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一元二次方程
一、选择题(本大题共9小题，每小题3分，共27分；在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题意)
1．下列方程是关于x的一元二次方程的是( )
A．x2＋＝0
B．ax2＋bx＋c＝0
C．(x－1)(x＋2)＝1
D．3x2－2xy－5y2＝0
2．若关于x的方程(m－3)xm2－7＋3x－5＝0是一元二次方程，则m的值为( )
A．±3 B．3 C．－3 D．m不等于0
3．若一元二次方程x2＋px－2＝0的一个根为2，则p的值为( )
A．1 B．2 C．－1 D．－2
4．用配方法解一元二次方程x2－6x－10＝0时，下列变形正确的是( )
A．(x＋3)2＝1 B．(x－3)2＝1
C．(x＋3)2＝19 D．(x－3)2＝19
5．用配方法解方程x2＋4x＝10的根为( )
A. x＝2±
B．x＝－2±
C．x＝－2＋
D．x＝2－
6．一元二次方程x2＋3x－4＝0的根是( )
A．x1＝1，x2＝－4
B．x1＝－1，x2＝4
C．x1＝－1，x2＝－4
D．x1＝x2＝4
7．方程(x－5)(x－6)＝x－5的根是( )
A．x＝5
B．x＝5或x＝6
C．x＝7
D．x＝5或x＝7
8．解方程①2x2－5＝0；②9x2－12x＝0；③x2＋2x－3＝0时，较简捷的方法分别是( )
A．①直接开平方法，②公式法，③因式分解法
B．①因式分解法，②公式法，③配方法
C．①因式分解法，②公式法，③因式分解法
D．①直接开平方法，②因式分解法，③因式分解法
9．方程x2－2x－4＝0的一个较小的根为x1，下面对x1的估计正确的是( )
A．－3＜x1＜－2 B．－2＜x1＜－
C．－＜x1＜－1 D．－1＜x1＜0
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)
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10．已知关于x 的一元二次方程的一个根为1，写出一个符合条件的方程：__________________．
11．方程 x2－3x＋1＝0 的根是________________．
12．方程3(x－5)2＝2(x－5)的根是________．
13．若关于x的一元二次方程(m－1)x2＋5x＋m2－3m＋2＝0的一个根是0，则m的值为________．
三、解答题(本大题共5小题，共57分)
14．(16分)用适当的方法解下列方程：
(1)9(x－1)2＝5；
(2)(x－3)2＋x2＝9；
(3)2x2＋3x＝1；
(4)x2＝6x＋1.
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15．(8分)已知关于x的方程(m－1)x2＋5x＋m2－3m＋2＝0的常数项为0.
(1)求m的值；
(2)求方程的解．
16．(9分)先阅读，再解答下列问题．
已知(a2＋b2)4－8(a2＋b2)2＋16＝0，求a2＋b2的值．
错解：设(a2＋b2)2＝m，则原式可化为m2－8m＋16＝0，即(m－4)2＝0，解得m＝4.由(a2＋b2)2＝4，得a2＋b2＝±2.
(1)上述解答过程出错在哪里？为什么？
(2)请你用以上方法分解因式：(a＋b)2－14(a＋b)＋49.
17.(10分)已知a，b，c是△ABC的三条边长，若x＝－1为关于x的一元二次方程(c－b)x2－2(b－a)x＋(a－b)＝0的根．
(1)△ABC是等腰三角形吗？请写出你的结论并证明；
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(2)若关于a的代数式＋有意义，且b为方程y2－8y＋15＝0的根，求△ABC的周长．
18．(14分)阅读材料：
解方程(x2－1)2－5(x2－1)＋4＝0时，我们可以将x2－1视为一个整体，然后设x2－1＝y，则(x2－1)2＝y2，原方程化为y2－5y＋4＝0.①
解得y1＝1，y2＝4.
当y＝1时，x2－1＝1，∴x2＝2，∴x＝±；
当y＝4时，x2－1＝4，∴x2＝5，∴x＝±.
∴原方程的解为x1＝，x2＝－，x3＝，
x4＝－.
