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第十八章 平行四边形
18．1 平行四边形
18．1.1 平行四边形的性质
第1课时 平行四边形的边、角特征
01 基础题
知识点1 平行四边形的概念
1．如图，在▱ABCD中，EF∥BC，则图中平行四边形有3个．
第1题图 第2题图
2．如图，AB∥EG，EF∥BC，AC∥FG，图中有3个平行四边形，它们分别是▱ABCE，▱ABGC，▱AFBC．
知识点2 平行四边形的边、角特征
3．(教材P43T1的变式)在▱ABCD中，AD＝3 cm，AB＝2 cm，则▱ABCD的周长等于(A)
A．10 cm B．6 cm
C．5 cm D．4 cm
4．(2016·衢州)如图，在▱ABCD中，M是BC延长线上的一点，若∠A＝135°，则∠MCD的度数是(A)
A．45°
B．55°
C．65°
D．75°
5．在▱ABCD中，两邻边的差为4 cm，周长为32 cm，则两邻边长分别为10__cm，6__cm．
6．(1)在▱ABCD 中，若∠A∶∠B＝5∶4，则∠C＝100°；
(2)已知▱ABCD 的周长为28 cm，若AB∶BC＝3∶4，则AB＝6__cm，BC＝8__cm．
7．如图，在▱ABCD中，CM⊥AD于点M，CN⊥AB于点N，若∠B＝45°，求∠MCN的大小．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠B＝∠D.
∵∠B＝45°，
∴∠BCD＝135°，∠D＝45°.
∵CM⊥AD，CN⊥AB，
∴∠BNC＝∠DMC＝90°.
∴∠BCN＝∠DCM＝45°.
∴∠MCN＝∠BCD－∠BCN－∠DCM＝45°.
8．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E，B，D，F在同一直线上，且BE＝DF.求证：AE＝CF.
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证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∴∠ABD＝∠CDB.
∴∠ABE＝∠CDF.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(SAS)．
∴AE＝CF.
知识点3 平行线间的距离
9．如图，a∥b，AB∥CD，CE⊥b，FG⊥b，点E，G为垂足，则下列说法不正确的是(D)
A．AB＝CD
B．EC＝GF
C．A，B两点的距离就是线段AB的长度
D．a与b的距离就是线段CD的长度
第9题图 第10题图
10．(2016·柳州)如图，若▱ABCD的面积为20，BC＝5，则边AD与BC间的距离为4．
02 中档题
11．在▱ABCD 中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D 的值可能是(A)
A．2∶5∶2∶5 B．3∶4∶4∶5
C．4∶4∶3∶2 D．2∶3∶5∶6
12．如图，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝6，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长是(B)
A．7 B．10 C．11 D．12
第12题图 第13题图
13．如图所示，直线a∥b，A是直线a上的一个定点，线段BC在直线b上移动，那么在移动过程中△ABC的面积(C)
A．变大 B．变小 C．不变 D．无法确定
14．(2017·鹤岗)在▱ABCD中，∠A的平分线把BC边分成长度是3和4的两部分，则▱ABCD的周长是(C)
A．22 B．20
C．22或20 D．18
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15．(2017·武汉)如图，在▱ABCD中，∠D＝100°，∠DAB的平分线AE交DC于点E，连接BE.若AE＝AB，则∠EBC的度数为30°．
第15题图 第16题图
16．如图，▱ABCD与▱DCFE的周长相等，且∠BAD＝60°，∠F＝110°，则∠DAE的度数为25°．
17．如图，在▱ABCD 中，点P是对角线BD上的一个动点(点P与点B、点D不重合)，过点P作EF∥BC，GH∥AB，则图中面积始终相等的平行四边形有3 对．
18．(2016·温州)如图，E是▱ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F.
(1)求证：△ADE≌△FCE；
(2)若∠BAF＝90°，BC＝5，EF＝3，求CD的长．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.
∴∠DAE＝∠F，∠D＝∠ECF.
∵E是CD的中点，
∴DE＝CE.
在△ADE和△FCE中，
∴△ADE≌△FCE(AAS)．
(2)∵△ADE≌△FCE，
∴AE＝EF＝3.
∵AB∥CD，
∴∠AED＝∠BAF＝90°.
在▱ABCD中，AD＝BC＝5，
∴DE＝＝＝4.
∴CD＝2DE＝8.
03 综合题
19．如图，四边形ABCD是平行四边形，P是CD上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA.
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(1)求∠APB的度数；
(2)如果AD＝5 cm，AP＝8 cm，求△APB的周长．
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AB∥CD，AD＝BC，AB＝DC.
∴∠DAB＋∠CBA＝180°.
又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，
∴∠PAB＋∠PBA＝(∠DAB＋∠CBA)＝90°.
∴∠APB＝180°－(∠PAB＋∠PBA)＝90°.
(2)∵AP平分∠DAB，AB∥CD，
∴∠DAP＝∠PAB＝∠DPA.
∴AD＝DP＝5 cm.
同理：PC＝BC＝AD＝5 cm.
∴AB＝DC＝DP＋PC＝10 cm.
在Rt△APB中，AB＝10 cm，AP＝8 cm，
∴BP＝＝6(cm)．
∴△APB的周长为6＋8＋10＝24(cm)．
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第2课时 平行四边形的对角线性质
01 基础题
知识点1 平行四边形的对角线互相平分
1．如图，在▱ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，下列结论错误的是(C)
A．AB∥CD B．AB＝CD
C．AC＝BD D．OA＝OC
第1题图 第2题图
2．(教材P44T1的变式)如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD＝8，BD＝12，AC＝6，则△OBC的周长为(B)
A．13 B．17
C．20 D．26
3．如图，在▱ABCD中，已知∠ODA＝90°，AC＝10 cm，BD＝6 cm，则AD的长为(A)
A．4 cm B．5 cm
C．6 cm D．8 cm
第3题图 第4题图
4．如图，▱ABCD的周长为16 cm，AC，BD相交于点O，EO⊥BD交AD于点E，则△ABE的周长为(C)
A．4 cm B．6 cm
C．8 cm D．10 cm
5．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC，BD相交于点O.若AC＝6，则线段AO的长度等于3.
6．在▱ABCD中，AB＝3，BC＝5，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是1＜OA＜4．
7．如图所示，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点M，N在对角线AC上，且AM＝CN，求证：BM∥DN.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵AM＝CN，
∴OM＝ON.
在△BOM和△DON中，
∴△BOM≌△DON(SAS)．
∴∠OBM＝∠ODN.
∴BM∥DN.
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知识点2 平行四边形的面积
8．如图，在▱ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，若△AOD的面积是5，则▱ABCD的面积是(C)
A．10 B．15
C．20 D．25
第8题图 第9题图
9．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若DO＝1.5 cm，AB＝5 cm，BC＝4 cm，则▱ABCD的面积为12cm2.
02 中档题
10．如图，▱ABCD的对角线交于点O，且AB＝5，△OCD的周长为23，则▱ABCD的两条对角线的和是(C)
A．18 B．28
C．36 D．46
第10题图 第11题图
11．如图，▱ABCD的对角线AC的长为10 cm，∠CAB＝30°，AB的长为6 cm，则▱ABCD的面积为(B)
A．60 cm2 B．30 cm2
C．20 cm2 D．16 cm2
12．(2017·眉山)如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若▱ABCD的周长为18，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为(C)
A．14 B．13 C．12 D．10
第12题图 第13题图
13．如图，若▱ABCD的周长为22 cm，AC，BD相交于点O，△AOD的周长比△AOB的周长小3 cm，则AD＝4__cm，AB＝7__cm.
14．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点E，∠AEB＝45°，BD＝2，将△ABC沿AC所在直线翻折，若点B的落点记为B′，则DB′的长为．
15．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC⊥AB，AB＝2，且AO∶BO＝2∶3.
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(1)求AC的长；
(2)求▱ABCD的面积．
解：(1)∵AO∶BO＝2∶3，
∴设AO＝2x，BO＝3x
(x＞0)．
∵AC⊥AB，AB＝2，
∴(2x)2＋(2)2＝(3x)2.
解得x＝2.
∴AO＝4.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2AO＝8.
(2)∵S△ABC＝AB·AC
＝×2×8
＝8，
∴S▱ABCD＝2S△ABC＝2×8＝16.
16．(2016·本溪)如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E，F，连接EC.
