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第十九章 四边形
1如图19－Y－1，在▱ABCD中，M是BC延长线上的一点，若∠A＝135°，则∠MCD的度数是( )
图19－Y－1
A．45° B．55° C．65° D．75°
2 内角和为540°的多边形是( )
图19－Y－2
3如图19－Y－3，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＋BD＝16，CD＝6，则△ABO的周长是( )
图19－Y－3
A.10 B．14 C．20 D．22
4如图19－Y－4，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长为( )
图19－Y－4
A．6 B．5 C．4 D．3
5下列判断错误的是( )
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．四个内角都相等的四边形是矩形
C．四条边都相等的四边形是菱形
D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形
6 如图19－Y－5，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是( )
图19－Y－5
A．AB＝AD
B．AC⊥BD
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C．AC＝BD
D．∠BAC＝∠DAC
7如图19－Y－6，在▱ABCD中，AB＞AD，按以下步骤作图：以点A为圆心，小于AD的长为半径画弧，分别交AB，AD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点G.作射线AG交CD于点H，则下列结论中不能由条件推理得出的是( )
图19－Y－6
A．AG平分∠DAB
B．AD＝DH
C．DH＝BC
D．CH＝DH
8 如图19－Y－7，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠C的平分线交AD于点E，交BA的延长线于点F，则AE＋AF的值等于( )
图19－Y－7
A．2
B．3
C．4
D．6
9 如图19－Y－8，在矩形ABCD中(AD＞AB)，点E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为F.在下列结论中，不一定正确的是( )
图19－Y－8
A．△AFD≌△DCE
B．AF＝AD
C．AB＝AF
D．BE＝AD－DF
10 如图19－Y－9，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD＝2 ，DE＝2，则四边形OCED的面积为( )
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图19－Y－9
A．2
B．4
C．4
D．8
11如图19－Y－10，在Rt△ABC中，E是斜边AB的中点．若AB＝10，则CE＝________．
图19－Y－10
12如图19－Y－11，在▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠1＝20°，则∠2的度数为________．
图19－Y－11
13已知矩形的对角线AC与BD相交于点O，若AO＝1，那么BD＝________．
图19－Y－12
14如图19－Y－13所示，在▱ABCD中，∠C＝40°，过点D作AD的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为________．
图19－Y－13
15如图19－Y－14，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为________．
图19－Y－14
16 如图19－Y－15，菱形ABCD的面积为120 cm2，正方形AECF的面积为50 cm2，则菱形的边长为________cm.
图19－Y－15
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17.如图19－Y－16，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为________．
图19－Y－16
18 如图19－Y－17，已知BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在边AB，BC上，ED∥BC，EF∥AC.求证：BE＝CF.
图19－Y－17
19 如图19－Y－18，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点E是AC的中点，AC＝2AB，∠BAC的平分线AD交BC于点D，作AF∥BC，连接DE并延长交AF于点F，连接FC.
求证：四边形ADCF是菱形．
图19－Y－18
20 如图19－Y－19，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)若AB＝6，AC＝10，求四边形AECF的面积．
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图19－Y－19
1．A
2．C [解析] 设多边形的边数是n，则(n－2)·180°＝540°，解得n＝5.故选C.
3．B [解析] ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，BO＝DO，DC＝AB＝6.∵AC＋BD＝16，∴AO＋BO＝8，∴△ABO的周长是14.
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4．D [解析] ∵在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，∴BC＝6.又∵DE垂直平分AC交AB于点E，∴DE是△ACB的中位线，∴DE＝BC＝3.
5．D [解析] A选项，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，故本选项错误；
B选项，四个内角都相等的四边形是矩形，正确，故本选项错误；
C选项，四条边都相等的四边形是菱形，正确，故本选项错误；
D选项，两条对角线垂直且平分的四边形是正方形，错误，应该是菱形，故本选项正确．
6．C [解析] A选项，根据菱形的定义可得，当AB＝AD时▱ABCD是菱形；
B选项，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可判断，当AC⊥BD时，▱ABCD是菱形；
C选项，对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形，命题错误；
D选项，∠BAC＝∠DAC时，∵在▱ABCD中，AD∥BC，∴∠ACB＝∠DAC，∴∠BAC＝∠ACB，∴AB＝AC，∴▱ABCD是菱形．
7．D [解析] 根据作图的方法可得AG平分∠DAB.∵AG平分∠DAB，∴∠DAH＝∠BAH.∵CD∥AB，∴∠DHA＝∠BAH，∴∠DAH＝∠DHA，∴AD＝DH，BC＝DH，故选D.
8．C [解析] ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD＝BC＝8，CD＝AB＝6，
∴∠F＝∠DCF.
