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泸县第二中学2018届高三上学期期末考试
数学（理）试题
考试时间：120分钟 满分：150分
注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题 60分）
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合， ，则是
A. B. C. D.
2．已知，则“”是“ ”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3．若复数（， 为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为
A. -6 B. -2 C. D. 6
4．下列程序框图中，输出的的值是
A. B. C. D.
5．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则＝
A. B. C. D.
6．的展开式中， 的系数为
A. B. C. D.
7．已知随机变量X服从正态分布N（3，δ2），且P（x≤6）=0.9，则P（0＜x＜3）=
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A. 0.4 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.7
8.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则图象的一条对称轴为
A. B. C. D.
9.已知三棱锥中，侧面底面 ，则三棱锥的外接球的表面积为
A. B. C. D.
10．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，AC＝2，BC＝，D，E分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
11．在中， ， ， 的交点为，过作动直线分别交线段 于两点，若， ，（ ），则的最小值为
A. B. C. D.
12．已知偶函数的导函数为,且满足,当时, ,则使成立的的取值范围为
A. B. C. D.
第II卷（非选择题 90分）
试题答案用0.5毫米黑色签字笔答在答题卡上，答在试卷上概不给分.
二、填空题（本大题共4个小题，5分每题，共20分）
13．若，且，则 ．
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14．已知实数，满足则的取值范围为 ．
15．将4个男生和3个女生排成一列，若男生甲与其他男生不能相邻，则不同的排法数有 种（用数字作答）
16．从随圆（）上的动点作圆的两条切线，切点为和，直线与轴和轴的交点分别为和，则面积的最小值是__________．
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
如图，在中，点在边上，且， ， ， .
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值.
18．（本小题满分12分）
北京时间3月15日下午，谷歌围棋人工智能与韩国棋手李世石进行最后一轮较量， 获得本场比赛胜利，最终人机大战总比分定格.人机大战也引发全民对围棋的关注，某学校社团为调查学生学习围棋的情况，随机抽取了100名学生进行调查.根据调查结果绘制的学生日均学习围棋时间的频率分布直方图（如图所示），将日均学习围棋时间不低于40分钟的学生称为“围棋迷”.
（Ⅰ）根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否有的把握认为“围棋迷”与性别有关？
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非围棋迷
围棋迷
合计
男
女
10
55
合计
（Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率，现在从该地区大量学生中，采用随机抽样方法每次抽取1名学生，抽取3次，记被抽取的3名淡定生中的“围棋迷”人数为。若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列，期望和方差.
附： ，其中.
0.05
0.01
3.841
6.635
19．（本小题满分12分）
已知直角梯形中， ， ， ， 、分别是边、上的点，且，沿将折起并连接成如图的多面体，折后．
（Ⅰ）求证： ；
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（Ⅱ）若折后直线与平面所成角的正弦值是，求证：平面平面．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆经过不同的三点在第三象限），线段的中点在直线上．
（Ⅰ）求椭圆的方程及点的坐标；
（Ⅱ）设点是椭圆上的动点（异于点且直线分别交直线于两点，问是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．
21．（本小题满分12分）
已知函数.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）若有两个极值，其中，求的最小值.
请考生在22、23题中任选一题作答。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。
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22．（本小题满分10分）
在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，过点的直线的参数方程为（为参数），
直线与曲线相交于两点．
（Ⅰ）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程； （Ⅱ）若，求的值.
23．选修4－5：不等式选讲（本小题满分10分）
（1）设函数，若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
（2）已知正数满足，求的最小值.
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2017年秋四川省泸州市泸县第二中学高三期末考试
数学（理）参考答案
1．A 2．B 3．A 4．B 5．A 6．B 7．A 8．C 9．D 10．A 11．D 12．B
13． 14． 15．1440 16．
17．解：（Ⅰ）如图所示， ，
故， ；设，则， .
在中，由余弦定理
,
即，
解得， .
（Ⅱ）在中，由，得，故
，
在中，由正弦定理：，
即，故，
由，得，.
18．解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“围棋迷”有25人，从而列联表如下
非围棋迷
围棋迷
合计
男
30
15
45
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女
45
10
55
合计
75
25
100
将列联表中的数据代入公式计算，得
因为，所以没有理由认为“围棋迷”与性别有关.
（Ⅱ）由频率分布直方图知抽到“围棋迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“围棋迷”的概率为.由题意，从而的分布列为
0
1
2
3
. .
19．解：（Ⅰ）∵， ，
∴， ，
又， ，
∴平面， ，
又， ，
∴平面， ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，可如图建立空间直角坐标系，
作于，连，由（Ⅰ）知，
即为与平面所成角，设， ，
而直线与平面所成角的正弦值是，即．
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（或：平面的法向量是， ， ， ，
则）．
易知平面平面于，取的中点，则平面，
而，则平面的法向量是，
（或另法求出平面的法向量是），
再求出平面的法向量，
设二面角是，则，
∴平面平面．
20．解：（Ⅰ）由点在椭圆上，得解得所以椭圆的方程为
由已知，求得直线的方程为从而（1）
又点在椭圆上，故（2）
由（1）（2）解得（舍去）或从而所以点的坐标为
（Ⅱ）设
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因三点共线，故整理得
因三点共线，故整理得
因点在椭圆上，故，即
从而
所以为定值．
21．解：（1）由题意得，其中，
令， ，
①当时，令，得， ，
所以， 在单调递增；
②当时， ， 在单调递增；
③当时，令，得， ，且
可知当时， ，
在单调递增；
当时， ，
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在单调递减；
当时， ，
在单调递增；
综上所述，当时， 在单调递增；
当， 在和单调递增，
在单调递减；
（2）由（1）知，
由题意知是的两根，
∴， ，
可得， ∵，∴
令，
则有
当时， ， 在上单调递减，
的最小值为：，即的最小值为.
22．解：（1）由得
∴曲线的直角坐标方程为，直线的普通方程为
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（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程中，
得；设两点对应的参数分别为
则有 ∵,∴即
∴即，解之得： 或者（舍去），∴的值为1
23．(1)
∵原命题等价于,,.
（2）由于，所以
当且仅当，即时，等号成立. ∴的最小值为.
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