(1)求证：OE＝OF；
(2)若EF⊥AC，△BEC的周长是10，求▱ABCD的周长．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD＝OB，DC∥AB.
∴∠FDO＝∠EBO.
在△DFO和△BEO中，
∴△DFO≌△BEO(ASA)．
∴OE＝OF.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC.
∵EF⊥AC，∴AE＝CE.
∵△BEC的周长是10，
∴BC＋BE＋CE＝BC＋BE＋AE＝BC＋AB＝10.
∴C▱ABCD＝2(BC＋AB)＝20.
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03 综合题
17．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P为AB 边上一动点，以PA，PC为边作▱PAQC，则对角线PQ长度的最小值为(D)
A．6
B．8
C．2
D．4
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18.1.2 平行四边形的判定
第1课时 平行四边形的判定
01 基础题
知识点1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
1．如图，AB＝CD＝EF，且△ACE≌△BDF，则图中平行四边形的个数为(C)
A．1
B．2
C．3
D．4
2．若四边形ABCD的边AB＝CD，BC＝DA，则这个四边形是平行四边形，理由是两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
知识点2 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
3．下面给出四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD为平行四边形的是(B)
A．1∶2∶3∶4 B．2∶3∶2∶3
C．2∶2∶3∶3 D．1∶2∶2∶3
4．一个四边形的三个相邻内角的度数依次如下，那么其中是平行四边形的是(D)
A．88°，108°，88° B．88°，104°，108°
C．88°，92°，92° D．108°，72°，108°
知识点3 对角线互相平分的四边形是平行四边形
5．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，AO＝CO，请添加一个条件BO＝DO(答案不唯一)(只添一个即可)，使四边形ABCD是平行四边形．
6．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD相交于点O，且AO＝CO.求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵AB∥CD，
∴∠ABO＝∠CDO，
∠BAO＝∠DCO.
又∵AO＝CO，
∴△ABO≌△CDO(AAS)．
∴BO＝DO.
∴四边形ABCD是平行四边形．
7．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是OB，OD的中点，
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求证：四边形AECF是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵点E，F分别是OB，OD的中点，
∴OE＝OB，OF＝OD.
∴OE＝OF.
又∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形．
知识点4 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
8．如图所示，四边形ABCD和AEFD都是平行四边形，则四边形BCFE是平行四边形，理由：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
9．(2016·新疆)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，且AE＝CF.求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵AE⊥AD，CF⊥BC，
∴∠EAD＝∠FCB＝90°.
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CBF.
在△AED和△CFB中，
∴△AED≌△CFB(AAS)．
∴AD＝BC.
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
02 中档题
10．小玲的爸爸在制作平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条AC，BD的中点重叠，并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形，这种方法的依据是(A)
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A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
11．(2016·衢州)已知直角坐标系内有四个点O(0，0)，A(3，0)，B(1，1)，C(x，1)，若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则x＝4或－2．
12．已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD，点E，F在AC上，且AF＝CE.求证：四边形BEDF是平行四边形．
证明：连接BD交AC于O，
∵AB＝CD，BC＝AD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴AO＝CO，BO＝DO.
∵AF＝CE，∴AF－AO＝CE－CO，即OF＝OE.
又∵OB＝OD，∴四边形BEDF是平行四边形．
13．(2017·南京)如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE＝CF，EF，BD相交于点O，求证：OE＝OF.
证明：连接BE，DF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC.
∵AE＝CF，∴DE＝BF.
又∵DE∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形．
∴OE＝OF.
14．(2016·张家界)已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，直线AE交DC的延长线于点F.试判断四边形ABFC的形状，并证明你的结论．
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解：四边形ABFC是平行四边形．
证明：∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠CFE.
∵E是BC的中点，∴BE＝CE.
在△ABE和△FCE中，
∴△ABE≌△FCE(AAS)．∴AB＝CF.
又∵AB∥CF，∴四边形ABFC是平行四边形．
03 综合题
15．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝24 cm，BC＝30 cm，点P从点A向点D以1 cm/s的速度运动，到点D即停止．点Q从点C向点B以2 cm/s的速度运动，到点B即停止．直线PQ将四边形ABCD截成两个四边形，分别为四边形ABQP和四边形PQCD，则当P，Q两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？
解：设当P，Q两点同时出发t s后，四边形ABQP或四边形PQCD是平行四边形．
根据题意，得AP＝t cm，PD＝(24－t)cm，CQ＝2t cm，BQ＝(30－2t)cm(0≤t≤15)．
①若四边形ABQP是平行四边形，
∵AD∥BC，∴还需满足AP＝BQ.
∴t＝30－2t.解得t＝10.
∴10 s后四边形ABQP是平行四边形；
②若四边形PQCD是平行四边形，
∵AD∥BC，∴还需满足PD＝CQ.
∴24－t＝2t.解得t＝8.
∴8 s后四边形PQCD是平行四边形．
综上所述：当P，Q两点同时出发8秒或10秒后，所截得两个四边形中其中一个四边形为平行四边形．
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第2课时 三角形的中位线
01 基础题
知识点 三角形的中位线
1．如果等边三角形的边长为4，那么等边三角形的中位线长为(A)
A．2 B．4
C．6 D．8
2．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点．若△DBE的周长是6，则△ABC的周长是(C)
A．8 B．10
C．12 D．14
第2题图 第3题图
3．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A＝50°，∠ADE＝60°，则∠C的度数为(C)
A．50° B．60°
C．70° D．80°
4．(2016·梧州)如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝2，D，E，F分别为AB，BC，AC中点，连接DF，FE，则四边形DBEF的周长是(B)
A．5 B．7
C．9 D．11
第4题图 第5题图
5．如图，为测量位于一水塘旁的两点A，B间的距离，在地面上确定点O，分别取OA，OB的中点C，D，量得CD＝20 m，则A，B之间的距离是40m.
6．(2017·怀化)如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD 相交于点O，点E是AB的中点，OE＝5 cm，则AD的长为10cm.
第6题图 第7题图
7．如图，CD是△ABC的中线，点E，F分别是AC，DC的中点，EF＝1，则BD＝2．
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，AB＝8 cm，E，F分别为边AC，AB的中点．
(1)求∠A的度数；
(2)求EF的长．
解：(1)∵∠C＝90°，
∴∠A＋∠B＝90°.
∴∠A＝90°－∠B＝90°－60°＝30°.
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(2)在Rt△ABC中，
∠A＝30°，AB＝8 cm，
∴BC＝AB＝4 cm.
∵E，F分别是AC，AB的中点，
∴EF是△ABC的中位线．
∴EF＝BC＝2 cm.
9．如图，在△ABC中，D，E，F分别为边AB，BC，CA的中点．求证：四边形DECF是平行四边形．
证明：∵D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，
∴DF，DE为△ABC的中位线．
∴DF∥BC，DE∥AC.
∴四边形DECF是平行四边形．
02 中档题
10．如图，点D，E，F分别为△ABC各边中点，下列说法正确的是(C)
A．DE＝DF
B．EF＝AB
C．S△ABD＝S△ACD
D．AD平分∠BAC
11．如图，吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC，已知点E，F分别是边AB，AC的中点，量得EF＝5米，他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡，则需用篱笆的长是(C)
A．15米 B．20米
C．25米 D．30米
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第11题图 第12题图
12．(2016·陕西)如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6.若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为(B)
A．7 B．8
C．9 D．10
13．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E是AD的中点，△BCD的周长为18，则△DEO的周长是9．
第13题图 第14题图
14．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝18°，则∠PFE的度数是18°．
15．如图，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，顺次连接E，F，G，H，得到的四边形EFGH叫中点四边形．求证：四边形EFGH是平行四边形．
证明：连接BD.
∵E，H分别是AB，AD的中点，
∴EH是△ABD的中位线．
∴EH＝BD，EH∥BD.
同理FG＝BD，FG∥BD.
∴EH＝FG，EH∥FG.
∴四边形EFGH是平行四边形．
16．如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，点E是边CD的中点，点F在BC的延长线上，且CF＝BC，求证：四边形OCFE是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴点O是BD的中点．
又∵点E是边CD的中点，
∴OE是△BCD的中位线．
∴OE∥BC，且OE＝BC.
又∵CF＝BC，
∴OE＝CF.
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又∵点F在BC的延长线上，
∴OE∥CF.