∵∠C的平分线为CF，
∴∠FCB＝∠DCF，∴∠F＝∠FCB，
∴BF＝BC＝8，同理DE＝CD＝6，
∴AF＝BF－AB＝2，AE＝AD－DE＝2，
∴AE＋AF＝4.
9．B [解析] A项，由四边形ABCD是矩形，AF⊥DE可得∠C＝∠AFD＝90°，AD∥BC，∴∠ADF＝∠DEC.又∵DE＝AD，∴△AFD≌△DCE(AAS)，故A项正确；
B项，∵∠ADF不一定等于30°，∴在直角三角形ADF中，AF不一定等于AD的一半，故B项错误；
C项，由△AFD≌△DCE，可得AF＝CD，由四边形ABCD是矩形，可得AB＝CD，∴AB＝AF，故C项正确；
D项，由△AFD≌△DCE，可得CE＝DF.由四边形ABCD是矩形，可得BC＝AD.又∵BE＝BC－EC，∴BE＝AD－DF，故D项正确．
10．A [解析] 连接OE，与DC交于点F.∵四边形ABCD为矩形，∴OA＝OC，OB＝OD，且AC＝BD，即OA＝OB＝OC＝OD.∵OD∥CE，OC∥DE，∴四边形ODEC为平行四边形．∵OD＝OC，∴四边形ODEC为菱形，∴DF＝CF，OF＝EF，DC⊥OE.∵DE∥OA，且DE＝OA，∴四边形ADEO为平行四边形．∵AD＝2 ，DE＝2，∴OE＝2 ，即OF＝EF＝.在Rt△DEF中，根据勾股定理得DF＝＝1，即DC＝2，则S菱形ODEC＝OE·DC＝×2 ×2＝2 .
11．5
12．110° [解析] ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAE＝∠1＝20°.
∵BE⊥AB，
∴∠ABE＝90°，
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∴∠2＝∠BAE＋∠ABE＝110°.
13．2 [解析] 在矩形ABCD中，∵角线AC与BD相交于点O，AO＝1，∴AO＝CO＝BO＝DO＝1，∴BD＝2.
14．50° [解析] ∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠C＝∠ABF.又∵∠C＝40°，∴∠ABF＝40°.∵EF⊥AD，AD∥BC，∴EF⊥BF，∴∠F＝90°，∴∠BEF＝90°－40°＝50°.
15．3 [解析] ∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，∴OA＝OB.∵AE垂直平分OB，∴AB＝AO，∴OA＝AB＝OB＝3，∴BD＝2OB＝6，∴AD＝＝＝3 .
16．13 [解析] 因为正方形AECF的面积为50 cm2，所以AC＝＝10(cm)．因为菱形ABCD的面积为120 cm2，所以BD＝＝24(cm)，所以菱形的边长＝＝13(cm)．
17. [解析] ∵CE＝5，△CEF的周长为18，∴CF＋EF＝18－5＝13.∵F为DE的中点，∴DF＝EF.∵∠BCD＝90°，∴CF＝DE，∴EF＝CF＝DE＝6.5，∴DE＝2EF＝13，∴CD＝＝＝12.∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD＝12，O为BD的中点，∴OF是△BDE的中位线，∴OF＝(BC－CE)＝(12－5)＝.
18．证明：∵ED∥BC，EF∥AC，
∴四边形EFCD是平行四边形，
∴DE＝CF.
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠DBC.
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝ED，∴BE＝CF.
19．证明：∵AF∥CD，
∴∠AFE＝∠CDE.
∵点E是AC的中点，
∴AE＝CE.
在△AFE和△CDE中，
∴△AEF≌△CED(AAS)，
∴AF＝CD.
∵AF∥CD，
∴四边形ADCF是平行四边形．
∵∠B＝90°，∠ACB＝30°，∴∠CAB＝60°.
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAC＝∠DAB＝30°＝∠ACD，
∴DA＝DC，
∴四边形ADCF是菱形．
20．解：(1)证明：由折叠可知AM＝AB，CN＝CD，∠FNC＝∠D＝90°，∠AME＝∠B＝90°，
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∴∠ANF＝90°，∠CME＝90°.
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD，AD∥BC，
∴AM＝CN，∠FAN＝∠ECM，
∴AM－MN＝CN－MN，
即AN＝CM.
在△ANF和△CME中，
∴△ANF≌△CME(ASA)，
∴AF＝CE.
又∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形．
(2)∵AB＝6，AC＝10，
∴BC＝＝8，设CE＝x，则EM＝8－x, CM＝10－6＝4，
在Rt△CEM中，(8－x)2＋42＝x2，
解得x＝5，
∴四边形AECF的面积为EC·AB＝5×6＝30.
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