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2018届高三第一学期模拟考试
数学(文科)试卷
（试卷共6页；完卷时间120分钟；满分150分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）
1.集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数，则＝ （ ）
A. B. C. D.
3.已知直线，其中，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）
A．9盏 B．5盏 C．3盏 D．1盏
5.函数，，在区间上的图象如图所示，为了得到这个
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函数的图象，只要将，，的图象上的所有的点（ ）
A.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
B.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变
C.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
D.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变
6.有编号为1，2，...，700的产品，现需从中抽取所有编号能被7整除的产品
为样品进行检验。下面是四位同学设计的程序框图，其中正确的是（ ）
7.某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B．
C． D．
8.如图，周长为的圆的圆心在轴上，顶点，一动点从
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开始逆时针绕圆运动一周，记走过的弧长，直线与轴交于点，则函数的图像大致为（ )
9.某工厂生产甲、乙两种产品，生产甲产品1件需消耗原料1千克，原料2千克；生产乙产品1件需消耗原料2千克，原料1千克；每件甲产品的利润是300元，每件乙产品的利润是400元，公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗，原料都不超过12千克，通过合理安排计划，从每天生产的甲，乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ）
A．1800元 B．2400元 C．2800元 D．3100元
10.在如图所示的正方体中，E，F分别是棱的中点,则异面直线
与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
11.把函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到图象。若对任意的，曲线与至多只有一个交点，则的最小值为（ ）A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
12.若为双曲线的左右焦点，为坐标原点，点在双曲线的左支上，点在双曲线的右准线上，且满足：，则该双曲线的离心率为（ ）
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A. B. C. D. 3
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．）
13.平面向量与的夹角为，，，则 .
14.从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽
得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 .
15.设分别为具有公共焦点的椭圆与双曲线的离心率，点为两曲线的交点，且点满足，则的值为 .
16.中，角所对的边分别为，向量，，且，三角函数式的取值范围是 .
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17.（本大题满分12分）
已知等差数列的前n项和为Sn，，且成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
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18．(本小题满分12分)
如图，直三棱柱中，,，D, E分别为AB和上的点，且．
（1）当D为AB中点时，求证：；
（2）当D在AB上运动时，求三棱锥体积的最小值．
19．(本小题满分12分)
某企业为了对新研发的一批产品进行合理定价，将产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据，如表所示：
试销单价x（元）
4
5
6
7
8
9
产品销量y（件）
q
84
83
80
75
68
已知
（1）求q的值
（2）已知变量具有线性相关性，求产品销量y关于试销单价x的线性回归方程可供选择的数据
（3）用表示（2）中所求的线性回归方程得到的与对应的产品销量的估计值。当销售数据对应的残差的绝对值时，则将销售数据称为一个“好数据”。试求这6组销售数据中的 “好数据”。
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参考数据：线性回归方程中的最小二乘估计分别是
20．(本小题满分12分)
已知抛物线在第一象限内的点到焦点的距离为．
（1）若，过点M,P的直线与抛物线相交于另一点Q，求的值；
（2）若直线与抛物线C相交于A,B两点，与圆相交于D,E两点，O为坐标原点，，试问：是否存在实数a，使得的长为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
21．(本小题满分12分)
已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点,求实数a的取值范围．
本题有(22)、(23)两题中任选一题做答,如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．
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22.(本小题满分10分)[选修4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为，以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为。
（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程。
（2）设点P为曲线C上的任意一点，求点P到直线l的距离的最大值。
23.(本小题满分10分)[选修4-5：不等式选讲]
已知函数f(x)＝|x＋1|，
(1)解不等式f(x)≥2x＋1；
(2)x∈R，使不等式f(x－2)－f(x＋6)＜m成立，求m的取值范围。
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2018届高三第一学期模拟考试
数学(文科)试卷参考答案
1.D 2.B 3.A 4.C 5.A 6.B 7.B 8.D 9.C 10.A 11.C 12.C
13. 14. 15. 2 16.