∴四边形OCFE是平行四边形．
03 综合题
17．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD，AE分别为△ABC的中线和角平分线，过点C作CH⊥AE于点H，并延长交AB于点F，连接DH，求线段DH的长．
解：∵AE为△ABC的角平分线，
∴∠FAH＝∠CAH.
∵CH⊥AE，
∴∠AHF＝∠AHC＝90°.
在△AHF和△AHC中，
∴△AHF≌△AHC(ASA)．
∴AF＝AC，HF＝HC.
∵AC＝3，AB＝5，
∴AF＝AC＝3，BF＝AB－AF＝5－3＝2.
∵AD为△ABC的中线，
∴DH是△BCF的中位线．
∴DH＝BF＝1.
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小专题(三) 平行四边形的证明思路
类型1 若已知条件出现在四边形的边上，则考虑：
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
1．如图，在▱ABCD中，点E在AB的延长线上，且EC∥BD.求证：四边形BECD是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，即BE∥DC.
又∵EC∥BD，
∴四边形BECD是平行四边形．
2．如图，已知：AB∥CD，BE⊥AD，垂足为点E，CF⊥AD，垂足为点F，并且AE＝DF.求证：
(1)BE＝CF；
(2)四边形BECF是平行四边形．
证明：(1)∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠AEB＝∠DFC＝90°.
∵AB∥CD，∴∠A＝∠D.
在△AEB和△DFC中，
∴△AEB≌△DFC(ASA)．
∴BE＝CF.
(2)∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴BE∥CF.
又∵BE＝CF，
∴四边形BECF是平行四边形．
3．如图，在▱ABCD中，分别以AD，BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE，DF.求证：四边形BEDF是平行四边形．
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证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，AD＝CB，∠DAB＝∠BCD.
又∵△ADE和△BCF都是等边三角形，
∴DE＝AD＝AE，CF＝BF＝BC，∠DAE＝∠BCF＝60°.
∴BF＝DE，CF＝AE，∠DCF＝∠BCD－∠BCF，∠BAE＝∠DAB－∠DAE，即∠DCF＝∠BAE.
在△DCF和△BAE中，
∴△DCF≌△BAE(SAS)．
∴DF＝BE.
又∵BF＝DE，
∴四边形BEDF是平行四边形．
4．(2016·钦州)如图，DE是△ABC的中位线，延长DE到F，使EF＝DE，连接BF.求证：
(1)BF＝DC；
(2)四边形ABFD是平行四边形．
证明：(1)∵DE是△ABC的中位线，
∴CE＝BE.
在△DEC和△FEB中，
∴△DEC≌△FEB(SAS)．
∴BF＝DC.
(2)∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，且DE＝AB.
又∵EF＝DE，
∴DE＝DF.
∴DF＝AB.
又∵DF∥AB，
∴四边形ABFD是平行四边形．
5．如图，已知D，E，F分别在△ABC的边BC，AB，AC上，且DE∥AF，DE＝AF，将FD延长到点G，使FG＝2DF，连接AG，则ED与AG互相平分吗？ 请说明理由．
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解：ED与AG互相平分．
理由：连接EG，AD.
∵DE∥AF，DE＝AF，
∴四边形AEDF是平行四边形．
∴AE∥DF，AE＝DF.
又∵FG＝2DF，
∴DG＝DF.
∴AE＝DG.
又∵AE∥DG，
∴四边形AEGD是平行四边形．
∴ED与AG互相平分.
类型2 若已知条件出现在四边形的角上，则考虑
利用“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”
6．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C.求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵AD∥BC，
∴∠A＋∠B＝180°，
∠C＋∠D＝180°.
∵∠A＝∠C，
∴∠B＝∠D.
∴四边形ABCD是平行四边形．
类型3 若已知条件出现在对角线上，则考虑利用
“对角线互相平分的四边形是平行四边形”
7．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O，分别与AB，CD的延长线交于点E，F.求证：四边形AECF
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是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD＝OB，OA＝OC，AB∥CD.
∴∠DFO＝∠BEO，∠FDO＝∠EBO.
在△FDO和△EBO中，
∴△FDO≌△EBO(AAS)．
∴OF＝OE.
又∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形．
8．如图，▱ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，EF 过点O，与AD，BC 分别相交于点E，F，GH 过点O，与AB，CD 分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH.求证：四边形EGFH 是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴AD∥BC.
∴∠EAO＝∠FCO.
∵O为AC的中点，
∴OA＝OC.
在△OAE和△OCF中，
∴△OAE≌△OCF(ASA)．
∴OE＝OF.
同理可证得OG＝OH.
∴四边形EGFH是平行四边形．
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周周练(18.1)
(时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(每小题 4分，共32分)
1．下面的性质中，平行四边形不一定具有的是(A)
A．对角互补 B．邻角互补
C．对角相等 D．对边相等
2．平行四边形的周长为24 cm，相邻两边的差为2 cm，则平行四边形的各边长为(B)
A．4 cm，8 cm，4 cm，8 cm
B．5 cm，7 cm，5 cm，7 cm
C．5.5 cm，6.5 cm，5.5 cm，6.5 cm
D．3 cm，9 cm，3 cm，9 cm
3．下列说法错误的是(D)
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
4．(2017·丽水)如图，在▱ABCD中，连接AC，∠B＝∠CAD＝45°，AB＝2，则BC的长是(C)
A. B．2
C．2 D．4
第4题图 第5题图
5．(2016·株洲)如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的是(D)
A．OE＝DC B．OA＝OC
C．∠BOE＝∠OBA D．∠OBE＝∠OCE
6．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD＝90°，BC＝4，BE＝ED＝3，AC＝10，则四边形ABCD的面积为(D)
A．6
B．12
C．20
D．24
7．在▱ABCD中，AD＝8，AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，且EF＝2，则AB的长为(D)
A．3 B．5
C．2或3 D．3或5
8．如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对下列各值：①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线MN，AB之间的距离；⑤∠APB的大小．其中会随点P的移动而变化的是(B)
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A．②③
B．②⑤
C．①③④
D．④⑤
二、填空题(每小题4分，共24分)
9．如图所示，在▱ABCD中，E，F分别为AB，DC的中点，连接DE，EF，FB，则图中共有4个平行四边形．
第9题图 第10题图
10．(2016·江西)如图所示，在▱ABCD中，∠C＝40°，过点D作AD的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为50°．
11．(2016·河南)如图，在▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠1＝20°，则∠2的度数是110°．
12．在▱ABCD中，AB，BC，CD的长度分别为2x＋1，3x，x＋4，则▱ABCD的周长是32．
13．如图所示，四边形ABCD的对角线相交于点O，若AB∥CD，请添加一个条件答案不唯一，如：AB＝CD(写一个即可)，使四边形ABCD是平行四边形．
第13题图 第14题图
14．(2017·河池)如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG，若AD＝5，DE＝6，则AG的长是8．
三、解答题(共44分)
15．(10分)(2017·山西)已知：如图，在▱ABCD中，延长AB至点E，延长CD至点F，使得BE＝DF.连接EF，与对角线AC交于点O.求证：OE＝OF.
证明：证法一：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∵BE＝DF，∴AB＋BE＝CD＋DF，即AE＝CF.
∵AB∥CD，∴AE∥CF.∴∠E＝∠F.
又∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF(AAS)．∴OE＝OF.
证法二：连接AF，CE.
∵四边形ABCD是平行四边形，
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∴AB∥CD，AB＝CD.
∵BE＝DF，∴AB＋BE＝CD＋DF，即AE＝CF.
∵AB∥CD，∴AE∥CF.
∴四边形AECF是平行四边形．∴OE＝OF.
16．(10分)(2016·黄冈)如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，对角线AC分别交BE，DF于点G，H.求证：AG＝CH.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC.
∴∠HCF＝∠GAE.
又∵E，F分别是边AD，BC的中点，
∴AE＝FC，DE＝BF.
又∵DE∥BF，∴四边形BFDE是平行四边形．
∴∠BED＝∠BFD.∴∠AEG＝∠CFH.
在△AGE和△CHF中，
∴△AGE≌△CHF(ASA)．∴AG＝CH.
17．(12分)已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F，G分别是AD，BC，BD的中点，GH平分∠EGF交EF于点H.
(1)猜想：GH与EF间的关系是GH垂直平分EF；
(2)证明你的猜想．
证明：∵E，G分别是AD，BD的中点，
∴EG＝AB.
∵F，G分别是BC，BD的中点，
∴GF＝CD.
