江苏省淮安市等四市2018届高三上学期第一次模拟数学试题及答案.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 江苏省淮安市等四市2018届高三上学期第一次模拟 数学试卷 注　意　事　项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 ‎1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。本卷满分为160分，考试 ‎ 时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。‎ ‎2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及 ‎ 答题卡的规定位置。‎ ‎3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。‎ ‎4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置 ‎ 作答一律无效。‎ ‎5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。 ‎ 参考公式：1.柱体的体积公式：，其中是柱体的底面面积，是高．‎ ‎2.圆锥的侧面积公式：，其中是圆锥底面的周长，是母线长．‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．‎ ‎1．已知集合，，则 ▲ ． ‎ ‎2．已知复数（为虚数单位），则的模为 ▲ ． ‎ ‎3．函数的定义域为 ▲ ． ‎ ‎4．如图是一个算法的伪代码，运行后输出的值为 ▲ ． ‎ ‎150 200 250 300 350 400 450‎ 成绩/分 ‎0.001‎ 频率 组距 ‎（第5题）‎ ‎（第17题）‎ ‎0.003‎ ‎0.004‎ ‎0.005‎ ‎ a ‎（第4题）‎ ‎5．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1 000名学生的成绩，并根据这1 000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[250，400)内的学生共有 ▲ 人．‎ ‎6．在平面直角坐标系中，已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为 ▲ ． ‎ ‎7．连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体），观察向上的点数，则事件“点数之积是3的倍数”的概率为 ▲ ． ‎ ‎8．已知正四棱柱的底面边长为，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的体积是 ▲ ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎． ‎ ‎9．若函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是，，，则实数的值为 ▲ ．‎ ‎10．在平面直角坐标系中，曲线上任意一点到直线的距离的最小值为 ▲ ． ‎ ‎11．已知等差数列满足，，则的值为 ▲ ．‎ ‎12．在平面直角坐标系中，若圆上存在点，且点关于直线的对称点在圆上，则的取值范围是 ▲ ．‎ ‎13．已知函数函数，则不等式的解集为 ▲ ． ‎ B ‎（第14题）‎ A D C E ‎14．如图，在中，已知，为边的中点．若，垂足为，则EB·EC的值为 ▲ ． ‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．‎ ‎15．(本小题满分14分)‎ 在中，角，，所对的边分别为，，，且,.‎ ‎⑴求的值；‎ ‎⑵若，求的面积. ‎ ‎16．（本小题满分14分）‎ ‎（第16题）‎ ‎ C ‎ ‎ ‎ ‎ 如图，在直三棱柱中，，，，分别是， 的中点. ‎ 求证：⑴；‎ ‎⑵.‎ ‎（第16题）‎ ‎ C ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（第16题）‎ ‎ C ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（第16题）‎ ‎ C ‎ ‎ ‎ ‎ ‎17．(本小题满分14分)‎ 某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1．为了便于设计，可将该礼品看成是由圆O及其内接等腰三角形ABC绕底边BC上的高所在直线AO旋转180°而成，如图2．已知圆O的半径为10 cm，设∠‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 BAO=θ，，圆锥的侧面积为S cm2．‎ ‎⑴求S关于θ的函数关系式；‎ ‎⑵为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积S最大．求S取得最大值时腰AB的长度．‎ A B C O A B C O θ 图1‎ 图2‎ ‎（第17题）‎ ‎18．（本小题满分16分）‎ 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且过点.为椭圆的右焦点，为椭圆上关于原点对称的两点，连接分别交椭圆于两点.