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莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 惠州市2018届高三第三次调研考试 数学（文科）‎ 全卷满分150分，时间120分钟．‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。‎ ‎2．作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。‎ ‎3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。‎ 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1. 集合，，则= （ ）‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎2．设（为虚数单位），则（ ）‎ ‎(A) (B) (C) (D) 2‎ ‎3．等比数列中，，，则（　 ）‎ ‎(A) 8 (B) 16 (C) 32 (D) 64‎ ‎4. 已知向量，则（ ）‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎5．下列说法中正确的是（ ）‎ ‎(A) “”是“函数是奇函数”的充要条件 ‎(B) 若，则 ‎(C) 若为假命题，则均为假命题 ‎(D) “若，则”的否命题是“若，则”‎ ‎6．已知输入实数，执行如图所示的流程图，则输出的是 （ ）‎ 开始 输入x n=1‎ n≤3‎ 输出x 否 结束 x=2x+1‎ n=n+1‎ 是 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ ‎7．将函数（）的图象向右平移个单位后得到函数 ‎ 的图象，若的图象关于直线对称，则（ ）‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎8．已知,满足条件，则的最大值是 ( )‎ ‎ (A) (B) (C) 3 (D) 4‎ ‎9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( )‎ ‎ (A) (B) ‎ ‎(C) (D) ‎ ‎10．已知函数的定义域为，满足，当时，‎ ‎，则函数的大致图象是（ ）‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎11．已知P为抛物线上一个动点，Q为圆上一个动点，则点P到 点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和最小值是（ ）‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎12. 设定义在上的函数满足任意都有，且时，‎ ‎ ，则的大小关系是（ ）‎ ‎(A) (B) ‎ ‎(C) (D) ‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。‎ ‎13．已知数据的平均数为2，则数据的平均数为 .‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ ‎14．设，且是与的等比中项，则的最小值为 .‎ ‎15．当双曲线不是等轴双曲线时，我们把以双曲线的实轴、虚轴的端点作为顶点 的椭圆称为双曲线的“伴生椭圆”．则离心率为的双曲线的“伴生椭圆”的 离心率为 ．‎ ‎16．已知平面区域， ，在区域上 随机取一点，点落在区域内的概率为 ．‎ 三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 在中，角的对边分别为，已知.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若， 边上的中线，求的面积.‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 在某大学联盟的自主招生考试中，报考文史专业的考生参加了人文基础学科考试科目 ‎“语文”和“数学”的考试. 某考场考生的两科考试成绩数据统计如下图所示，本次 考试中成绩在内的记为，其中“语文”科目成绩在内的考生有10人. ‎ ‎（1）求该考场考生数学科目成绩为的人数；‎ ‎（2）已知参加本场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为.在至少一科成绩为 的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为的概率.‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 如图1,在直角梯形中,,,, ‎ 点为中点,将沿折起, 使平面平面,得到几何 体,如图2所示.‎ ‎（1）在上是否存在一点,使平面？若存在，证明你的结论，‎ ‎ 若不存在，请说明理由；‎ A B C D 图2‎ E ‎（2）求点到平面的距离.‎ B A C D 图1‎ E ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知，分别为椭圆：的左、右焦点，点在椭圆上.‎ ‎（1）求的最小值；‎ ‎（2）设直线的斜率为，直线与椭圆交于， 两点，若点在第一象限，‎ 且，求面积的最大值.‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知函数，其导函数，且，‎ ‎ ．‎ ‎（1）求的极值；‎ ‎（2）求证：对任意，都有．‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线的参数方程为(为参数)，以直角坐标系原点为极点，‎ 轴正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）设射线，，若分别与曲线相交于异于原点的两点，‎ 求的面积．‎ ‎23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2），恒成立，求实数的取值范围.‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 数学（文科）参考答案 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D B B C D C D C B A A C ‎1.【解析】,,,故选D．‎ ‎2.【解析】，所以 ，则 ，故选择B.‎ ‎3.【解析，解得，.‎ 故选B 4. ‎【解析】 ＝．故选C．‎ ‎5.