∵AB＝CD，
∴EG＝GF.
又∵GH平分∠EGF，
∴GH垂直平分EF.
18．(12分)如图1，在▱ABCD中，∠ABC，∠ADC的平分线分别交AD，BC于点E，F.
(1)求证：四边形EBFD是平行四边形；
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(2)小明在完成(1)的证明后继续进行了探索．连接AF，CE，分别交BE，FD于点G，H，得到四边形EGFH.此时，他猜想四边形EGFH是平行四边形，请在框图(图2)中补全他的证明思路．
图1
小明的证明思路
由(1)可知BE∥DF，要证明四边形EGFH
是平行四边形，只需证GF∥EH．
由(1)可证ED＝BF，则AE＝FC，又由AE∥CF，
故四边形AFCE是平行四边形，从而可证得四边
形EGFH是平行四边形．
图2
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，AD＝BC.
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC＝∠ABC.
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADF＝∠CDF＝∠ADC.
∴∠EBC＝∠ADF.
∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBC.
∴∠AEB＝∠ADF.
∴EB∥DF.
又∵ED∥BF，
∴四边形EBFD是平行四边形．
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18.2 特殊的平行四边形
18．2.1 矩形
第1课时 矩形的性质
01 基础题
知识点1 矩形的性质
1．下列性质中，矩形具有但平行四边形不一定具有的是(C)
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线相等 D．对边平行
2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以下说法错误的是(D)
A．∠ABC＝90° B．AC＝BD
C．OA＝OB D．OA＝AD
第2题图 第3题图
3．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是(C)
A．8 B．6 C．4 D．2
4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为(B)
A．30° B．60° C．90° D．120°
第4题图 第5题图
5．(2017·怀化)如图，在矩形ABCD中， 对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AC＝6 cm，则AB的长是(A)
A．3 cm B．6 cm
C．10 cm D．12 cm
6．如果矩形的一边长为6，一条对角线的长为10，那么这个矩形的另一边长是8．
7．如图，已知矩形的对角线AC与BD相交于点O，若AO＝1，则BD＝2．
第7题图 第8题图
8．(2016·昆明)如图，E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点，AB＝6，BC＝8，则四边形EFGH的面积是24．
9．(2016·岳阳)已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE＝CF，EF⊥DF.求证：BF＝CD.
证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B＝∠C＝90°.
∴∠BFE＋∠BEF＝90°.
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∵EF⊥DF，∴∠DFE＝90°.∴∠BFE＋∠CFD＝90°.
∴∠BEF＝∠CFD.
在△BEF和△CFD中，
∴△BEF≌△CFD(ASA)．∴BF＝CD.
知识点2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm，D为AB的中点，则CD＝5cm.
第10题图 第11题图
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，若CD＝5 cm，则EF＝5cm.
12．如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，AH是高，如果ED＝5 cm，求HF的长.
解：由题意得：DE是△ABC的中位线，
∴DE＝AC.
∵HF是Rt△AHC的斜边AC的中线，
∴HF＝AC.
∴HF＝DE＝5 cm.
02 中档题
13．(2016·荆门)如图，在矩形ABCD中(AD>AB)，点E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为点F.在下列结论中，不一定正确的是(B)
A．△AFD≌△DCE B．AF＝AD
C．AB＝AF D．BE＝AD－DF
第13题图 第14题图
14．(2016·绵阳)如图，▱ABCD的周长是26 cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3 cm，则AE的长度为(B)
A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．8 cm
15．如图，已知在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，若∠DAE∶∠BAE＝3∶1，则∠EAC的度数是(C)
A．18° B．36°
C．45° D．72°
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第15题图 第16题图
16．(2016·宜宾)如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB，BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是(A)
A．4.8 B．5
C．6 D．7.2
17．(2017·广西四市同城)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE＝DF.
(1)求证：AE＝CF；
(2)若AB＝6，∠COD＝60°，求矩形ABCD的面积．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∠ABC＝90°.
∵BE＝DF，∴OE＝OF.
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF(SAS)．
∴AE＝CF.
(2)∵OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∴OA＝OB.
∵∠AOB＝∠COD＝60°，
∴△AOB是等边三角形．
∴OA＝AB＝6.∴AC＝2OA＝12.
在Rt△ABC中，BC＝＝6，
∴S矩形ABCD＝AB·BC＝6×6＝36.
18．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，延长CB到点E，使BE＝BC，连接AE.求证：
(1)四边形ADBE是平行四边形；
(2)若AB＝4，OB＝，求四边形ADBE的周长．
证明：(1)∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC.
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又∵BE＝BC，且点C，B，E在一条直线上，
∴AD∥BE，AD＝BE.
∴四边形ADBE是平行四边形．
(2)∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD＝90°，OB＝OD.
∴BD＝2OB＝5.
在Rt△BAD中，AD＝＝3.
又∵四边形ADBE为平行四边形，
∴BE＝AD＝3，AE＝BD＝5.
03 综合题
19．如图，将长8 cm，宽4 cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，则折痕EF的长为2cm.
习题解析
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第2课时 矩形的判定
01 基础题
知识点1 有一个角是直角的平行四边形是矩形
1．下列说法正确的是(D)
A．有一组对角是直角的四边形一定是矩形
B．有一组邻角是直角的四边形一定是矩形
C．对角线互相平分的四边形是矩形
D．对角互补的平行四边形是矩形
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形，求证：四边形ADBE是矩形．
解：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC.
∴∠ADB＝90°.
又∵四边形ADBE是平行四边形，
∴四边形ADBE是矩形．
3．(2016·内江)如图所示，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF.
(1)求证：D是BC的中点；
(2)若AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．
解：(1)证明：∵AF∥BC，
∴∠AFC＝∠FCB.
又∵∠AEF＝∠DEC，AE＝DE，
∴△AEF≌△DEC(AAS)．∴AF＝DC.
又∵AF＝BD，∴BD＝DC，即D是BC的中点．
(2)四边形AFBD是矩形．
证明：∵AF∥BC，AF＝BD，
∴四边形AFBD是平行四边形．
∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°.
∴四边形AFBD是矩形．
知识点2 对角线相等的平行四边形是矩形
4．能判断四边形是矩形的条件是(C)
A．两条对角线互相平分
B．两条对角线相等
C．两条对角线互相平分且相等
D．两条对角线互相垂直
5．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AD∥BC，AC＝BD.试添加一个条件答案不唯一，
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如：AB∥CD，使四边形ABCD为矩形．
6．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，点E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，请问四边形EFGH是矩形吗？请说明理由．
解：四边形EFGH是矩形．
理由：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO.
∴AO＝CO＝BO＝DO.
∵点E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，
∴EO＝FO＝GO＝HO.∴OE＝OG，OF＝OH.
∴四边形EFGH是平行四边形．
又∵EO＋GO＝FO＋HO，即EG＝FH，
∴四边形EFGH是矩形．
知识点3 有三个角是直角的四边形是矩形
7．已知O为四边形ABCD对角线的交点，下列条件能使四边形ABCD成为矩形的是(D)
A．OA＝OC，OB＝OD
B．AC＝BD
C．AC⊥BD
D．∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°
8．已知：如图，在▱ABCD中，AF，BH，CH，DF分别是∠BAD，∠ABC，∠BCD，∠ADC的平分线．求证：四边形EFGH为矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB＋∠ADC
＝180°.
∵AF，DF分别平分∠DAB，∠ADC，
∴∠FAD＝∠BAF＝∠DAB，
∠ADF＝∠CDF＝∠ADC.
∴∠FAD＋∠ADF＝90°.∴∠AFD＝90°.
同理可得：∠BHC＝∠HEF＝90°.
∴四边形EFGH是矩形．
02 中档题
9．以下条件不能判定四边形ABCD是矩形的是(D)
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A．AB＝CD，AD＝BC，∠A＝90°
B．OA＝OB＝OC＝OD
C．AB＝CD，AB∥CD，AC＝BD
D．AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD
10．(2016·菏泽)在▱ABCD中，AB＝3，BC＝4，当▱ABCD的面积最大时，下列结论：①AC＝5；②∠A＋∠C＝180°；③AC⊥BD；④AC＝BD，正确的有(B)
A．①②③ B．①②④
C．②③④ D．①③④
11．如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是(A)
A．2 B．3
C．4 D．4
第11题图 第12题图
12．如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为12．
13．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，F为DC上一点，且FC＝AB，E为AD上一点，EC交AF于点G.