17.（Ⅰ）由等差数列性质，，所以……………………………(1分)
设公差为d，则，解得d=0或d=-1……………………………(4分)
或 ……………………………(6分)
(2)①当时， ……………………………(8分)
②当时，
……………………………(10分)
………………………(12分)
18.（1）证明：∵D为AB的中点，故E为的中点，三棱柱为直三棱柱，
∴平行四边形为正方形，∴，
∵，D为AB的中点，∴，
∵三棱柱为直三棱柱，
∴CD平面，又平面，∴，
又，∴平面，
∵平面，
∴． ...............................6分
（2）设，则
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由已知可得C到平面的距离即为的边AB所对的高，
∴
∴当x=3，即D为AB的中点时，有最小值18．
...............................12分
19.（1）
又， ……………………3分
（2），……………………4分
……………………6分
……………………7分
……………………8分
（3）
，所以是好数据；
，所以不是好数据
，所以是好数据
，所以不是好数据
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所以是好数据
所以不是好数据
所以好数据为……………………12分
20.（1）∵点，∴，解得p=1，
故抛物线C的方程为：，当x=2时，t=2，
∴的方程为，联立可得，，
又∵，，∴． ...............................5分
（2）设直线AB的方程为，代入抛物线方程可得，
设 ，则，，①
由得：，
整理得，②
将①代入②解得m=2，∴直线，
∵圆心到直线l的距离，∴，
显然当a=2时，，的长为定值． ..................12分
21.(1)f′(x)＝ex+(x－1)ex-ax＝x (ex-a)．……………………………(1分)
(i)设a≤0，则当x∈(－∞，0)时，f′(x)＜0；
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0，所以f(x)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．
……………………………(2分)
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(ii)设a＞0，由f′(x)＝0得x＝0或x＝ln a．
若a＝1，则f′(x)＝x (ex-1) ≥0，
所以f(x)在(－∞，＋∞)单调递增．
若0＜a＜1，则ln a＜0，故当x∈(－∞，ln a)∪(0，＋∞)时，f′(x)＞0；当x∈(ln a，0)时，f′(x)＜0，
所以f(x)在(－∞，ln a)，(0，＋∞)单调递增，在(ln a，0)单调递减．…………………(3分)
③若a＞1，则ln a＞0，故当x∈(－∞，0)∪(ln a，＋∞)时，f′(x)＞0；当x∈(0，ln a)时，f′(x)＜0，所以f(x)在(－∞，0)，(ln a，＋∞)单调递增，在(0，ln a)单调递减．……………(5分)
综上所述，当a≤0时f(x)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增；当0＜a＜1时f(x)在(－∞，ln a)，(0，＋∞)单调递增，在(ln a，0)单调递减；当a＝1时f(x)在(－∞，＋∞)单调递增；当a＞1时f(x)在(－∞，0)，(ln a，＋∞)单调递增，在(0，ln a)单调递减．
……………………………(6分)
(2)(i)设a≤0，则由(1)知，f(x)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．
又f(0)＝－1，f(1)＝－(a，取b满足b＜-3且b=ln(－a)，则f(b)＞-a (b－1)－(a b 2＝－(a(b2+2b-2)＞0.
所以f(x)有两个零点．……………………………(8分)
(ii)设a＝1，则f(x)＝x (ex-1)，所以f(x)只有一个零点．……………………………(9分)
(iii)设0＜a＜1，则由(1)知，f(x)在(－∞，ln a)，(0，＋∞)单调递增，在(ln a，0)单调递减，f(0)＝－1,当b ＝ln a时，f(x)有极大值f(b)=a (b－1)－(a b 2＝－(a(b2-2b+2) ＜0，故f(x)不存在两个零点；当a＞1时，则由(1)知，f(x)在(－∞，0)，(ln a，＋∞)单调递增，在(0，ln a)单调递减，当x＝0时，f(x)有极大值f(0)＝－1＜0，故f(x)不存在两个零点．……………………………(11分)
综上，a的取值范围为a≤0．……………………………(12分)
22.⑴因为直线l的极坐标方程为，
所以，即…………………………………3分
曲线C的参数方程为（α为参数）
所以……………………………………………………………………………5分
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⑵设，则P到直线l的距离为
…………………………………………………………6分
= …………………………………………………………8分
所以当时，d取最大值……………………………………10分
23.(1)当x＋1≥0即x≥－1时，x＋1≥2x＋1，∴－1≤x≤0，
当x＋1＜0即x＜－1时，－x－1≥2x＋1，∴x＜－1，
∴不等式的解集为{x|x≤0}…………………………………………5分
(2)∵f(x－2)＝|x－1|，f(x＋6)＝|x＋7|，∴|x－1|－|x＋7|＜m，
∵x∈R，使不等式|x－1|－|x＋7|＜m成立，∴m大于|x－1|－|x＋7|的最小值
∴m＞－8…………………………10分
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