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2017年秋四川省泸州市泸县第五中学高三期末考试
数学试题（理）
考试时间：120分钟 满分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题 60分）
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设全集是实数集,函数的定义域为,则=
A. B. C. D.
2．若复数满足 (为虚数单位)，则的共轭复数为
A. B. C. D.
3．设向量， ，且，则向量与的夹角为
A. B. C. D.
4．“”是“”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5．已知实数满足，且的最大值为6，则实数的值为
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
6．已知某几何体的三视图如图所示，三视图是边长为的等腰三角形和边长为的正方形，则该几何体的体积为
A. B. C. D.
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7．在数列中, ,则＝
A. B. C. D.
8．若，，则等于
A. B. C. D.
9．展开式中的系数为
A. 92 B. 576 C. 192 D. 384
10．已知正四棱锥的底面是边长为的正方形，若一个半径为的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是
A. B. C. D.
11．过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，交抛物线于两点，则
A. B. C. D.
12．已知函数 的图像上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图像上，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
第II卷（非选择题 90分）
试题答案用0.5毫米黑色签字笔答在答题卡上，答在试卷上概不给分.
二、填空题（本大题共4个小题，5分每题，共20分）
13．计算：___________
14．从集合中分别取两个不同的数作为对数的底数和真数，则事件“
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对数值大于”的概率为_______.
15．已知是定义在上的奇函数，当时，，不等式的解集用区间表示为__________．
16．已知椭圆与双曲线 有相同的焦点和,若是、的等比中项, 是与的等差中项,则椭圆的离心率是________.
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
在△ABC中,角A,B,C的对边分别是,且
（I）求角A的大小; （II）求的取值范围.
18．（本小题满分12分）
炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系．如果已测得炉料溶化完毕时钢水的含碳量与冶炼时间(从炉料溶化完毕到出钢的时间)的一组数据，如表所示：
(0.01%)
104
180
190
177
147
134
150
191
204
121
/min
100
200
210
185
155
135
170
205
235
125
（I）与是否具有线性相关关系？
（II）如果与具有线性相关关系，求回归直线方程．
(3)预报当钢水含碳量为160个0.01%时，应冶炼多少分钟？
参考公式：r＝ ，线性回归方程
19．（本小题满分12分）
已知四棱锥，底面是边长为的菱形，，为的中点，
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，
与平面所成角的正弦值为.
（I）在棱上求一点，使平面；
（II）求二面角的余弦值.
20．（本小题满分12分）
已知点在椭圆上，且椭圆的离心率为.
（I）求椭圆的方程；
（II）若为椭圆的右顶点，点是椭圆上不同的两点（均异于）且满足直线与斜率之积为.试判断直线是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由.
21．（本小题满分12分）
已知函数，在和处有两个极值点，其中， .
（I）当时，求函数的极值；
（II）若（为自然对数的底数），求的最大值.
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请考生在22、23题中任选一题作答。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．（本小题满分10分）
选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线过极坐标系内的两点和．
（I）写出曲线的普通方程，并求直线的斜率；
（II）设直线与曲线交于两点，求.
23．（本小题满分10分）
已知函数， .
（I）当时，解不等式；
（II）若存在满足，求的取值范围.
2017年秋四川省泸州市泸县第五中学高三期末考试
数学（理）参考答案
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一．选择题
1．D 2．C 3．C 4．A 5．D 6．B
7．A 8．A 9．B 10．B 11．C 12．A
二．填空题
13． 3 14． 15． 16．
三．解答题
17．解：(1)由正弦定理,得
∴,即
∵B为的内角∴∴.
∵A为的内角∴.
(2) = = =
==
由可知, ∴,
,
故的取值范围为
18．解：(1)根据题意列表并计算如表：
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
xi
104
180
190
177
147
134
150
191
204
121
yi
100
200
210
185
155
135
170
205
235
125
x1yi
10400
36000
39900
32745
22785
18090
25500
39155
47940
15125
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＝159.8，＝172，＝265448，
＝312350， iyi＝287640
于是r＝≈0.9906＞0.75.
∴y与x具有线性相关关系.
(2)利用(1)中所求的数据可以求得，的值为
＝≈1.267，
＝－＝－30.47，
∴所求的回归直线方程＝1.267x－30.47.
(3)当x＝160时，
＝1.267×160－30.47≈172(min)，
即大约需要冶炼172分钟.
19．解:(1)以为轴， 为轴， 与的交点为，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系.
其中： ， ， ， ， ， .
设平面的法向量， ， .
所以所以 所以，
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因此，故
设， ，，则： .
设平面的法向量为， ，
所以故.
，所以，因此，所以为中点.
(2)平面的法向量，平面的法向量，
由二面角为锐二面角，因此，二面角的余弦值为.
20．解：（1）可知离心率，故有，
又有点在椭圆上，代入得，
解得， ，
故椭圆的方程为.
（2）由题意，直线的斜率存在，可设直线的方程为
， ， ，
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联立得.
∴， .
∵直线与斜率之积为.
而点，∴.
∴.
化简得，
∴，
化简得，解得或，
当时，直线的方程为直线与斜率之积为，过定点.
代入判别式大于零中，解得.
当时，直线的方程为，过定点，不符合题意.
故直线过定点.
21．解：（1）由， ，则，
当时，得或；当时，得.
即函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
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∴的极大值为，
的极小值为.
（2） ，
又 ，所以是方程的两个实根，
由韦达定理得： ， ，
∴
.
设，令， .
∴在上是减函数， ，
故的最大值为.
22．解：（1）由题意得曲线的普通方程为，∵，∴直线的斜率为.
（2）易知直线的参数方程为（为参数）
代入，得，
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设方程的两个根为，
所以.
23．解：（1）当时， ．由得．
当时，不等式等价于，解得，所以；
当时，等价于，即，所以；
当时，不等式等价于，解得，所以．
故原不等式的解集为．
（2），
原命题等价于， ， ．
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