(1)求证：四边形ABCF是矩形；
(2)若ED＝EC，求证：EA＝EG.
证明：(1)∵AB∥DC，FC＝AB，
∴四边形ABCF是平行四边形．
又∵∠B＝90°，
∴四边形ABCF是矩形．
(2)∵四边形ABCF是矩形，
∴∠AFC＝∠AFD＝90°.
∴∠DAF＝90°－∠D，∠CGF＝90°－∠ECD.
∵ED＝EC，∴∠D＝∠ECD.
∴∠DAF＝∠CGF.
又∵∠EGA＝∠CGF，
∴∠DAF＝∠EGA.
∴EA＝EG.
14．如图，将▱ABCD的边AB延长至点E，使AB＝BE，连接BD，DE，EC，DE交BC于点O.
(1)求证：△ABD≌△BEC；
(2)若∠BOD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．
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证明：(1)∵在▱ABCD中，AD＝BC，AB＝CD，AD∥CB，
∴∠A＝∠EBC.
在△ABD和△BEC中，
∴△ABD≌△BEC(SAS)．
(2)∵在▱ABCD中，AB∥ CD，且AB＝BE，
BE CD.∴四边形BECD为平行四边形．
∴OB＝BC，OE＝ED.
∵∠BOD＝2∠A＝2∠EBC，
且∠BOD＝∠EBC＋∠BEO，
∴∠EBC＝∠BEO.∴OB＝OE.∴BC＝ED.
∴四边形BECD是矩形．
03 综合题
15．如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.
(1)求证：OE＝OF；
(2)若CE＝12，CF＝5，求OC的长；
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
视频讲解
解：(1)证明：∵CF平分∠ACD，且MN∥BD，
∴∠ACF＝∠FCD＝∠CFO.
∴OF＝OC.
同理可证：OC＝OE.
∴OE＝OF.
(2)由(1)，知∠OCF＝∠OFC，∠OCE＝∠OEC，
∴∠OCF＋∠OCE＝∠OFC＋∠OEC.
∵(∠OCF＋∠OCE)＋(∠OFC＋∠OEC)＝180°，
∴∠ECF＝∠OCF＋∠OCE＝90°.
∴EF＝＝＝13.
又∵OE＝OF，
∴OC＝EF＝.
(3)当点O移动到AC中点时，四边形AECF为矩形．
理由：连接AE，AF.
当点O移动到AC中点时，OA＝OC，
又∵OE＝OF，
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∴四边形AECF为平行四边形．
又∵∠ECF＝90°，
∴四边形AECF为矩形．
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18.2.2 菱形
第1课时 菱形的性质
01 基础题
知识点1 菱形的性质
1．(2016·莆田)菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是(D)
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是(B)
A．∠ADB＝∠CDB B．AC＝BD
C．AC⊥BD D．AB＝AD
第2题图 第3题图
3．如图，已知菱形ABCD的边长等于2，∠DAB＝60°，则对角线BD的长为(C)
A．1 B.
C．2 D．2
4．菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的边长是(D)
A．10 B．8 C．6 D．5
5．如图，菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，若EF＝2，则菱形ABCD的周长是16．
6．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，连接AE，AF.AE和AF有什么样的数量关系？说明理由．
解：AE＝AF.
理由：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D，BC＝CD.
又∵E，F分别为BC，CD的中点，
∴BE＝BC，DF＝CD.
∴BE＝DF.
∴△ABE≌△ADF(SAS)．
∴AE＝AF.
知识点2 菱形的面积
7. (2016·宁夏)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边的中点，连接EF.若EF＝，BD＝2，则菱形ABCD的面积为(A)
A．2 B. C．6 D．8
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第7题图 第8题图
8．(2017·宜宾)如图，在菱形ABCD中，若AC＝6，BD＝8，则菱形ABCD的面积是24．
9．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且∠ACD＝30°，BD＝4，求菱形ABCD的面积．
解：∵四边形ABCD是菱形，BD＝4，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD＝2，AC⊥BD.
∵在Rt△OCD中，∠OCD＝30°，
∴CD＝2OD＝4，
OC＝＝＝2.
∴AC＝2OC＝4.
∴S菱形ABCD＝AC·BD＝×4×4＝8.
02 中档题
10．如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠BAD＝60°，则花坛对角线AC的长等于(A)
A．6米 B．6米 C．3米 D．3米
第10题图 第11题图
11．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E为AD边的中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于(A)
A．3.5 B．4
C．7 D．14
12．如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO.若∠DAC＝28°，则∠OBC的度数为(C)
习题解析
A．28°
B．52°
C．62°
D．72°
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13．(2017·南充)已知菱形的周长为4，两条对角线的和为6，则菱形的面积为(D)
A．2 B.
C．3 D．4
14．(2017·东营)如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为8，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP＋AP的最小值为2．
15．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E.
(1)求∠ABD的度数；
(2)求线段BE的长．
解：(1)∵在菱形ABCD中，AB＝AD，∠A＝60°，
∴△ABD为等边三角形．
∴∠ABD＝60°.
(2)由(1)可知BD＝AB＝4，
又∵O为BD的中点，∴OB＝2.
又∵OE⊥AB，∠ABD＝60°，
∴∠BOE＝30°.
∴BE＝OB＝1.
16．(2016·苏州)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.
(1)求证：四边形ACDE是平行四边形；
(2)若AC＝8，BD＝6，求△ADE的周长．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD.
∴AE∥CD.
又∵DE⊥BD，
∴DE∥AC.
又∵AE∥CD，
∴四边形ACDE是平行四边形．
(2)∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，
∴AO＝4，DO＝3，AD＝CD＝＝5.
∵四边形ACDE是平行四边形，
∴AE＝CD＝5，DE＝AC＝8.
∴C△ADE＝AD＋AE＋DE＝5＋5＋8＝18.
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03 综合题
17．在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E在边BC上，点F在边CD上．
(1)如图1，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：BE＝DF；
(2)如图2，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形．
证明：(1)连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD.
∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．
∵E是BC的中点，∴AE⊥BC.
∵∠AEF＝60°，∴∠FEC＝90°－60°＝30°.
又∵∠C＝180°－∠B＝120°，∴∠EFC＝30°.
∴∠FEC＝∠EFC.∴CE＝CF.
又∵BC＝CD，
∴BC－CE＝CD－CF，即BE＝DF.
(2)连接AC，由(1)，得△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC.
∵∠BAE＋∠EAC＝60°，
∠EAF＝∠CAF＋∠EAC＝60°，
∴∠BAE＝∠CAF.
∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，
∴∠ACF＝∠BCD＝60°＝∠B.
∴△ABE≌△ACF.∴AE＝AF.
又∵∠EAF＝60°，
∴△AEF是等边三角形．
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第2课时 菱形的判定
01 基础题
知识点1 有一组邻边相等的平行四边形是菱形
1．如图，若要使▱ABCD成为菱形，则可添加的条件是(C)
A．AB＝CD B．AD＝BC
C．AB＝BC D．AC＝BD
第1题图 第2题图
2．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件中能够判定四边形ACED为菱形的是(B)
A．AB＝BC B．AC＝BC
C．∠B＝60° D．∠ACB＝60°
3．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，求证：四边形AEDF是菱形．
证明：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形．
∴∠FAD＝∠EDA.
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠EAD＝∠FAD.
∴∠EDA＝∠EAD.∴AE＝ED.
∴四边形AEDF是菱形．
知识点2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
4．如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，且满足AO＝CO，请你添加一个适当的条件BO＝DO(答案不唯一)，使四边形ABCD成为菱形．(只需添加一个即可)
5．(2017·岳阳)求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
小红同学根据题意画出了图形，并写出了已知和求证的一部分，请你补全已知和求证，并写出证明过程．
已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD．
求证： 四边形ABCD是菱形．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BO＝DO.
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∵AC⊥BD，
∴AC垂直平分BD.
∴AB＝AD.
∴四边形ABCD为菱形．
知识点3 四条边相等的四边形是菱形
6．(2016·大庆)下列说法正确的是(D)
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．矩形的对角线互相垂直
C．一组对边平行的四边形是平行四边形
D．四边相等的四边形是菱形
7．(2017·宁夏)在△ABC中，M是AC边上的一点，连接BM.将△ABC沿AC翻折，使点B落在点D处，当DM∥AB时，求证：四边形ABMD是菱形．
证明：∵AB∥DM，
∴∠BAM＝∠AMD.
