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石景山区2017—2018学年第一学期高三期末试卷 数学（理）‎ 本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡．‎ 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎1．已知集合，,则（ ）‎ A． 　 B．　　　C． 　D．‎ ‎2．设是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．用计算机在之间随机选取一个数，则事件“”发生的概率为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎4．以角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，角终边过点，则（ ）‎ ‎ A． B. C． D．‎ ‎5．“”是“方程表示双曲线”的（ ）‎ A．充分不必要条件　　　　B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6．给定函数①，②，③，④，其中在区间上单调递减的函数序号是（ ）‎ A．①④ B．①② C．②③ D．③④‎ 12‎ ‎7．《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍（底面为矩形的屋脊状的几何体），下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．下图网格纸中实线部分为此刍甍的三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈，那么此刍甍的体积为（ ）‎ ‎ A. 3立方丈 B. 5立方丈 C. 6立方丈 D. 12立方丈 ‎8． 小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点出发，沿箭头方向经过点跑到点，共用时，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为，他与教练间的距离为，表示与的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的（ ）‎ A．点 B．点 C．点 D．点 第二部分（非选择题共110分）‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．‎ ‎9．若，，，则的大小关系为_______.‎ ‎10．执行下面的程序框图，若输入的的值为，则输出的的值是________.‎ 12‎ ‎11.若实数满足则的取值范围为_________.‎ ‎12.设常数，若的二项展开式中项的系数为，则______.　‎ ‎13．在中，为上异于，的任一点，为的中点，若 ‎ ‎ ，则_________．‎ ‎14．若集合且下列四个关系：‎ ‎ ①；②；③；④ 有且只有一个是正确的.‎ 请写出满足上述条件的一个有序数组__________,符合条件的全部有序数组的个数是_________.‎ 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎15．（本小题共13分）‎ 如图，在中，为边上一点，，，．‎ ‎（Ⅰ）若，求的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，求的面积．‎ A B D C 图2‎ 图1‎ B D A C 12‎ ‎16．（本小题共13分）‎ 摩拜单车和ofo小黄车等各种共享单车的普及给我们的生活带来了便利.已知某共享单车的收费标准是：每车使用不超过小时（包含小时）是免费的，超过小时的部分每小时收费元（不足小时的部分按小时计算，例如：骑行小时收费为元）.现有甲、乙两人各自使用该种共享单车一次.设甲、乙不超过小时还车的概率分别为 ‎，；小时以上且不超过小时还车的概率分别为，；两人用车时间都不会超过小时.‎ ‎（Ⅰ）求甲乙两人所付的车费相同的概率；‎ ‎（Ⅱ）设甲乙两人所付的车费之和为随机变量，求的分布列及数学期望.‎ ‎17．（本小题共14分）‎ 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，为中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：； ‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）在棱上是否存在点，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由．‎ 12‎ ‎18．（本小题共13分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）若 ,确定函数的零点；‎ ‎（Ⅱ）若，证明：函数是上的减函数；‎ ‎（Ⅲ）若曲线在点处的切线与直线平行，求的值.