解答问题：
(1)填空：在由原方程得到①的过程中，利用________达到了降次的目的，体现了化归的数学思想；
(2)解方程：x4－x2－6＝0.
1．C [解析] 选项A不是整式方程；选项B二次项系数有可能为0；选项D含有两个未知数．
2．C [解析] 若关于x的方程(m－3)xm2－7＋3x－5＝0是一元二次方程，则解得m＝－3.故选C.
3．C
4．D [解析] 方程移项，得x2－6x＝10，配方，得x2－6x＋9＝19，即(x－3)2＝19.
5．B [解析] ∵x2＋4x＝10，∴x2＋4x＋4＝10＋4，∴(x＋2)2＝14，∴x＝－2±.
6．A [解析] 本题可以运用因式分解法来解．
7．D
8．D
9．C [解析] 原方程的解为x＝，即x＝1±，
∴原方程的两根为x1＝1－，x2＝1＋，较小的根为x1.
∵4＜5＜，∴2＜＜，
∴－＜－＜－2，∴－＜1－＜－1.
10．答案不唯一，如x2＝1
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11．x1＝，x2＝ [解析] 根据原方程可知a＝1，b＝－3，c＝1，利用一元二次方程的求根公式x＝可得方程的根．
12．x1＝5，x2＝ [解析] 方程变形得3(x－5)2－2(x－5)＝0，分解因式得(x－5)[3(x－5)－2]＝0，可得x－5＝0或3x－17＝0，解得x1＝5，x2＝.
13．2 [解析] 把x＝0代入(m－1)x2＋5x＋m2－3m＋2＝0中，得m2－3m＋2＝0，解得m＝1或m＝2.∵m－1≠0，∴m≠1，∴m＝2.
14．解：(1)直接开平方，得3(x－1)＝±，
解得x1＝，x2＝.
(2)移项，得(x－3)2＋x2－9＝0，
将方程左边分解因式，得
(x－3)(x－3＋x＋3)＝0，
∴x－3＝0或2x＝0，
∴x1＝3，x2＝0.
(3)移项，得2x2＋3x－1＝0，
∵a＝2，b＝3，c＝－1，
b2－4ac＝9－4×2×(－1)＝17>0，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝－.
(4)移项，得x2－6x＝1，
配方，得x2－6x＋9＝10，
即(x－3)2＝10，
开平方，得x－3＝±，
∴x1＝3＋，x2＝3－.
15．解：(1)∵关于x的方程(m－1)x2＋5x＋m2－3m＋2＝0的常数项为0，∴m2－3m＋2＝0，解得m1＝1，m2＝2，∴m的值为1或2.
(2)把m＝2，代入(m－1)x2＋5x＋m2－3m＋2＝0中，得x2＋5x＝0，x(x＋5)＝0，解得x1＝0，x2＝－5.同理，当m＝1时，5x＝0，解得x＝0.
16．解：(1)错误是：设(a2＋b2)2＝m，应注意m≥0，且a2＋b2≥0.所以由(m－4)2＝0，解得m＝4.由(a2＋b2)2＝4，得a2＋b2＝2.
(2)设(a＋b)＝m，则原式可化为m2－14m＋49，即(m－7)2.∴(a＋b)2－14(a＋b)＋49＝(a＋b－7)2.
17．解：(1)△ABC是等腰三角形，
证明如下：∵x＝－1是方程(c－b)x2－2(b－a)x＋(a－b)＝0的根，
∴(c－b)＋2(b－a)＋(a－b)＝0，∴c＝a.
∵a，b，c是△ABC的三条边长，
∴△ABC为等腰三角形．
(2)依题意，得∴a＝2，
∴c＝a＝2.
解方程y2－8y＋15＝0，
得y1＝3，y2＝5.
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∵b为方程y2－8y＋15＝0的根，且b＜a＋c，
∴b的值为3，
∴△ABC的周长为2＋2＋3＝7.
18．解：(1)换元法
(2)设x2＝y(y≥0)，则x4＝(x2)2＝y2，原方程化为y2－y－6＝0，
解得y1＝3，y2＝－2(不合题意，舍去)．
当y＝3，即x2＝3时，x＝±，
∴原方程的根为x1＝，x2＝－.
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