由折叠性质得：∠CAB＝∠CAD，AB＝AD，BM＝DM.
∴∠DAM＝∠AMD.
∴DA＝DM＝AB＝BM.
∴四边形ABMD是菱形．
02 中档题
8．(2017·聊城)如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是(D)
A．AB＝AC
B．AD＝BD
C．BE⊥AC
D．BE平分∠ABC
9．如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点C，D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是(B)
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A．矩形 B．菱形
C．一般的四边形 D．平行四边形
第9题图 第10题图
10．(2016·兰州)如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD＝2，DE＝2，则四边形OCED的面积为(A)
A．2 B．4
C．4 D．8
11．(2016·沈阳)如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE. 求证：
(1)∠CEB＝∠CBE；
(2)四边形BCED是菱形．
证明：(1)∵△ABC≌△ABD，
∴∠ABC＝∠ABD.
∵CE∥BD，∴∠CEB＝∠ABD.
∴∠CEB＝∠CBE.
(2)∵△ABC≌△ABD，∴BC＝BD.
由(1)得∠CEB＝∠CBE，∴CE＝CB.∴CE＝BD.
又∵CE∥BD，∴四边形BCED是平行四边形．
又∵BC＝BD，∴四边形BCED是菱形．
12．(2016·聊城)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点E是AC的中点，AC＝2AB，∠BAC的平分线AD交BC于点D，作AF∥BC，连接DE并延长交AF于点F，连接FC.求证：四边形ADCF是菱形．
证明：∵AF∥CD，
∴∠AFE＝∠CDE.
在△AFE和△CDE中，
∴△AFE≌△CDE(AAS)．∴AF＝CD.
∵AF∥CD，
∴四边形ADCF是平行四边形．
∵点E是AC的中点，AC＝2AB，∴AE＝AB.
∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠BAD.
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又∵AD＝AD，∴△AED≌△ABD(SAS)．
∴∠AED＝∠B＝90°，即DF⊥AC.
∴四边形ADCF是菱形．
03 综合题
13．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，BD＝AC.
(1)求证：AD＝BC；
(2)若E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，求证：线段EF与线段GH互相垂直平分．
证明：(1)延长DC至K，使CK＝AB.连接BK.
∵AB CK，
∴四边形ABKC是平行四边形．
∴AC BK.∴∠ACD＝∠K.
∵BD＝AC，AC＝BK，
∴BD＝BK.∴∠BDC＝∠K.
∴∠ACD＝∠BDC.
在△ACD和△BDC中，
∴△ACD≌△BDC(SAS)．
∴AD＝BC.
(2)分别连接EH，HF，FG和GE.
∵E，H分别是AB，BD的中点，
∴EH为△ABD的中位线．
∴EH＝AD.
同理：GF＝AD，EG＝BC，HF＝BC.
又由(1)知AD＝BC，∴EH＝HF＝FG＝GE.
∴四边形EHFG是菱形．
∴线段EF与线段GH互相垂直平分．
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18.2.3 正方形
01 基础题
知识点1 正方形的性质
1．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是(A)
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．对角线互相垂直平分且相等
2．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝3，则此正方形的面积为(C)
A．3 B．12
C．18 D．36
第2题图 第3题图
3．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为(C)
A．14 B．15
C．16 D．17
4．如图，有一▱ABCD与一正方形CEFG，其中E点在AD上．若∠ECD＝35°，∠AEF＝15°，则∠B的度数为(C)
A．50°
B．55°
C．70°
D．75°
5．(2016·龙岩)如图，将正方形纸片按如图折叠，AM为折痕，点B落在对角线AC上的点E处，则∠CME＝45°.
第5题图 第6题图
6．如图，在正方形ABCD中，以AB为边在正方形内作等边△ABE，连接DE，CE，则∠CED的度数为150°．
7．(2016·哈尔滨中考改编)已知，如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P.求证：AP＝BQ.
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠DAB＝90°.
∴∠BAQ＋∠DAP＝90°.
∵DP⊥AQ，
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∴∠APD＝90°.∴∠ADP＋∠DAP＝90°.
∴∠ADP＝∠BAQ.
∵AQ⊥BE，∴∠BQA＝90°.
在△DAP和△ABQ中，
∴△DAP≌△ABQ(AAS)．∴AP＝BQ.
知识点2 正方形的判定
8．已知在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是(D)
A．∠D＝90° B．AB＝CD
C．AD＝BC D．BC＝CD
9．两条对角线相等且互相垂直平分的四边形是(D)
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
10．如图，菱形ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，分别延长OA，OC 到点E，F，使AE ＝CF，依次连接B，F，D，E各点．
(1)求证：△BAE≌△BCF；
(2)若∠ABC ＝50°，则当∠EBA ＝20° 时，四边形BFDE 是正方形．
证明：∵在菱形ABCD 中，BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA.∴∠BAE＝∠BCF.
在△BAE和△BCF 中，
∴△BAE≌△BCF(SAS)．
02 中档题
11．(2016·台州)小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形，她对折了(B)
A．1次 B．2次
C．3次 D．4次
12．(2017·兰州)在▱ABCD中，对角线AC与DB相交于点O.要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD.其中正确的序号是①③④．
13．如图，正方形ABCD的面积为5，正方形BEFG面积为4，那么△GCE的面积是－2．
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14．已知，如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别是AB和AD延长线上的点，且BE＝DF.
(1)求证：CE＝CF；
(2)求∠CEF的度数．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴DC＝BC，∠B＝∠ADC＝90°.
在△CDF和△CBE中，
∴△CDF≌△CBE(ASA)．
∴CE＝CF.
(2)∵△CDF≌△CBE，
∴∠DCF＝∠BCE.
∴∠ECF＝∠DCB＝90°.
∵CF＝CE，
∴∠CEF＝45°.
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE＝OD，连接AE，BE.
(1)求证：四边形AEBD是矩形；
(2)当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形？并说明理由．
解：(1)证明：∵点O为AB的中点，
∴OA＝OB.
又∵OE＝OD，
∴四边形AEBD是平行四边形．
∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°.
∴四边形AEBD是矩形．
(2)当∠BAC＝90°时，矩形AEBD是正方形．理由：
∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴BD＝CD.
又∵∠BAC＝90°，∴AD＝BD.
∴矩形AEBD是正方形．
03 综合题
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，
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交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE.
(1)求证：CE＝AD；
(2)当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
(3)若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．
解：(1)证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°.
又∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DFB.
∴AC∥DE.
又∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形．
∴CE＝AD.
(2)四边形BECD是菱形．理由：
∵D为AB中点，∴AD＝BD.
又由(1)得CE＝AD，∴BD＝CE.
又∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形．
又∵DE⊥BC，
∴四边形BECD是菱形．
(3)当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．理由：
∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，
∴∠ABC＝∠A＝45°.∴AC＝BC.
又∵D为AB中点，∴CD⊥AB，即∠CDB＝90°.
又∵四边形BECD是菱形，
∴四边形BECD是正方形．
∴当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．
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小专题(四) 特殊平行四边形的性质与判定
1．(2017·荆州)如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC，BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE.
(1)求证：△ACD≌△EDC；
(2)请探究△BDE的形状，并说明理由．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，AC＝BD，AD＝BC，∠ADC＝∠ABC＝90°.
由平移的性质得：DE＝AC，CE＝BC，∠DCE＝∠ADC＝90°，DC＝AB，
∴AD＝EC.
在△ACD和△EDC中，
∴△ACD≌△EDC(SAS)．
(2)△BDE是等腰三角形．理由如下：
∵AC＝BD，DE＝AC，∴BD＝DE.
∴△BDE是等腰三角形．
2．如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF.
(1)求证：四边形BFDE是矩形；
(2)若CF＝6，BF＝8，DF＝10，求证：AF是∠DAB的平分线．
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
又∵CF＝AE，
∴BE＝DF.
又∵BE∥DF，
∴四边形BFDE为平行四边形．
∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°.
∴四边形BFDE是矩形．
(2)∵四边形BFDE是矩形，
∴∠BFD＝90°.∴∠BFC＝90°.
在Rt△BFC中，由勾股定理，得
BC＝＝＝10.
∴AD＝BC＝10.
又∵DF＝10，∴AD＝DF.
∴∠DAF＝∠DFA.