【解析】 试题分析：时，，但是不是奇函数，A错；‎ 命题的否定是，B错；中只要有一个为假命题，则为假命题，C错；“若，则”的否命题是“若，则”是正确的，故选D．‎ ‎6.【解析】输入， 经过第一次循环得到， 经过第二循环得到， 经过第三次循环得到，此时输出， 故选C． 考点：程序框图的识别及应用 ‎ ‎7.【解析】因为，所以，所以 ，解得 ，又，所以，故选D.‎ ‎8.【解析】．‎ 因为 ，如图所示经过原点的直线斜率最大的为直线与直线 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 的交点，故，选C. ‎ ‎9.【解析】由三视图可知该三棱锥底面是边长为4的正三角形，面积为，高为4，‎ 则，故选B．‎ ‎10.【解析】由，知是奇函数，故排除C,D；当时，‎ ‎，从而A正确.‎ ‎11.【解析】根据抛物线的定义，点P到准线的距离等于到焦点的距离，则距离之和等于，‎ 画图可得, 的最小值为圆心C与焦点F连线与抛物线相交于点P，则最小值等于 ‎， 圆心，得，所以最小值为，故选A.‎ ‎12.【解析】由题意可得： ，则： ，‎ 据此有： ，即函数是周期为的周期函数，‎ 构造新函数，则，‎ 则函数是定义域内的增函数，‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 有： ，即： ，‎ 利用函数的周期性可得： ，‎ 据此可得： .‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13. 4 14. 4 15. 16. ‎ ‎13.【解析】平均数为 ‎14.【解析】试题分析：因,即,故,‎ 所以,应填.‎ ‎15.【解析】试题分析：设双曲线C的方程为，所以 ，‎ ‎∴双曲线C的“伴生椭圆”方程为：，∴“伴生椭圆”的离心率为 ‎16.【解析】【答案】‎ ‎【解析】由题意可得，集合M表示坐标原点为圆心，2为半径的圆及其内部，集合N表示图中的阴影区域，其中 ，‎ 由几何概型公式可得：点落在区域内的概率为 .‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ ‎【答案】（1）; （2）当时， ；当时， .‎ ‎【解析】试题分析：（1）将代入化简求值即可；（Ⅱ）在中，由余弦定理解 得或6，利用面积公式求解即可.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由已知得 ‎ ‎， ……2分 ‎ 所以， ………4分 因为在中， ， ‎ 所以， ‎ 则． ……………6分 ‎（2）由（1）得， ， ， ……………8分 ‎ 在中， ， ‎ 代入条件得，解得或6， ………10分 当时， ；当时， ． ………12分 18. ‎（本小题满分12分）‎ 解：(1)该考场的考生人数为10÷0.25=40人. ………2分 数学科目成绩为的人数为 40×(1-0.0025×10-0.015×10-0.0375×10×2)=40×0.075=3人. ………5分 (2) 语文和数学成绩为A的各有3人，其中有两人的两科成绩均为，所以还有两名同学 只有一科成绩为. ……………7分 设这四人为甲、乙、丙、丁，其中甲、乙的两科成绩均为，则在至少一科成绩为的考生中，‎ 随机抽取两人进行访谈，基本事件为{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}， ‎ ‎{丙，丁}共6个， …………… 10分 设“随机抽取两人，这两人的两科成绩均为”为事件，则事件包含的事件有1个，‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 则. ……………12分 ‎ 19. 试题解析：(1)存在的中点成立, 连结, 在中,,分别为,的中点 ……2分 为的中位线 // ………4分 平面平面 //平面 ……………6分 (2) 设点到平面的距离为 ‎ ‎⊥,,⊥‎ ‎⊥⊥，⊥ ……………7分 ⊥即⊥ ………9分 三棱锥的高, ………10分 即 ………12分 ‎20. （本小题满分12分）‎ ‎【答案】（1）的最小值为; （2）12.‎ ‎【解析】试题分析：‎ （1） 设，由向量数量积的坐标运算求得，注意椭圆中 有，因此可得最小值；‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ （1） 由直线与圆锥曲线相交的弦长公式求得弦长，求出点坐标，再求得到直线的距离 即三角形的高，从而得面积由基本不等式可得最大值．‎ 试题解析：‎ ‎（1）有题意可知， ，设点 则， ， ………2分 ‎∴，‎ ‎∵点在椭圆上，∴，即， ………3分 ‎∴（）， ………4分 ‎∴当时， 的最小值为． ………6分 ‎（注：此问也可用椭圆的参数方程表达点P求解）‎ ‎（2）设的方程，点， ，‎ 由得， ………7分 令，解得．‎ 由韦达定理得， ， ‎ 由弦长公式得， ………8分 ‎ 且，得．‎ 又点到直线的距离， ………9分 ‎∴ ‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ ‎， ………11分 当且仅当时，等号成立， ‎ ‎∴ 面积最大值为2. ……12分 ‎21.（本小题满分12分）‎ 解析：（1）依题意得， ………2分 知在和上是减函数，在上是增函数 ………4分 ‎∴， ………5分 ‎（2）法1：易得时， ，‎ 依题意知，只要 由知，只要 ………7分 令，则 ………8分 注意到，当时， ；当时， ， ………9分 即在上是减函数，在是增函数， ………10分 即，综上知对任意，都有 ………12分 法2：易得时， ， ………7分 由知, ,令………8分 则………9分 注意到，当时， ；当时， ，………10分 即在上是减函数，在是增函数， ，所以,‎ 即.‎ 综上知对任意，都有. ………12分 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 法3: 易得时， ， ………7分 由知, , ………8分 令,则………9分 令,则,………10分 知在递增,注意到,‎ 所以, 在上是减函数，在是增函数,有,即 综上知对任意，都有. ……12分 22. ‎（本小题满分10分）‎ 解：(1)∵曲线的参数方程为 ‎ ‎∴曲线的普通方程为 即 ……2分 将代入并化简得： ‎ 即曲线的极坐标方程为. …………5分 ‎（2）由得到 …………7分 同理. ………… 9分 又∵‎ ‎∴. ‎ 即的面积为. …………10分 ‎23. （本小题满分10分）‎ 解：（1）不等式，即，即，……2分 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ ‎，解得或.……3分 所以不等式的解集为或.……4分 ‎（2）……6分 故的最大值为，……8分 因为对于，使恒成立.‎ 所以，即，‎ 解得或，∴.……10分 莲山课件http://www.5ykj.com/‎