‎ ‎⑴求椭圆的标准方程；‎ ‎⑵若，求的值；‎ ‎（第18题）‎ ‎⑶设直线，的斜率分别为，，是否存在实数，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎（第18题）‎ ‎19．(本小题满分16分)‎ 已知函数．‎ ‎⑴当时，求函数的极值；‎ ‎⑵若存在与函数，的图象都相切的直线，求实数的取值范围．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎20．（本小题满分16分）‎ 已知数列，其前项和为，满足，，其中，，，.‎ ‎⑴若，，（），求证：数列是等比数列；‎ ‎⑵若数列是等比数列，求，的值；‎ ‎⑶若，且，求证：数列是等差数列.‎ 数学Ⅱ(附加题)‎ ‎21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A．[选修4- 1：几何证明选讲]（本小题满分10分）‎ A B C D E F ‎(第21－A题)‎ O ‎.‎ 如图，是圆的直径，弦,的延长线相交于点，垂直的延长线于点．‎ 求证：‎ A B C D E F ‎(第21－A题)‎ O ‎.‎ A B C D E F ‎(第21－A题)‎ O ‎.‎ A B C D E F ‎(第21－A题)‎ O ‎.‎ A B C D E F ‎(第21－A题)‎ O ‎.‎ A B C D E F ‎(第21－A题)‎ O ‎.‎ B．[选修4- 2：矩阵与变换]（本小题满分10分）‎ 已知矩阵，，若矩阵，求矩阵的逆矩阵．‎ C．[选修4 - 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）‎ 以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，判断直线（为参数）与圆的位置关系．‎ D．[选修4 - 5：不等式选讲]（本小题满分10分）‎ 已知都是正实数，且，求证: ．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 在正三棱柱中，已知，，，，分别是，和的中点．以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（第22题）‎ ‎⑴求异面直线与所成角的余弦值；‎ ‎⑵求二面角的余弦值．‎ ‎23．（本小题满分10分）‎ 在平面直角坐标系xOy中，已知平行于轴的动直线交抛物线于点，点为的焦点．圆心不在轴上的圆与直线，，轴都相切，设的轨迹为曲线．‎ ‎⑴求曲线的方程；‎ ‎⑵若直线与曲线相切于点，过且垂直于的直线为，直线，分别与轴相交于点，．当线段的长度最小时，求的值．‎ 数学参考答案与评分标准 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．‎ ‎1． 2． 3． 4． 5．750 6． 7． 8． ‎ ‎9． 10． 11． 12． 13． 14． ‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．‎ ‎15．（1）在中，由，得为锐角，所以，‎ 所以，………………………………………………………………2分 所以. ………………………………4分 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ …………………………………………………………6分 ‎（2）在三角形中,由，‎ 所以， ………………………………………………8分 由，…………………………10分 由正弦定理,得，………………………12分 所以的面积. …………………………14分 ‎16．（1）证明：取的中点，连结 因为分别是的中点，‎ 所以且 在直三棱柱中，，，‎ 又因为是 的中点，‎ 所以且. …………………………………………2分 所以四边形是平行四边形，‎ 所以， ………………………………………………………………4分 而平面，平面，‎ 所以平面. ……………………………………………………6分 ‎（第16题）‎ N M ‎ ‎ B ‎ ‎ P ‎（2）证明：因为三棱柱为直三棱柱，所以面，‎ 又因为面，‎ 所以面面， …………………8分 又因为，所以，‎ 面面，，‎ 所以面， ………………………10分 又因为面，‎ 所以，即，‎ 连结，因为在平行四边形中，，‎ 所以，‎ 又因为，且，面，‎ 所以面，……………………………………………………………………12分 而面，‎ 所以.……………………………………………………………………………14分 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 D θ A B C O E ‎17．（1）设交于点，过作，垂足为， ‎ 在中，，，‎ ‎…………………………………………………………2分 在中，，‎ ‎ …………………………………………………………4分 所以 ‎， ……………………6分 ‎（2）要使侧面积最大，由（1）得：‎ ‎…………8分 设 ‎ 则，由得：‎ 当时，，当时，‎ 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，‎ 所以在时取得极大值，也是最大值；‎ 所以当时，侧面积取得最大值， …………………………11分 此时等腰三角形的腰长 答：侧面积取得最大值时，等腰三角形的腰的长度为．…………14分 ‎18．