∵AB∥CD，∴∠DFA＝∠FAB.
∴∠DAF＝∠FAB.
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∴AF是∠DAB的平分线．
3．(2017·张掖)如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F.
(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；
(2)当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，
∴∠A＝90°，AD＝BC＝4，AB∥DC，OB＝OD.
∴∠OBE＝∠ODF.
在△BOE和△DOF中，
∴△BOE≌△DOF(ASA)．∴EO＝FO.
又∵OB＝OD.∴四边形BEDF是平行四边形．
(2)∵四边形BEDF是菱形，∴BD⊥EF.
设BE＝x，则 DE＝x，AE＝6－x.
在Rt△ADE中，DE2＝AD2＋AE2，
∴x2＝42＋(6－x)2.解得x＝.
∵BD＝＝2，
∴OB＝BD＝.
∵BD⊥EF，∴EO＝＝.
∴EF＝2EO＝.
4．(2016·青岛)已知：如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE＝CF，直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G，H，交BD于点O.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)连接DG，若DG＝BG，则四边形BEDF是什么特殊四边形？请说明理由．
解：(1)证明：∵四边形
ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠BAE
＝∠DCF.
在△ABE和△CDF中，
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∴△ABE≌△CDF(SAS)．
(2)四边形BEDF是菱形．理由：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC.
∵AE＝CF，∴DE＝BF.
∴四边形BEDF是平行四边形．
∴BO＝DO.
在△BGD中，∵BG＝DG，BO＝DO，∴GO⊥BD.
∴四边形BEDF是菱形．
5．(2017·青岛)已知：如图，在菱形ABCD 中，点E，O，F 分别是边AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OF.
(1)求证：△BCE≌△DCF；
(2)当AB与BC满足什么条件时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．
解：(1)证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠B＝∠D.
又∵E，F分别是AB，AD的中点，∴BE＝DF.
在△BCE和△DCF中，
∴△BCE≌△DCF(SAS)．
(2)当AB与BC满足AB⊥BC时，四边形AEOF为正方形．理由如下：
∵E，O分别是AB，AC的中点，∴EO∥BC.
又∵BC∥AD，∴OE∥AD，即OE∥AF.
同理可证OF∥AE，∴四边形AEOF为平行四边形．
∵在菱形ABCD 中，点E，F 分别是边AB, AD的中点，
∴AE＝AF.∴四边形AEOF为菱形．
∵AB⊥BC，∴∠BAD＝∠B＝90°.
∴四边形AEOF为正方形．
6．如图1，在▱ABCD中，AF平分∠BAD交BC于点F，CE平分∠BCD交AD于点E.
图1 图2
(1)求证：四边形AFCE是平行四边形；
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(2)如图2，若BE⊥EC，求证：四边形ABFE是菱形．
证明：(1)∵AF平分∠BAD，CE平分∠BCD，
∴∠FAE＝∠BAE，∠FCE＝∠FCD.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAE＝∠FCD，AD∥BC.
∴∠FAE＝∠FCE，∠FCE＝∠CED.
∴∠FAE＝∠CED.
∴AF∥EC.
又∵AE∥CF，
∴四边形AFCE为平行四边形．
(2)∵AF∥EC，BE⊥EC，
∴∠AOE＝∠BEC＝90°.
∴∠AOE＝∠AOB＝90°.
在△ABO和△AEO中，
∴△ABO≌△AEO(ASA)．
∴BO＝EO.
同理可得△ABO≌△FBO，
∴AO＝FO.
∴四边形ABFE是平行四边形．
又∵AF⊥BE，
∴平行四边形ABFE是菱形．
7．如图所示，E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，AD的中点．
(1)当四边形ABCD是矩形时，四边形EFGH是菱形，请说明理由；
(2)当四边形ABCD满足什么条件时，四边形EFGH为正方形？并说明理由．
解：(1)理由：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD.
由题意，得EF＝AC，EH＝
BD，GH＝AC，GF＝BD，
∴EF＝EH＝GH＝GF.
∴四边形EFGH是菱形．
(2)当四边形ABCD满足AC＝BD且AC⊥BD时，四边形EFGH为正方形．理由：
∵E，F分别是四边形ABCD的边AB，BC的中点，
∴EF∥AC，EF＝AC.
同理：EH∥BD，EH＝BD，GF＝BD，GH＝AC.
又∵AC＝BD，∴EF＝EH＝GH＝GF.
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∴四边形EFGH是菱形．
∵AC⊥BD，∴EF⊥EH.
∴四边形EFGH是正方形．
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小专题(五) 四边形中的折叠问题
1．(2017·广州)如图，E，F分别是▱ABCD的边AD，BC上的点，EF＝6，∠DEF＝60°，将四边形EFCD沿EF翻折，得到EFC′D′，ED′交BC于点G，则△GEF的周长为(C)
A．6
B．12
C．18
D．24
2．(2017·舟山)一张矩形纸片ABCD，已知AB＝3，AD＝2，小明按下图步骤折叠纸片，则线段DG长为(A)
A. B．2
C．1 D．2
3．(2017·南宁)如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝2，BD＝2，将菱形按如图方式折叠，使点B与点O重合，折痕为EF，则五边形AEFCD的周长为7．
4．如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝5，OC＝4.在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处．求D，E两点的坐标．
解：在Rt△ABE中，AE＝OA＝5，AB＝4，
∴BE＝3.∴CE＝2.
∴E点坐标为(2，4)．
在Rt△DCE中，DC2＋CE2＝DE2，
又∵DE＝OD，
∴(4－OD)2＋22＝OD2.解得OD＝.
∴D点坐标为(0，)．
5．(2017·鄂州)如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F 处，FC交AD于E.
(1)求证：△AFE≌△CDE；
(2)若AB＝4，BC＝8，求图中阴影部分的面积．
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解：(1)证明：由翻折的性质可得AF＝AB，∠F＝∠B＝90°.
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD，∠B＝∠D＝90°.
∴AF＝CD，∠F＝∠D.
又∵∠AEF＝∠CED，
∴△AFE≌△CDE(AAS).
(2)∵△AFE≌△CDE，∴AE＝CE.
根据翻折的性质可知FC＝BC＝8.
在Rt△AFE中，AE2＝AF2＋EF2，
即(8－EF)2＝42＋EF2，
解得EF＝3.∴AE＝5.
∴S阴影＝EC·AF＝×5×4＝10.
6．(2017·济宁)(教材P64“活动1”的变式)实验探究：
(1)如图1，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；再次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN，MN.请你观察图1，猜想∠MBN的度数是多少，并证明你的结论；
(2)将图1中的三角纸纸片BMN剪下，如图2.折叠该纸片，探究MN与BM的数量关系，并结合方案证明你的结论．
图1 图2
解：(1)∠MBN＝30°.
证明：连接AN.∵直线EF是AB的垂直平分线，点N在EF上，∴AN＝BN.
由折叠可知，BN＝AB，∴△ABN是等边三角形．
∴∠ABN＝60°.
∴∠MBN＝∠ABM＝∠ABN＝30°.
(2)MN＝BM.
折纸方案：折叠三角形纸片BMN，使点N落在BM上，并使折痕经过点M，得到折痕MP，同时得到线段PO.
证明：由折叠知△MOP≌△MNP，
∴MN＝OM，∠OMP＝∠NMP＝∠OMN＝30°＝∠B，∠MOP＝∠MNP＝90°.
∴∠BOP＝∠MOP＝90°.
又∵OP＝OP，∴△MOP≌△BOP.
∴MO＝BO＝BM.
∴MN＝BM.
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小专题(六) 四边形中的动点问题
——教材P68T13的变式与应用
教材母题 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8 cm，AD＝24 cm，BC＝26 cm.点P从点A出发，以1 cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3 cm/s的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始，使PQ∥CD和PQ＝CD，分别需经过多少时间？为什么？
解：①设经过t s时，PQ∥CD，此时四边形PQCD为平行四边形．
∵PD＝(24－t)cm，CQ＝3t cm，
∴24－t＝3t，∴t＝6.
∴当t＝6 s时，PQ∥CD，且PQ＝CD.
②设经过t s时，PQ＝CD，分别过点P，D作BC 边的垂线PE，DF，垂足分别为E，F.
当CF＝EQ 时，四边形PQCD为梯形(腰相等)或平行四边形．
∵∠B＝∠A＝∠DFB＝90°，
∴四边形ABFD是矩形．∴AD＝BF.