‎ 12‎ ‎19．（本小题共14分）‎ 已知椭圆离心率等于，、是椭圆上的两点.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）是椭圆上位于直线两侧的动点.当运动时，满足，试问直线的斜率是否为定值？如果为定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由.‎ ‎20．（本小题共13分）‎ 如果项有穷数列满足，，…，，即，则称有穷数列为“对称数列”.例如，由组合数组成的数列就是“对称数列”.‎ ‎(Ⅰ)设数列是项数为7的“对称数列”，其中成等比数列，且.依次写出数列的每一项；‎ ‎（Ⅱ）设数列是项数为（且）的“对称数列”，且满足，记为数列的前项和；‎ ‎(ⅰ1)若是单调递增数列，且.当为何值时，取得最大值？‎ ‎（2ⅱ）若，且，求的最小值.‎ 12‎ 石景山区2017—2018学年第一学期高三期末试卷 数学（理）答案及评分参考 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 A A D B A ‎ C B D 题号 ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ 答案 ‎(3,2,1,4); 6‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．‎ ‎(第14题第一空3分，(3,2,1,4), (2,3,1,4) (3,1,2,4) (3,1,4,2) (4,1,3,2) (2,1,4,3)‎ 任选一个即可，第二空2分)‎ 三、解答题共6小题，共80分．‎ ‎15．（本小题共13分）‎ 解：（Ⅰ）设，，‎ 则， …………2分 ‎ 所以 …………5分 ‎ 因为，‎ ‎ 所以，‎ ‎ 即． …………7分 A B D C H ‎（Ⅱ）过点作交的延长线于点，‎ 因为，‎ 所以，‎ 所以； …………11分 所以． …………13分 12‎ ‎16．（本小题共13分）‎ 解：（Ⅰ）甲乙两人用车时间超过2小时的概率分别为：， …………1分 甲乙两人所付车费用相同的概率………4分 ‎（Ⅱ）随机变量ξ的所有取值为. …………5分 ‎ …………10分 的分布列为:‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎ …………11分 数学期望. ………13分 ‎17．（本小题共14分）‎ 解：（Ⅰ）证明：设与的交点为，连接.‎ 因为为矩形，所以为的中点，‎ 在中，由已知为中点，‎ 所以， ……………2分 又平面，平面， ……………3分 12‎ 所以平面. ……………4分 ‎（Ⅱ）解：取中点，连接. ‎ 因为是等腰三角形，为的中点，‎ 所以，‎ 又因为平面平面，‎ 因为平面，，‎ 所以平面． ……………5分 取中点，连接，‎ 由题设知四边形为矩形，‎ 所以，‎ 所以．　‎ 如图建立空间直角坐标系，则，，‎ ‎，，，，.‎ ‎，. ……………6分 A x D C E P y z O B M F G 设平面的法向量为，‎ 则即 令，则，，‎ 所以. ‎ 平面的法向量为，‎ 设，的夹角为，所以. ……………9分 由图可知二面角为锐角，‎ 所以二面角的余弦值为. ……………10分 ‎（Ⅲ）设是棱上一点，则存在使得．‎ 因此点，，． ……12分 12‎ 由，即．‎ 因为，所以在棱上存在点，使得，‎ 此时． ……………14分 ‎18．（本小题共13分）‎ 解：（Ⅰ）当 时，则 …… 1分 定义域是，令 ……………2分 是所求函数的零点. ……………3分 ‎（Ⅱ）当时，函数的定义域是， ………4分 所以，…………5分 令，只需证：时，． ……………6分 又，‎ 故在上为减函数， …………… 7分 所以， …………… 8分 所以，函数是上的减函数． ……………9分 ‎（Ⅲ）由题意知，，且， ………… 10分 所以，即有， ……………11分 令，，则，‎ 故是上的增函数，又，因此是的唯一零点，‎ 即方程有唯一实根，所以． ……………13分 12‎ ‎19．（本小题共14分）‎ 解：（Ⅰ）因为，又，‎ 所以 ………2分 设椭圆方程为,代入,得 ……4分 椭圆方程为 …………5分 ‎（Ⅱ）当时，斜率之和为 …………6分 设斜率为，则斜率为 …………7分 设方程为，与椭圆联立得 代入化简得：‎ ‎，‎ 同理，，‎ 即直线的斜率为定值. …………14分 ‎20．（本小题共13分）‎ 解:(Ⅰ) 因为数列是项数为7的“对称数列”，所以 ……………1分 又因为成等比数列，其公比，‎ 所以数列的7项依次为：9，3，1，，1，3，9 . ……………3分 ‎（Ⅱ）(ⅰ)由是单调递增数列且数列是“对称数列”且满足可知是公差为2的等差数列，是公差为的等差数列 …5分 12‎ ‎ …………7分 所以当时，取得最大值. ……8分 ‎（ⅱ）因为即.‎ 所以 即.‎ 于是………10分 因为数列是“对称数列”‎ 所以 因为即解得或 所以 …………12分 当是公差为的等差数列时满足，且，‎ 此时，所以的最小值为. ………13分 ‎【注：若有其它解法，请酌情给分】‎ 12‎