（1）设椭圆方程为，由题意知：……………2分 解之得：，所以椭圆方程为： ……………………………4分 ‎（2）若，由椭圆对称性，知，所以， ‎ 此时直线方程为， ……………………………………………6分 由，得，解得（舍去），…………8分 故．…………………………………………………………………10分 ‎（3）设，则，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 直线的方程为，代入椭圆方程，得 ‎　　　　　，‎ 因为是该方程的一个解，所以点的横坐标，…………………12分 又在直线上，所以，‎ 同理，点坐标为，， ……………………………………………14分 所以，‎ 即存在，使得． ………………………………………………………16分 ‎19．（1）函数的定义域为 当时，，‎ 所以………………………………………………2分 所以当时，，当时，，‎ 所以函数在区间单调递减，在区间单调递增，‎ 所以当时，函数取得极小值为，无极大值；…………………4分 ‎（2）设函数上点与函数上点处切线相同，‎ 则 ‎ 所以 ……………………………………6分 所以，代入得：‎ ‎ ………………………………………………8分 设，则 不妨设则当时，，当时，‎ 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，……………10分 代入可得：‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 设，则对恒成立，‎ 所以在区间上单调递增，又 所以当时，即当时, ……………12分 又当时 ‎ ……………………………………14分 因此当时，函数必有零点；即当时，必存在使得成立；‎ 即存在使得函数上点与函数上点处切线相同．‎ 又由得：‎ 所以单调递减，因此 所以实数的取值范围是．…………………………………………………16分 ‎20．（1）证明：若，则当(),‎ 所以，‎ 即，‎ 所以， ……………………………………………………………2分 又由，，‎ 得，，即，‎ 所以，‎ 故数列是等比数列．……………………………………………………………4分 ‎（2）若是等比数列，设其公比为（ ），‎ 当时，，即，得 ‎　　　　　　　　　　，　　　　　　　　　　　 ①‎ 当时，，即，得 ‎　　　　　　　　　　，　　　　　　　　　②‎ 当时，，即，得 ‎　　　　　　　　　，　　　　　　　　③‎ ‎②-①´，得 ， ‎ ‎③-②´，得 ， ‎ 解得．‎ 代入①式，得．…………………………………………………………………8分 此时()，‎ 所以，是公比为１的等比数列，‎ 故． ……………………………………………………………………10分 ‎（3）证明：若，由，得，‎ ‎　　又，解得．…………………………………………………12分 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由，， ，，代入得，‎ 所以，，成等差数列，‎ 由，得，‎ 两式相减得：‎ 即 所以 相减得：‎ 所以 所以 ‎， ……………………………………14分 因为，所以，‎ 即数列是等差数列.………………………………………………………………16分 数学Ⅱ(附加题)参考答案与评分标准 ‎21．A．证明：连接，因为为圆的直径，所以，‎ 又，则四点共圆，‎ 所以．　…………………………………………………………5分 又△∽△，‎ 所以，即，‎ ‎∴． …………10分 B．因为， ………………………………………5分 所以． ………………………………………………………10分 C.把直线方程化为普通方程为． ……………………………3分 将圆化为普通方程为，‎ 即． ………………………………………………………………6分 圆心到直线的距离，‎ 所以直线与圆相切.…………………………………………………………………10分 D．证明：因为 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎， …………………………………………5分 又，‎ 所以．…………………………………………10分 ‎22．（1）因为，则，‎ 所以，， ………………………………………2分 记直线和所成角为，‎ 则，‎ 所以直线和所成角的余弦值为． ………………………………………4分 ‎（2）设平面的法向量为 ， ‎ 因为，，‎ 则，取得： ……………………………6分 设平面的一个法向量为，‎ 因为，，‎ 则，取得： ………………………8分 ‎ ‎ 根据图形可知二面角为锐二面角，‎ 所以二面角的余弦值为； ……………………………………10分 ‎23．（1）因为抛物线的方程为，所以的坐标为，‎ 设，因为圆与轴、直线都相切，平行于轴，‎ 所以圆的半径为，点，‎ 则直线的方程为，即，………………………2分 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 所以，又，‎ 所以，即，‎ 所以的方程为 ………………………………………………4分 ‎（2）设， ，，‎ 由（1）知，点处的切线的斜率存在，由对称性不妨设，‎ 由，所以，，‎ 所以，， ……………………………………………………6分 所以．……………………………………8分 ‎ 令，，‎ 则，‎ 由得，由得，‎ 所以在区间单调递减，在单调递增，‎ 所以当时，取得极小值也是最小值，即取得最小值 此时．……………………………………………………………10分 ‎ ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费