∵AD＝24 cm，BC＝26 cm，∴CF＝BC－BF＝2 cm.
当四边形PQCD 为梯形(腰相等)时，
PD＋2(BC－AD)＝CQ，
∴(24－t)＋4＝3t.∴t＝7.
∴当t＝7 s 时，PQ＝CD.
当四边形PQCD 为平行四边形时，由①知当t＝6 s时，PQ＝CD.
综上所述，当t＝6 s时，PQ∥CD；当t＝6 s或t＝7 s时，PQ＝CD.
1．如图，在平面直角坐标系中，AB∥OC，A(0，12)，B(a，c)，C(b，0)，并且a，b满足b＝＋＋16.动点P从点A出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点O出发，在线段OC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点P，Q分别从点A，O同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动．设运动时间为t(秒)．
(1)求B，C两点的坐标；
(2)当t为何值时，四边形PQCB是平行四边形？并求出此时P，Q两点的坐标；
(3)当t为何值时，△PQC是以PQ为腰的等腰三角形？并求出P，Q两点的坐标．
解：(1)∵b＝＋
＋16，
∴a＝21，b＝16.
∵AB∥OC，A(0，12)，
∴c＝12.
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∴B(21，12)，C(16，0)．
(2)由题意，得AP＝2t，QO＝t，则PB＝21－2t，QC＝16－t.
∵当PB＝QC时，四边形PQCB是平行四边形，
∴21－2t＝16－t.解得t＝5.
∴P(10，12)，Q(5，0)．
(3)当PQ＝CQ时，过Q作QN⊥AB，由题意，得PN＝t，则122＋t2＝(16－t)2.解得t＝3.5.
∴P(7，12)，Q(3.5，0)．
当PQ＝PC时，过P作PM⊥x轴，由题意，得
QM＝t，CM＝16－2t，则t＝16－2t.
解得t＝.
∴P(，12)，Q(，0)．
综上所述：P1(7，12)，Q1(3.5，0)；P2(，3)，Q2(，0)．
2．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于O点，点P是线段AD上一动点(不与点D重合)，PO的延长线交BC于Q点．
(1)求证：四边形PBQD为平行四边形；
(2)若AB＝3 cm，AD＝4 cm，点P从点A出发，以1 cm/s的速度向点D匀速运动．设点P运动时间为t s，问四边形PBQD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，OD＝OB.∴∠PDO＝∠QBO.
在△POD和△QOB中，
∴△POD≌△QOB(ASA)．∴OP＝OQ.
又∵OB＝OD，
∴四边形PBQD为平行四边形．
(2)点P从点A出发运动t s时，AP＝t cm，PD＝(4－t)cm.
当四边形PBQD是菱形时，PB＝PD＝(4－t)cm.
∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAP＝90°.
在Rt△ABP中，AB＝3 cm，AP2＋AB2＝PB2，
即t2＋32＝(4－t)2，解得t＝.
∴点P运动时间为 s时，四边形PBQD为菱形．
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章末复习(三) 平行四边形
01 基础题
知识点1 平行四边形的性质与判定
1．(2016·丹东)如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝6，EF＝2，则BC长为(B)
A．8
B．10
C．12
D．14
2．如图，在▱ABCD中，AE＝CF，M，N分别是BE，DF的中点，求证：四边形MFNE是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC.
又∵AE＝CF，
∴AD－AE＝BC－CF，
即DE＝BF.
∴四边形BEDF是平行四边形．
∴BE∥DF，BE＝DF.
∵M，N分别是BE，DF的中点，
∴EM＝BE＝DF＝NF.
∴四边形MFNE是平行四边形．
知识点2 三角形的中位线、直角三角形斜边上的中线
3．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则四边形ADEF的周长为(D)
A．8 B．10 C．12 D．16
第3题图 第4题图
4．如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为1.2 km，则M，C两点间的距离为(D)
A．0.5 km B．0.6 km
C．0.9 km D．1.2 km
知识点3 矩形的性质与判定
5．(2017·兰州)如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相较于点O，∠ADB＝30°，AB＝4，则OC＝(B)
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A．5
B．4
C．3.5
D．3
6．如图，在▱ABCD中，AB＝DB，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F.求证：四边形DFBE是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，CD∥AB.
∴∠CDB＝∠ABD.
∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB，
∴∠FDB＝∠CDB，∠EBD＝∠ABD.
∴∠FDB＝∠EBD.∴DF∥EB.
又∵AD∥BC，∴四边形DFBE是平行四边形．
∵AB＝DB，BE平分∠ABD，
∴BE⊥AD.∴∠DEB＝90°.
∴四边形DFBE是矩形．
知识点4 菱形的性质与判定
7．(2016·梅州)如图，在▱ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AD于点F，再分别以点B，F为圆心，大于BF长为半径画弧，两弧交于一点P，连接AP并延长交BC于点E，连接EF.
(1)四边形ABEF是菱形；(选填矩形、菱形、正方形、无法确定)
(2)AE，BF相交于点O，若四边形ABEF的周长为40，BF＝10，则AE的长为10，∠ABC＝120°.
8．如图，四边形ABCD是菱形，点M，N分别在AB，AD上，且BM＝DN，MG∥AD，NF∥AB，点F，G分别在BC，CD上，MG与NF相交于点E.求证：四边形AMEN是菱形．
证明：∵MG∥AD，NF∥AB，
∴四边形AMEN是平行四边形．
∵四边形ABCD是菱形，
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∴AB＝AD.
∵BM＝DN，
∴AB－BM＝AD－DN，即AM＝AN.
∴四边形AMEN是菱形．
知识点5 正方形的性质与判定
9．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE＝AC，则∠BCE的度数是(C)
A．45°
B．35°
C．22.5°
D．15.5°
10．(2016·兰州)▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：答案不唯一，如：AC＝BD，使得▱ABCD为正方形．
02 中档题
11. (2016·雅安)如图，四边形ABCD的四边相等，且面积为120 cm2，对角线AC＝24 cm，则四边形ABCD的周长为 (A)
A．52 cm B．40 cm
C．39 cm D．26 cm
第11题图 第12题图
12．(2016·丹东)如图，正方形ABCD边长为3，连接AC，AE平分∠CAD，交BC的延长线于点E，FA⊥AE，交CB延长线于点F，则EF的长为6．
13．如图，在△A1B1C1中，已知A1B1＝7，B1C1＝4，A1C1＝5，依次连接△A1B1C1的三边中点，得△A2B2C2，再依次连接△A2B2C2的三边中点，得△A3B3C3，…，则△A5B5C5的周长为1．
14．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AH⊥BC，点E是AH上一点，延长AH至点F，使FH＝EH.
(1)求证：四边形EBFC是菱形；
(2)如果∠BAC＝∠ECF，求证：AC⊥CF.
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证明：(1)∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴BH＝HC.
又∵FH＝EH，
∴四边形EBFC是平行四边形．
又∵AH⊥BC，
∴四边形EBFC是菱形．
(2)∵四边形EBFC是菱形，
∴∠ECH＝∠FCH＝∠ECF.
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴∠CAH＝∠BAC.
∵∠BAC＝∠ECF，∴∠CAH＝∠FCH.
∵AH⊥BC，∴∠CAH＋∠ACH＝90°.
∴∠FCH＋∠ACH＝∠ACF＝90°.
∴AC⊥CF.
03 综合题
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，E，P分别在AD，BC上，且DE＝BP＝1.
(1)判断△BEC的形状，并说明理由；
(2)判断四边形EFPH是什么特殊四边形？并证明你的判断．
解：(1)△BEC是直角三角形．理由：
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ADC＝∠BAD＝90°，AD＝BC＝5，AB＝CD＝2.
由勾股定理，得CE＝＝＝，
BE＝＝＝2.
∴CE2＋BE2＝5＋20＝25.
∵BC2＝52＝25，∴BE2＋CE2＝BC2.
∴∠BEC＝90°.
∴△BEC是直角三角形．
(2)四边形EFPH为矩形．
证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC.
又∵DE＝BP，
∴四边形DEBP是平行四边形．
∴BE∥DP.
∵AD＝BC，DE＝BP，
∴AE＝CP.
∴四边形AECP是平行四边形．
∴AP∥CE.
又∵BE∥DP，
∴四边形EFPH是平行四边形．
又∵∠BEC＝90°，
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∴四边形EFPH是矩形．
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