开的测试结果的平均数估计为，所以品牌打开文件速度快一些.（且品牌方差较小）‎ 其他答案情况，比照以上情况酌情给分.‎ ‎18.（本题共14分）‎ ‎（Ⅰ）证明：三棱柱中，‎ 侧面底面，，‎ 又因为侧面底面，底面，‎ 所以平面，-----------------------3分 又因为平面，‎ 所以；------------------------4分 ‎（Ⅱ）解：连接 ,因为三棱柱中，所以.‎ 因为，所以.又因为，且.‎ 所以△是边长为2的正三角形.因为是棱的中点，所以，‎ 又因为，，所以.‎ 因为，底面，‎ 所以底面.------------------------6分 所以三棱柱的体积为 13‎ ‎； …………………………8分 ‎（Ⅲ）在直线上存在点，使得平面.------------------------9分 证明如下：连接并延长，与的延长线相交，设交点为.连接.‎ 因为，所以，故----------------------10分 由于为棱的中点，所以，故有----------------------11分 又为棱的中点，‎ 故为的中位线，所以.------------------------12分 又平面，平面，‎ 所以平面. ------------------------13分 故在直线上存在点，使得平面.‎ 此时，. -------------------------14分 ‎19.（本题共14分）‎ 解：（Ⅰ），，，------------------------2分 ‎，故.------------------------4分 ‎（Ⅱ）设，‎ 13‎ ‎，得到，‎ 依题意，由得.‎ 且有，------------------------6分 ‎，------------------------7分 原点到直线的距离------------------------8分 所以------------------------9分 解得>1，‎ 故椭圆方程为.------------------------10分 ‎（Ⅲ）直线的垂线为，------------------------11分 由解得交点，------------------------12分 因为，又 所以=，故的值为1.------------------------14分 ‎20.（本题共13分）‎ 解：（Ⅰ）依题意，-----------------------------1分 所以切线的斜率 又因为，-----------------------------2分 所以切线方程为.-----------------------------3分 ‎（Ⅱ）先证不必要性.‎ 13‎ 当时，，‎ 令，解得.-----------------------------4分 此时，有且只有一个零点，故“有且只有一个零点则”不成立.‎ ‎-----------------------------5分 再证充分性.‎ 方法一：‎ 当时，.‎ 令，解得.-----------------------------6分 ‎（i）当，即时，，‎ 所以在上单调增.‎ 又，‎ 所以有且只有一个零点.-----------------------------7分 ‎（ii）当，即时，‎ ‎，随的变化情况如下:‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ 极大值 极小值 ‎-----------------------------8分 当时，，，所以-----------------------------9分 又 所以有且只有一个零点.-----------------------------10分 ‎（说明：如果学生直接写出时，要扣1分）‎ ‎（iii）当，即时，，随的变化情况如下:‎ ‎0‎ 13‎ ‎0‎ ‎0‎ 极大值 极小值 ‎-----------------------------11分 因为，所以时，-----------------------------12分 令，则. ‎ 下面证明当时，.‎ 设，则.‎ 当时，在上单调递增；‎ 当时，在上单调递减 所以当时，取得极大值.‎ 所以当时，, 即.‎ 所以.‎ 由零点存在定理，有且只有一个零点.‎ 综上，是函数有且只有一个零点的充分不必要条件.-----------------------------13分 ‎（说明：如果学生写出下面过程，，时，有且只有一个零点.要扣1分）‎ 方法二：‎ 当时，注意到时，，，，‎ 因此只需要考察上的函数零点.-----------------------------7分 ‎（i）当，即时，时，，‎ 单调递增.-----------------------------8分 又 有且只有一个零点.-----------------------------10分 13‎ ‎（ii）当，即时，以下同方法一.‎ 13‎